專題06向量專題（新定義）

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習）定義平面向量之間的一種運算“。”如下：對任意的￡=（租,〃）,B=（p,q）.令

aQb=mq-np,下面說法錯誤的是（）

A.若￡與否共線，則

B.aQb=b0a

C.對任意的（回0鼠=*0分），

D.Ro耳+0,=用中

【答案】B

【分析】根據給出的運算“。”的新定義，結合已知的向量的數量積公式及模長公式逐項判斷即可.

【詳解】若“與匕共線，貝!J有=〃口-7驢=0,故A正確；

■：bQa=pn-qm,而<2。6=mq-np,:.aQb^bQa,故選項B錯誤；

對任意的幾wR,1.?（旬Qb=（力〃，An）Qb=Amq-Anp,

y.aQb=mq-np,^（aQb^=Xmq-Xnp,故C正確;

（a0b^=（inq—np^+（inp+nq^—m2q2+n2p2+m2p2+n2q2,

又同一MJ=（"?2+1）（/+42）=m2p2+川“2+n2P2+8/,故D正確.

故選：B.

2.（2022春?湖南邵陽?高一統考期中）定義萬③5=1循-萬石.若向量方=倒,石），向量B為單位向量，貝lj2③方

的取值范圍是（）

A.[0,6]B.[6,12]C.[0,6）D.（-1,5）

【答案】B

【分析】求得同，設<扇5>=。，整理可得4?B為關于。的關系式，進而求解.

【詳解】因為商=（2,6），所以同=,2?+（如『=3,

設<>=0,。耳。,司，由向量5為單位向量，

所以二B『一小6=32-3xlxcos〈萬,5>=9-3cos6,

因為cos6e［-1』,所以C<8）0?6,12］,

故選：B

3.（2021春.云南昆明.高一云南師大附中校考期中）平面內任意給定一點。和兩個不共線的向量冢，工,由

平面向量基本定理，平面內任何一個向量而都可以唯一表示成，，瑟的線性組合，m=xe^-^-ye^（x,yeR）,

則把有序數組（蒼>）稱為而在仿射坐標系［。；M區］下的坐標,記為正=（x,y）,在仿射坐標系［。之，［］下，，

B為非零向量，且〃=（%,%）,1=（%,%）,則下列結論中（）

①a+B=（石+%2，%+%）②若打人貝+

③若Z//B，貝|士必=X2%④8s的…/J；，；2

，元1+%7尤2+%

一定成立的結論個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用向量的新定義結合向量的性質逐個分析判斷即可

【詳解】在仿射坐標系［。；6,021下，設卜］,02）=0,因為。=（%,%）,〃=（三,為），所以￡=X［1+y高,

6+%豆，所以a+B=（玉+乂）4+（%+%）02,所以4+3=（占+孫%+%），①正確；

1

若Z_L方，貝JZ%=0，所以>石=（無石+%帚?無21+%可=再％1+（%%+%尤2）1￡+“%62,

-

=XjX2\ex|+（xjy2+y^2）|e,||e^|cos0+yxy21^|=0,故②不一定正確；

因為Z//B，所以存在唯一的實數幾，使得￡=歷，則%I+y高=彳（々1+%@，所以％=襖，所

以占所以③正確；

由②知，a'b=xxey+[xy+yx)e-e+yye^,所以④不一定正確,

cos<a,b)=f2x2<x1x2x2x2

\a\\b\

所以正確的有2個,

故選：B

4.(2022?高一單元測試)若對于一些橫縱坐標均為整數的向量，它們的模相同，但坐標不同，則稱這些向

量為“等模整向量”，例如向量”(1,3)出=(-3,-1),即為“等模整向量”，那么模為5拒的"等模整向量”有()

A.4個B.6個C.8個D.12個

【答案】D

【分析】把50=同=1(±1)2+(±7)2=J(±5『+(土5)2,分別寫出向量即可.

【詳解】因為5后=廊=，(±1)2+(±7)2=J(±5『+(±5)2

所以模為5人的等模整向量有

q=(1,7),%=(1,—7),%=(—1,7),=(—1,—7)

%=(7，)，。6=(7，—1)，%=(-7,1),cig=(-7,-1)

%—(5,5),GJQ=(5,—5),4i=(—5,5),42=(—5,—5)

所以模為50的等模整向量共有12個.

