專題06四點共圓(知識解讀)

【專莖餞明】

四點共圓在圓內接四邊形綜合問題的求解中占據了重要地位，都是在大題中結

合題目的幾何背景進行綜合考查，重在考查學生對知識的應用能力.考查的基

本類型有：利用四點共圓證相似，利用四點共圓求最值，這些問題大都利用轉

化思想，將幾何問題轉化為四點共圓問題，使題目能簡單求解.

【方注技巧】

1.四點共圓

如果同一平面內的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點

共圓”.

2.四點共圓的性質

⑴共圓的四個點所連成同側共底的兩個三角形的頂角相等.

(2)圓內接四邊形的對角互補.

⑶圓內接四邊形的一個外角等于它的內對角.

3.四點共圓的判定

⑴用“角"判定：

①一組對角互補的四邊形的四個頂點在同一個圓上；

②一個外角等于它的內對角的四邊形的四個頂點在同一個圓上；

③如果兩個三角形有一條公共邊，且位于公共邊同側的兩個角相等，則這兩個三

角形的四個頂點在同一個圓上.

(2)''等線段”判定：

四頂點到同一點的距離相等，若0A=0B=0C=0D,則A,B,C,D四點共圓.

⑶用“比例線段”判定:

若線段AB,CD(或其延長線)交于點P,且PA?PC=PB?PD,則A,B,C，D四點

共圓.

模型斛族；

模型1：對角互補型：

若/A+NC=180°或NB+/D=180°,

則A、B、C、D四點共圓

模型2：同側等角型

(1)若NA=NC,

則A、B、C、D四點共圓

(2)手拉手(雙子型)中的四點共圓

條件：△OCDS^OAB

結論：①△OACs^OBD

②AC與BD交于點E,必有ZAEB=ZAOB；

③點E在的外接圓上，即0、A、B、E四點共圓.同理：ODCE也四點共圓.

模型3：直徑是圓中最長的弦

1.定圓中最長的弦是直徑；

2.經過圓中定點最短的弦是垂直于過這點直徑的弦;

3.定弦中最小的圓是以該弦為直徑的圓。

【龔鈉令新】

【模型1：對角互補型】

【典例1］如圖,正方形ABCD繞點A逆時針旋轉到正方形AEFG,連接BE,延長

BE交于CF于點M,求證：M是線段CF的中點.

【變式11如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P、E分別是線段AC、BC上的點,

四邊形PEFD為矩形，若AP=2,求CF的長。

【模型2：同側等角型】

【典例2】在RtAABC中,NACB=90°,將^ABC繞點A順時針旋轉a0

(0<a<180)得△ADE,NAED=90°,直線BD與直線CE的交點為P.

求證：PB=PD

B

C

D

【模型3:直徑是圓中最長的弦】

【典例3］在回ABC中，回ACB=90%AC=6,BC=8,O為AB的中點，過0作0E回OFQE、

OF分別交射線AC,BC于E、F,則EF的最小值為？

【變式3］如圖，在國。中，直徑AB=12,點D是圓上任意一點（A,B除外），點P為CD的中點，過點

D作DE回AB于點E,連接AD,EP.求EP的最大值。

C

【成堂精煉】

1.（2021秋?永泰縣期中）如圖，在RtZXABC中，NR4c=90°,ZABC=40°,

將AABC繞A點順時針旋轉得到△相＞￡,使D點落在BC邊上.

（1）求NB4D的度數；

（2）求證：A,D,B,E四點共圓.

E

K

B

D

2.如圖，四邊形ABCD是某高新區核心地塊用地示意圖，經測量得如下數據:

AB^30km,BC=40km,ZB=120°,ZA+ZC=180°,請計算這塊規劃用

地的最大面積.

3.如圖，已知AC=6C=4,點。是A3下方一點，且NC=ND=90°,求四

邊形ACBD面積的最大值.

D

專題06四點共圓(知識解讀)

【專莖餞明】

四點共圓在圓內接四邊形綜合問題的求解中占據了重要地位，都是在大題中結

合題目的幾何背景進行綜合考查，重在考查學生對知識的應用能力.考查的基

本類型有：利用四點共圓證相似，利用四點共圓求最值，這些問題大都利用轉

化思想，將幾何問題轉化為四點共圓問題，使題目能簡單求解.

【方注技巧】

1.四點共圓

如果同一平面內的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點

共圓”.

2.四點共圓的性質

⑴共圓的四個點所連成同側共底的兩個三角形的頂角相等.

(2)圓內接四邊形的對角互補.

⑶圓內接四邊形的一個外角等于它的內對角.

3.四點共圓的判定

⑴用“角"判定：

①一組對角互補的四邊形的四個頂點在同一個圓上；

②一個外角等于它的內對角的四邊形的四個頂點在同一個圓上；

③如果兩個三角形有一條公共邊，且位于公共邊同側的兩個角相等，則這兩個三

角形的四個頂點在同一個圓上.

(2)''等線段”判定：

四頂點到同一點的距離相等，若0A=0B=0C=0D,則A,B,C,D四點共圓.

⑶用“比例線段”判定:

若線段AB,CD(或其延長線)交于點P,且PA?PC=PB?PD,則A,B,C，D四點

共圓.