故選：D

【點睛】在求向量模的有關問題時通常的處理方法有：

⑴a2=a.a=|a/或卜卜；

(2).±@=?a士務)2=7?2+2a-b+^；

(3)若a=(無，y),則|a|=^x2+y2.

5.(2017?四川廣元?統考三模)對于〃個向量Z，Z，Z，…若存在"個不全為0的示數左&，片，…,左，使

得：匕1+左2Z+&Z+…=。成立;則稱向量7，Z，Z，…是線性相關的，按此規定,能使向量7=(L。),

Z=(L-1)，Z=(2,2)線性相關的實數左A&，則K+4%的值為()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

_?,___?,一(匕+匕+2kq—0

【分析】由題可得￡%+總%+勺％=0,結合條件可得:；“八oz__n)即得.

I/CiXv1K2(—1)?JLK?_U

【詳解】由題可知勺4+k2%+匕/=。，4=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2),

&+&+2k3-0

/x。+%2（-1）+2k3=0

兩等式兩邊相加可得匕+4攵3=。.

故選：B.

6.（2022秋?內蒙古鄂爾多斯?高三統考期中）對任意兩個非零的平面向量a,，，定義戊。2=募，若平面

P'P

向量篇滿足同訓>0,癡的夾角0<0,￡|,且』。5和都在集合中，貝0。5=（）

135

A.—B.1C.—D.—

222

【答案】C

【分析】由題意可可設〃zeZ,feZ,aob=-,boa=~,得cos?。="e["1],對加，t進行賦值即可

224<2J

得出切，f的值，進而得出結論.

_ra-b同cos。\b\cos6

【詳解】解：?oZ?=-^F=^p6t|neZ-故石。@—eP|/IeZL

同|2

又由|團…|石|>0,可設機eZ,ZGZ,

一m一t

令Gob=—,boa=—B.m>t>0

22f

又夾角ee（o,3，所以cos?八號

對加，/進行賦值即可得出機=3/=1

-m3

所以。。

22

故選：C.

7.（2023?全國?高三專題練習）互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，但如果平面坐標系

中兩條坐標軸不垂直，則這樣的坐標系稱為“斜坐標系”.如圖，在斜坐標系中，過點尸作兩坐標軸的平行

線，其在x軸和y軸上的截距a,6分別作為點尸的x坐標和y坐標，記尸（“力），則在x軸正方向和y軸正方

向的夾角為。的斜坐標系中，下列選項錯誤的是（）

y

------7P(a,b)

------------------X

O/a

A.當6=60。時P。,2)與5(3,4)距離為26

B.點A(l,2)關于原點的對稱點為4(-1,-2)

C.向量&=(%,4)與b=(x>,龍)平行的充要條件是=%再

D.點4(1,2)至I]直線元+y—1=0的距離為夜

【答案】D

【分析】根據“斜坐標系”的定義，結合向量運算對選項進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】設x軸正方向的單位向量為1，y軸正方向的單位向量為可，

對于A選項:由己知得怎,0=60。，所以吊運=lxl4《

由A。,2),8(3,4)及斜坐標的定義可知OA=ex+1e2,OB=3et+4e2,

|AB|=|(95-OA|=2p1+^|=2,(6]+e?)=2《e：+2q?g+g=2V1+1+1=2百，

故A選項正確；

對于B選項:根據“斜坐標系”的定義可知:點A(l,2),則礪=冢+2攻，設A(l,2)關于原點的對稱點為A(x,y),

則OA'=-OA=—ex-2e2-xex+ye2,

f%二—1

由于￡區不共線，所以jy=_2，

故B選項正確；

對于C選項：a=xlei+yle2,b=x2ei+y2e2,

若〃是零向量，則〃〃成立，同時％1=%=。，所以玉%=成立,

11

此時a!lb\y2=x2y1；

右a是非零向重，則a!1b<=>存在非零常數九，使五=Aa+Ayle2o<

〔肛=%

11

2%%=2占%oX%=%不，所以。〃匕=玉%=.

故C選項正確；

對于D選項：設直線x+y-l=0上的動點為尸（X,y）.而=x[+y晟，

因為x+y-l=0,所以x+y=l,

設反=1,罰=晟，則點尸（x,y）在直線C。上，

所以直線無+>-1=0過點C（1,O）,D（。」）,

因為次=1+21，貝川同=|反一詞=2同=2,

|碼=|歷一研=$+可==6，

由于甌卜|因=1,（元，9）=60。，所以3=1.

所以師卜即目閭2,所以布,前，

所以點A到直線x+y-1=0的距離為|而卜g,

故D選項錯誤.

故選：D

8.（2022春.黑龍江大慶.高三大慶實驗中學校考階段練習）如圖所示，設Ox,Oy是平面內相交成。（。二￡

角的兩條數軸，,晟分別是與尤，y軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標系尤Oy為。斜坐標系，若

OM=x^+y^,則把有序數對（x,y）叫做向量兩的斜坐標，記為的=（x,y）.在。=?的斜坐標系中,

石=（抬,-1）.則下列結論中，錯誤的是（）

=+②阿=1；?515；④B在日上的投影為一行

A.②③B.②④C.③④D.②③④

【答案】D

【分析】借鑒單位向量夾角為90。時的情況，注意夾角為

4

￡一3二（%弓+,高）一（%2不+%最）=（%一%2）冢+（乂一%）1；同=7?=G+y2；

數量積為〃%=（七6+%02＞（%2,+%/）；

B在。上的投影為|年3'=忖口=芳?

【詳解】對于①.￡-3=（：1+與耳）-（括冢-￡）=（1-若）,+（g+i）4,

--fl廠6、

所以a-b=--V3,^-+l,故①正確；

對于②.忖=+當4)。h+2＞3＞岑9.02+^-=^7^8$?='1+半＞1，故②錯誤;

對于③.a-b=(—e]+^-e2)-(yf3e}-e2)=^--^-+e2-e2=0+^-0,故③錯誤;

22222

一顯

對于④.囚在Z上的投影為逅=N_>o,故④錯誤.

問W

故選：D

9.（2021春?上海浦東新?高一華師大二附中校考階段練習）如圖，定義2、B的向量積［2可=WMsine,a

為當￡、B的起點相同時，由Z的方向逆時針旋轉到與B方向相同時，旋轉過的最小角，對于；=（和功，

%=（%，%），C=（無3,%）的向量積有如下的五個結論:

(1)[幾。,=2/z[〃,；②[〃,可=[瓦

③[z,可=占%-々%；④+=[Q,可+[Q,C]；

⑤[a,B+c]=；

其中正確結論的個數為（）

a

a

A.1個B.2個

C.3個D.4個

【答案】C

【分析】結合題目中的新定義的概念逐項分析即可得出結論.

【詳解】①4〃至少有一個為0時，顯然成立；

4〃都不為。時，

若“/>0貝I][丸々,"可=?卜q?sina=沏忖?W?sina=[a,5]

若力〃<0,則4可=kN?|阿?sin(a-萬)=〃//J?忖?sina=沏[a,可；

綜上：［幾2〃可=〃/［￡,可，故①正確;

②[〃,可=卜雨sina,忸,a]=|&|?|a|sin(-a)=-1?|?|^|sina,所以[a,可"瓦a],故②錯誤;

=UHq.sina=必

=%％一%2%故③正確;

%

④由③知：［￡石+可=.(%+%)-%(%2+4)=占為一%2%+玉%一=［工可+Eq，故④正確；

⑤［獲+1=』(%+%)-%(%2+%3)［￡石一可=%1(%-%)-%(%2-%3)F(%+%)-％(/+匹)與

%(%-%)-%(%2-毛)不一定相等，故⑤錯誤；

故選：c.

10.(2022春?山西朔州?高一校考階段練習)定義般,%為兩個向量￡,引向的“距離”，若向量￡,刃滿

足下列條件：(i)W=l;(ii)lwB;(出)對于任意的左尺，恒有“何回2"(￡,5),現給出下面結論的編號,

①.2_L石②.以(￡-方)③沖④?問w1⑤.僅+3)_1_(￡一加)

則以上正確的編號為()

A.①③B.②④C.③④D.①⑤

【答案】B

【分析】根據題意可得僅-歷僅詢2,轉化為〃_224+(2￡/-1)2。對于任意的任尺恒成立，即AW0,

整理得再利用向量的數量積逐一判斷即可.