模型斛族；

模型1：對角互補型：

若/A+NC=180°或NB+/D=180°,

則A、B、C、D四點共圓

模型2：同側等角型

(1)若NA=NC,

則A、B、C、D四點共圓

(2)手拉手(雙子型)中的四點共圓

條件：△OCDS^OAB

結論：①△OACs^OBD

②AC與BD交于點E,必有ZAEB=ZAOB；

③點E在的外接圓上，即0、A、B、E四點共圓.同理：ODCE也四點共圓.

模型3：直徑是圓中最長的弦

1.定圓中最長的弦是直徑；

2.經過圓中定點最短的弦是垂直于過這點直徑的弦;

3.定弦中最小的圓是以該弦為直徑的圓。

【善刎令淅】

【模型1：對角互補型】

【典例11如圖,正方形ABCD繞點A逆時針旋轉到正方形AEFG,連接BE,延長

BE交于CF于點M,求證：M是線段CF的中點.

【簡答】回AC=AF,AB=AE且回BAE=囪CAF

回回AEB回回AFC,回回ABE=?ACF,

回A、B、C、M四點共圓，G

回回ABC=90%回AC是直徑，回回AMC=90%

回AE=AC,回AM垂直且平分CF（三線合一）.

【變式11如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P、E分別是線段AC、BC上的點,

四邊形PEFD為矩形，若AP=2,求CF的長。

【解析】0PEF=0PDF=0DCE=9O9,

知D,F,C,D,P共圓,如下圖，由回1=02,回4=回5,易得EIAPDEBDCF,

【模型2：同側等角型】

【典例2】在RtAABC中,NACB=90°,將^ABC繞點A順時針旋轉a

(0<a<180)得△ADE,NAED=90°,直線BD與直線CE的交點為P.

【解析】由旋轉的性質得NCAE=NBAD=a,AC=AE,AB=AD,

.，.ZCEA=ZADB.，.A,D,E,P四點共圓

ZAPD=ZAED=90°.\AP±BD

，PB=PD

【模型3:直徑是圓中最長的弦】

【典例3］在回ABC中，回ACB=90%AC=6,BC=8,O為AB的中點，過0作0E回OFQE、

OF分別交射線AC,BC于E、F,則EF的最小值為？

【解析】00EOF=0C=9O9,0C,O均在以EF為直徑的圓上I3EF是圓的直徑,0、C均在圓上，且

0C長度固定，要使EF最短，則圓最小，要使圓最小，由于0C為固定長度，則0C為直徑時，圓

最小，此時EF=C0=0A=0B=5

（斜邊上中線等于斜邊一半）

【變式3］如圖，在回。中，直徑AB=12,點D是圓上任意一點（A,B除外），點P為CD的中點，過點

D作DEI3AB于點E,連接AD,EP.求EP的最大值。

【解析】延長DE交回。于點F,連接FC,利用三角形的中位線得出PE=0.5FC.當FC為的直徑

時，PE最大=6。

【隨堂精煉】

1.（2021秋?永泰縣期中）如圖，在RtZXABC中，NR4c=90°,ZABC=40°,

^AABC繞A點順時針旋轉得到△ADE,使。點落在BC邊上.

（1）求NA4D的度數；

（2）求證：A,D,B,E四點共圓.

【解答】（1）解：由旋轉知，AD=AC,

"：ZBAC=9Q°,NABC=40°,

AZADC=ZC=900-ZABC=90°-40°=50°,

：.ZDAC=180°-ZADC-ZC=180°-50°-50°=80°,

AZBAD=ZBAC-ZDAC=9Q°-80°=10°；

(2)證明：連接BE,

由旋轉知，AB=AE,ZEAD^ZBAC=90°,

VZBAD=1Q°,

AZEAB=ZEAD-ZBAD=9Q°-10°=80°,

：.NEBA=/BEA=LX(180°-/EAB)=lx(180°-80°)=50°,

22

AZEBD=ZEBA+ZABC=500+40°=90°,

即AEBD是以ED為斜邊的直角三角形，

又：AE4D也是以ED邊為斜邊的直角三角形，

.,.A,D,B,E四點在以即為直徑的圓上，

即A,D,B,E四點共圓.

2.如圖，四邊形ABCD是某高新區核心地塊用地示意圖，經測量得如下數據:

AB=30km,BC=40km,ZB=120°,ZA+ZC=180°,請計算這塊規劃用

地的最大面積.

【解答】解：,四邊形A3CD中，ZDAC+ZDCB=180°,

.??A、B、C、。四點共圓，

如圖，延長CB,過點A作于點E,連接AC,過點。作DfUAC于

點尸.

D

VZABC=120°,

AZADC=ZABE=60°,

.".BE=^AB=15km,AE=^JQ2_1^2=15^/3^,CE=40+15=55bw,

2

S^ABC-A.,CB=2_x15Tx40=300VS^-

則當△ADC的面積最大時，四邊形ABC。的面積最大.

當AD=C。時，DF最大,此時四邊形ABCD的面積最大.

22=

在Rtz\ACE中，AC=^55+（^5^3）10^/37km,AF=^AC=5y[37km,

O

VZADF=1ZAI）C=30,

：.DF=MAF=5Tlllhw,

SAADC=