【詳解】由于〃(癡)=忖-0,又對于1R,恒有匹，問士1(2,可,

顯然有卜一目，即(°_瘍)>^a-b^,

則一一2笈%+(2日?方一1卜0對于任意的teR恒成立，

顯然有A=卜2a-4(2aZ-l)W0成立，

即1)<0,則”.3=1，故序號①錯誤，

進而24=問Jocose=1,

：W=1,于是8SO=、V1,得冷1,即序號④正確.

再由。一1=0得［屋7=0,得碓-3)=0,

：.b1(a-b),顯然序號②正確.從而序號③錯誤,

再由②ZwB，故序號⑤錯誤.

綜上知本題正確的序號為②④.

故選：B.

【點睛】本題命制是以新定義為背景，考查向量長度及數量積等知識概念，同時考查了等價轉換、不等式

恒成立問題，符合以生考熟的高考理念，考查知識內容源于教材，試題面向全體考生，不同思維能力層次

的考生度可以利用熟悉的通法來解決問題，從而增強考生的自信心，有利于考生正常發揮，屬于中檔題.

11.（2018.湖南.統考一模）在實數集R中，我們定義的大小關系“〉”為全體實數排了一個“序”，類似的，我

們這平面向量集合D=^\a=（x,y）,xeR,ye耳上也可以定義一個稱為“序”的關系，記為“〉定義如下：

對于任意兩個向量Z=（X[，X）,%=（無2，%），當且僅當“為>尤2"初'占=工2且%>%”，按上述定義的

關系“>”，給出下列四個命題：

①若4=（L0），￡=（0,1）,6=（0,0）,貝!Jq>e2>。；

②若%>a?,a2>a3,則O]>4；

③若q>的，則對于任意的al+a>a2+a-,

④對于任意的向量￡>6，其中6=（0,0）,若%>%,則

其中正確的命題的個數為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】按照新定義，對每一個命題進行判斷.

【詳解】對于①，由定義可知①是正確的；

對于②，中囚=（占,%）,%負%,%）,%=（玉,%），滿足已知%>外,%>4，則^^馬之退，只要有一個沒有

等號，則一定占>尤3，若玉=三，則%>%>%，都滿足正確；

對于③，：%%=>必+y>%+y，二命題正確，

對于④，中若7=（LD,￡=（L-I），則但>Z=o=￡,0，錯誤，因此有①②③正確.

故選:B.

【方法點睛】新定義問題，關鍵是正確理解新概念，并掌握解決新概念下問題的方法，有一定的難度.本題

中新概念關系“〉”與向量的坐標之間的大小關系聯系在一起，由實數大小關系的傳遞性可得新關系“〉”的傳

遞性，但向量的數量積與新關系“〉”之間沒有必然的聯系，這可通過舉反例說明.實際上舉反例說明一個命

題是錯誤的，是數學中一個常用的方法.

a

12.（2017秋?河南鄭州?高三鄭州一中階段練習）若非零向量扇B的夾角為銳角0,且亍=cos。，則稱日被加

“同余已知B被*'同余”，則%-B在a上的投影是（）

【答案】A

b

【分析】首先根據“同余”的定義得一=cos。，再根據投影公式，列式求解.

a

【詳解】根據B被*'同余”，則有一=cos。，所以同=B|cos，，萬一B在日上的投影為：

a

（萬_1）.萬一2Tb?同cose_五2

\a\a\同

故選：A.

13.（2022春.陜西榆林.高一榆林市第一中學校考期中）設Z=（q,%）￡=（&么），定義一種向量積：

a?b=（a{,%）③（4，％）=（她，％白）?己知而J2,：|,，點尸（x，y）在y=sinx的圖象上運動，

點。在y=的圖象上運動，且滿足麗=方③麗+5（其中。為坐標原點），則y=/（x）的最大值A及最

小正周期T分別為（）

A.2,TVB.2,4兀

C.g,4%D.；,加

【答案】C

【分析】根據題意，設出。的坐標，根據詼=而?而+日的運算得到尸、。坐標間的關系，從而得到了（x）的

解析式，即可求得最大值和最小正周期.

【詳解】由題意知可設尸（X。，%）,Q（x,f（x））

則根據麗=而?詼+分可得（xj（x））=（2xo，；yoj+go]

jr1

即x=2尤o+1,〃尤)=5%

1TT

所以無0=寸-%，%=2〃x)

而尸在y=sinx的圖象上運動，滿足為nsiriXo

1冗即/(x)=；sin

所以2/(x)=sin—X------

26

所以最大值為即A=；

7丁2兀

最小正周期為一丁

2

故選：C.

14.(2023?河北衡水?高三河北衡水中學校考階段練習)設向量2與B的夾角為6,定義Z十后=|益ind+及os，］.

已知向量2為單位向量，W=&,卜一4=1,貝九之十石二()

A.走B.72C.叵D.2^/3

22

【答案】C

【分析】由平面向量數量積的運算律求出向量々與B的夾角，代入新定義求解即可.

【詳解】由題意得,一0=5/一2￡石+片=J12-2X1XV2COS6>+(A/2)2=1，

解得cos。=，

2

又6e［。,兀］,所以sinO==~^~'

所以逐=爭+爭/47*=4+i+R*

故選：c

15.(2022春.浙江金華?高一浙江金華第一中學校考期中)記min{x,y}=I"2',設￡,加為平面內的非零

[x,x<y

向量，則()

A.min{k+5#"-5]}<B.min{k+5|2,|a-^|2|>a2+b2

C.min{卜+磯口一磯之min{同，同}D.min||?+5\a-b\^}<a2+b2

【答案】D

【分析】根據向量加法減法的幾何意義和向量數量積運算，結合排除法解題.

【詳解】對于A選項：考慮石，根據向量加法減法法則幾何意義知：|Z+B|=|Z-B|>min{|￡|,|5|},所

以A錯誤；

B選項：根據平面向量數量積可知：不能保證±7后20恒成立，

—?-0-*2-2—*—?—*—,—?2—?2—*—?

\a+b\=a+b+2a-b,\a-b\=a+b—2a?b，

2

所以它們的較小者一定小于等于7+S,所以B錯誤D正確；

C選項：考慮Z〃B，W=5，W=4min{|Q+W,|Z-B|}=l,min{|a|,|B|}二4,所以C錯誤.

故選：D

【點睛】此題考查向量相關新定義問題，其本質考查向量加減法運算的幾何意義，平面向量數量積的運算

和辨析，綜合性較強，解題中結合排除法得選項.

16.（2021?全國?高三專題練習）對于向量％（i=l,2,把能夠使得|朋|+|匹|+…+|可取到最小值的點

尸稱為4?=1,2,的“平衡點”.如圖，矩形A3CD的兩條對角線相交于點。，延長8c至￡,使得3C=CE,

聯結AE,分別交3。、CD于產,G兩點.下列的結論中，正確的是（）

B.D、C、E的“平衡點”為￡>、E的中點.

C.A、F、G、E的“平衡點”存在且唯一.

D.A、B、E、。的“平衡點”必為P

【答案】D

【分析】利用“平衡點”的定義、三角形中兩邊之和大于第三邊，對選項進行一一驗證.

【詳解】對A,A、C的“平衡點”為線段上的任意一點，故A錯誤；

對B,D、C、E的“平衡點”為三角形內部對3條邊的張角均為120。的點，故3錯誤;

對C,A、尸、G、E的“平衡點”是線段FG上的任意一點，故C錯誤；

對。，因為矩形ABCD的兩條對角線相交于點。，延長3C至E,使得3C=CE,聯結AE,分別交3D、CD

于F、G兩點，所以A、B、E、。的"平衡點''必為尸，故D正確.

故選：D.

【點睛】本題考查“平衡點”的求法，考查對新定義的理解與應用，求解時要注意平面向量知識的合理運用.

二、多選題

17.（2022春?浙江.高一期中）如圖所示，在平面上取定一點。和兩個以點。為起點的不共線向量/，工,

稱為平面上的一個仿射坐標系，記作｛。:〈,/｝,向量0/0=xeY+ye2與有序數組（x,y）之間建立了一一對應關

系，有序數組（x,y）稱為兩在傷射坐標系｛。后,身下的坐標，記作的=（x,y）.已知[，晟是夾角為。=與

的單位向量，方=。,2）,5=（2,-1）,則下列結論中正確的有（）

OW*-

A.a+B=（3,l）B.|a|=\/3

1-

C.a±bD.B在a方向上的投影向量為-5。

【答案】ABD

【分析】根據向量線性運算的坐標表示，向量數量積的定義，運算律及投影向量的概念，逐項分析即得.

【詳解】由題可知商=。,2）=錄+2。，1=（2,—1）=2——溫，

/.a+b=el+2e2+2el-e2=3ex+e2=（3,1）,故A正確；

因為A,瑟是夾角為。=子的單位向量，

所以同="|=l,e/4=一;，

??同=+2e?）=~+4q.e?+4e,-=Jl-2+4=s/3,故B正確；

a.0=（G+2與）,（2e]-4）=2,+3^,e2—2e2=2———2=——,故C錯誤；

3

.?.B在￡方向上的投影向量為絲-a=——-a=--a?故D正確.

a32

故選：ABD.

18.（2022春?河南?高一校聯考階段練習）對任意兩個非零向量35,定義新運算：a0b=W.已知非

零向量〃?,〃滿足網＞3,且向量a,”的夾角0e7171，若4（拓麗）和4（的可都是整數,則若的值可

15

能是（）

A.2B-iC.3D.4

【答案】BC

sin。kn\sin31一一

【分析】由題意可得心區正=、m?n“利用。的范圍，可得加從而定

m4同

點答案.

【詳解】由題意可得區⑤正==。（丘Z）,因為網＞3,網＞0,所以。（叫＜L

4\m\3

7171,所以.sin3<19所以。<T^ZJ；sin,

因為。e

75\m\

k14

即0＜W＜§,解得0V左＜耳，因為左eZ,所以左=1,

所以的乃。n

sin1.I1匹出=45而。,

“則二=,故機名）〃=

同m4sin。|利

7171，所以《^<sin6<l,因為。<LZ^<G，

因為

『52\m\3

3QQ

所以0＜J-<1,所以一<sin9<l,所以一<sin20<1,則一〈4sin?夕<4,

4sin634164

即山區〃w

故選：BC.

19.（2023?全國?高三專題練習）已知向量1是平面a內的一組基向量，。為a內的定點，對于a內任

意一點P,當麗=x1+y區時,則稱有序實數對（尤,y）為點P的廣義坐標.若點A,8的廣義坐標分別為（孫兀）,

（4，丹），關于下列命題正確的是（）

A.線段A,B的中點的廣義坐標為（七三,咤匹）

B.A,B兩點間的距離為％y+（%-%I

C.若向量函平行于向量歷，則玉丫2=%%

D.若向量函垂直于向量礪，則為9+%%=2

【答案】AC

【分析】由題目給的定義結合向量的線性運算、向量的模長、向量的平行及垂直依次判斷4個選項即可.

【詳解】根據題意得，設48的中點為C,則

就=g（函+礪）=；（&4+口,+々4+

故線段A,2的中點的廣義坐標為［土產，之產］,A正確；

AB=OB-OA=x2ex+y2e2-x1e1一必4=（x2一%）,+（%—X”2，故

網=，］（%-國居+（%-%）0=｛（X「X）2不+2億一。）（%一%）?￡+（%-%）2丁，

當向量I，q是相互垂直的單位向量時，A,3兩點間的距離為。占一%,+（%-%,否則距離不為

，（占一%）2+（%一%）2，B錯誤；

次與前平行，當次與礪存在。時，結論顯然成立，當函與南都不為6時，設西=2麗（60）,

則玉1+乂1=/1%1+2%1，即玉="2，2占%=2%%,所以占%=%%,故C正確；

OAOB=（^xlel+yle2^x2e1+y2e2）=可'「+（占%+%%）＜-e?+，當冢與互為相互垂直的單位向量時,

礪與赤垂直的充要條件是玉%+=。，故D不正確.

故選：AC.

20.（2022?江蘇南京?統考模擬預測）設人〃是大于零的實數，向量M=（mcosa,msina）,B=（〃cos￡,〃sin￡）,

其中a/w［0,2］），定義向量⑷2=1而cos^l?，瘋sin］：而2=］?cos，,J^sing,記8=。一/，則（）

A.（ay-（ay=a

1」_n

B.（a）^-（by=J嬴cos—

1_____n

C.(ay-(by>4Vmnsin*12—

4

1_____n

D.(。戶+(W>4vmncos2—

4

【答案】BCD

【分析】根據定義求出①戶和(5)5，再根據平面向量的數量的坐標運算,結合恒等變換公式可求出他)5.(B)2,

由此可判斷A和B選項；利用向量加減法的坐標運算、模長公式以及基本不等式，可判斷C和D選項.

aI-.a

【詳解】因為向量3戶=一,vmsin一

22

aP券n

所以(1)5.(方戶=而cos—cos—+sinsin?J=yjmncos(^—g='mncos］是一個實數，不是向量,

2222

所以A不正確，B正確;

因為(㈤3一(5”=cos--Vncos—,Vmsin--Vnsin—|,

2222J

2

1

所以|伍戶-④)5|=cos--Vncos—--\/nsin—

2222

/2a.2。、/2P.2/、c/-(。.a.(3

Jm(cos—+sin—)+n(cos—+nsm—)-2yJmn\cos—cos—+sm—sm—

\2222I2222.

Am+n-2y[mncos(---)=Jm+n—lyjmncos—>2y1rnn-2y1mncos—

V22V2V2

=^2\/mn(l-cos-^)=^py/mn^sin2^=sin2,當且僅當機=〃時，取得等號,

1」__°

所以1(0)2一⑸2『之4或浣—,故C正確;

4

,2

cc/—BI—.ar~.B

因為m戶+(5)5=cos——卜7ncos—,A/msin——I-vnsin—

2222

2

.ai—.B

所以10)5+(方)萬|=Vmcos%+Gco:sin—+vnsin

m(cos2—+sin2—)+n(cos2—+nsin2—)+2y[mn\cos—cos—+sin—sin—

2222I2222

m+n+2y/mncos(-^--勺=+n+2Vmncos^之/,mn+2,mncos\

=J2Jmn(1+cos3=^2y/mn-2cos2=^4y/mncos2,當且僅當機=〃時，取得等號,

1」__n

所以|(M)5-(B)5|2>4vmncos2—,故D正確.

4

故選：BCD

21.(2022.浙江溫州?高一永嘉中學統考競賽)設。、A、3是平面上任意三點，定義向量的運算：

det(函，礪)=而?礪，其中亦由向量礪以點。為旋轉中心逆時針旋轉直角得到(若方為零向量，規定

OA也是零向量).對平面向量〃、B、c，下列說法正確的是()

A.det.5)=det(反aj

B.對任意XwR,det(a+X瓦5)=det(a,5)

___det(a,c)det(c,fe)

C.若￡、B為不共線向量，滿足★z+yB=c(x,y￡R),則兀=—尸f，V=---

det(qZ)det(a,B)

D.det(a,B)c+det(5,c)Q+det1,=6

【答案】BD

【分析】利用平面向量數量積的坐標運算可判斷A選項;利用A選項中的結論結合題中定義可判斷B選項;

利用平面向量數量積的運算性質可判斷C選項；對￡、B是否共線進行分類討論，結合題中定義可判斷D

選項.

【詳解】設向量Z、B在平面直角坐標系中的坐標分別為Z=(q,%),石=伯，4),

設Z=(rcose,rsine),貝ij7=^rcos^+-1^,rsin^+-1^J=(-rsin^,rcos^)=(-6Z2,￡ZJ),

同理可得9=(-4①)，

所以,det(a,石)=1?6=(一。2,q),伯也)=一。2bl+。也，

det僅,〃)=//?〃=(一》2，4).(4，〃2)=—+%4,貝Idet(a,B)wdet伍,〃),A錯；

對任意的XER,由A選項可知，石石=0，

當2、B不共線時，detR.)=哂-她＜0，

det(q+"廚=-det伍a+4)=-F?(e+=-Ba=-det,a)=det(a,5),B對;

因為xa+y石=c,所以，c-br=xa-br+yb-br=xa-br,

C錯;

_det(a,c)一

當入B不共線時，由C選項可知，c=ClH---

det(4,5)det

所以,det(a,b^c=det&ja+det(a,=-det(反c)a-det卜,a)b,

所以，det(a,5)c+det(5,c)a+det^c,a

任取兩個向量而、3，對任意的實數人det（m,pn^=m,pn=p^-ri^=pdet（m,n）,

當入石共線時，設存在A￡R使得石=。，且det（Z花）=0,

所以，det(q,5)c+det,c)a+de4Ga)5=det(5,c)?左Q+det^c,kb^b

=左det(瓦C)Q+左det(c,B)a=kdet(b,c^a—kdet(瓦c)a=j,

綜上所述，det（a,B）c+det伍,2）a+det1,〃）5=0,D對.

故選：BD.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查平面向量中的新定義，解題的關鍵在于理解題中運算的含義，結合平面向

量的線性運算與數量積運算逐項判斷即可.

22.（2023春?湖北武漢?高一華中師大一附中校考階段練習）對任意兩個非零的平面向量次和￡,定義

m。￡=宗￡,若平面向量滿足同綱＞。,萬與■的夾角。e吟，且送5和B。G都在集合

meZ,wez1中.給出以下命題，其中一定正確的是（）

A.若根=1時，貝（Jaob=Z?o7=l

一1

B.若根=2時，則行ob=—

2

C.若機=3時，則乙。5的取值個數最多為7

2

D.若機=2014時，則5。方的取值個數最多為270—14

2

【答案】AC

【分析】由新定義可知。。石="=回*,5。萬="=號孚，再對每個命題進行判斷，即可得出結

b\b\a2\a\

論.

—,_?一六a'b|a|cos6-b-a|b\cos0.

【詳解】對A,右機=1時，a"=—廠二——-——=nr,b。（1=——=-------=n,

b\b\a\a\

TT

兩式相乘得cos2e=〃.〃，又0,—,

_4_

/.—<cos20<\,即,工九?〃41,

22

:.n=n=1,即Mo5=5o方=1，故A正確;

,41r一7IaIcos0n「一二一IbIcos0n

對B,若〃i=2時，貝=—=-,同理=-....=一

b聞2\a\2

相乘得至hos20="，又0,?,

4L4j

所以LVCOS2041,即上vl,

224

則（〃,"）取值（2,1）時符合34拳41,此時々。石=1，故B錯誤;

,4,…一二a'b\a\cos6n

對C,右根=3時，貝1]〃。/?=-T-=-----------=—,

b聞3

同理B。"雪平=g,相乘得cos?八處，又夕』05

\a\39L4

I,2八，1Inny

一wcosev1,—?—w1,

229

又.2內>0,得

n=3,n=2,3,

n=4,n=2,

n=5,6,7,8,9,n=1,

;二。石的取值個數最多為7個，故C正確；

對D,若租=2014時，由上面推導方法可知

22014-

20142I—

n2>nn>—^―,.-./：>100772,.-.1425<n<20142,

.-.aob的取值個數最多為2014?-1425+1w網￡,故D錯誤.

2

故選：AC.

【點睛】數學中的新定義題目解題策略：①仔細閱讀，理解新定義的內涵；②根據新定義，對對應知識進

行再遷移.

23.（2023?全國?高三專題練習）定義平面向量的一種運算“0”如下:對任意的兩個向量；=（&%）,方=（三,%），

11

令加）〃=（%%-兀24不工2+%%），下面說法一定正確的是（）

A.對任意的XeR,有卜4）。6=2（004

B.存在唯一確定的向量工使得對于任意向量Z，都有潟）；=￡）：=：成立

C.若￡與B垂直，則儂向藍與溫（砌共線

D.若辦與B共線，則（溫力誠與溫（確的模相等

【答案】AD

【分析】由溫方=（士必-%小西尤2+乂％）表示出（