微重點5數列的遞推關系

數列的遞推關系是高考重點考查內容，作為兩類特殊數列一等差數列、等比數列，可直接

根據它們的通項公式求解，但也有一些數列要通過構造轉化為等差數列或等比數列，再利用

公式求解，體現化歸思想在數列中的應用.

考點一構造輔助數列

例1（i）（多選）已知數列｛。“｝,下列結論正確的是（）

A.右=2,斯+1=〃〃+〃+1,則"20=211

B.右即+1=2?！?3,則斯=2,1—3

C.若勾=1,。"+1=不檢;'則斯=5匕

D.若。1=2,2（幾+1）即一〃斯+1=0,則a〃=n3

答案ACD

=

解析A項，an+i~ann+1,

???。20=（〃20-。19）+（。19-。18）+…+（。2-

=20+19+18H——F2+2=211,故A正確；

B項，?.?詼+1=2?！?3,

an+1+3=2（。"+3）,

???｛斯+3｝是以m+3=4為首項，2為公比的等比數列，

工斯+3=42〃-i=2〃+i,

故斯=2#1—3,故B錯誤；

C項，：斯+1=言力，

.1+3斯__

??~~IJ,

〃〃+1斯On

=3,

〃八十1

是以』=1為首項，3為公差的等差數列,

.*.~=l+（n—l）X3=3n—2,

Qn

??.〃八=3幾_2,故C正確；

D項，2（九+1）斯一〃斯+1=0,

.。八+1__

**H+1-n

是以牛=2為首項，2為公比的等比數歹L

臂=22=2”,

：.a?=n-2n,故D正確.

(2)(2023.呂梁模擬)已知S,為數列｛斯｝的前w項和，且m=1,an+1+a?=3X2",則Noo等于()

A.2100-3B.2100-2

C.2101-3D.2101-2

答案D

解析由。"+i+%=3X2"得,

n+1n

an+i—2——(an—2).

又21=—1,

所以｛斯一2"｝是首項為-1,公比為一1的等比數列，所以斯一2"=(-1)",

即a“=2"+(—1)",

所以SIOO=21+22H------F2"+2100+(-1)+(-1)2H-----1-(-1)"+(-1)100

2(1-2100)

卜O=2ioi-2.

1-2

規律方法(1)形如一斯=/(〃)的數列，利用累加法，即利用公式斯=3〃一a〃-i)+(a“-i—

an-2)H------ai)+ai("22),即可求數列｛?！埃耐椆?

(2)形如“一=/(〃)的數列，常令w分別為1,2,3,…，n—1,代入口——fiji),再把所得的(“一

斯斯

1)個等式相乘，利用斯=3?歿?歿?…?2pi22)即可求數列｛斯｝的通項公式.

〃2Cln-1

(3)形如斯+i=T-(p,qWO)的數列，取倒數可得」-=：+§,即」--；=■5,構造等差數

PM+qan+\斯qan+\斯q

列求通項公式.

(4)若數列｛?！ǎ凉M足斯+i=p〃〃+qgW0,l,q#0),構造詼+1+%=〃(〃〃+%).

(5)若數列｛斯｝滿足斯+i=p〃〃+/(〃)(pW0,l),構造an+1+g(n+l)=p[an+g(n)].

跟蹤演練1(1)已知數列｛斯｝滿足。2=小，。1=1,且屆+1一屆=2斯一2斯一1+1(幾22),則層023

—2〃2022的值為()

A.2021B.2022

C.2023D.2024

答案B

解析由屆+1一屆=2斯一2斯—i+l(〃22)得,

當2時，(星+1—2。〃)一(星一2斯_。=1,

且由“2=45,。1=1,

得〃鄉一2〃i=l,

所以｛屆+1—2見｝構成以1為首項，1為公差的等差數列，

所以〃/+12〃八〃,

所以起023—2a2022=2022.

(2)(多選)已知數列｛〃〃｝滿足3=1，an—3an+1=2an-an+1(neN*),則下列結論正確的是()

A.1』+l］為等比數列

B.｛?！ǎ耐椆綖樗?°乂」—1_1

乙人3—1

C僅“｝為遞增數列

的前n項和T-

答案AB

析因為Cln3〃〃+1,。八+1,

所以￡+T+i),

又』+1=2W0,

所以［J+1］是以2為首項，3為公比的等比數列，所以:+l=2X3"r,即詼=°"1?,

所以｛斯｝為遞減數列，［9的前n項和4=(2X3°—l)+(2X3i—1)+…+(2X3"-i—1)=2(3°

I劭J

_1—3〃

+3'H-----P3,!-1)-M=2X--丁一”=3"一〃一1.

1—J

考點二利用麗與S”的關系

例2已知Sz是數列｛斯｝的前"項和，0=3,且當"三2時，Snr華，S.T成等差數列.

(1)求數列｛斯｝的通項公式；

(2)設數列｛b.｝滿足勾=1—^9，若歷力3?…%=信89，求正整數"的值.

解（1）方法一由題意知當時,

S“+Sn-l—JtCln9

??S〃+Sn-l—R（Sn—S八—1）,

整理得S尸RS-

由Si=〃i=3,

n~\-1nn—1n-24339.

.?S=---7X----X-----X---TX…XTXTX3=T（n2+n）,

nn~1n~2〃-3〃一4212V

2

經檢驗Si=3也符合Sn=2（n+n）.

???當〃22時，an=Sn-Sn-i

33

=］（層+九）一］［（九一1）2+（〃-1）］=3n.

〃i=3也滿足an=3n,

???數列｛斯｝的通項公式為斯=3幾

=

方法二由題意知當幾22時，Sn~\~Sn-\nan,

=

**?當〃23時，Sn-1+Sn-2（n^l）an-1,

兩式相減得斯+斯-1=九斯一（〃一1）斯-1（九23）,

即（〃1八-1,

?,3=”（幾23）,

nn—V）

???當G3時，將為常數列，

又由82+81=2〃2得。2=6,

同理可得〃3=9,

?俏"22

??可=豆=了=3,

,肅=牛=3,即an=3n,

二?數列｛斯｝的通項公式為斯=3〃.

,91

（2）由（1）得兒=1—謁=1-^2

〃2—1n-ln+1

~^~=~rx~r

132435n—1n+1〃+1

?-b2-by-bn=^X-X-X-X-X-X-X-X-=—

〃+189

由萬丁=病'侍"=88.

規律方法在處理與，斯的式子時，一般情況下，如果要證明犬斯）為等差（等比）數列，就消

去當,如果要證明|S〃）為等差（等比）數列，就消去斯；但有些題目要求求｛斯｝的通項公式，

表面上看應該消去S〃，但這會導致解題陷入死胡同，這時需要反其道而行之，先消去斯，求

出Sn,然后利用斯=s〃-S〃—1（幾22）求出斯（〃22）.

〃+2

跟蹤演練2(1)己知數列｛斯｝的前n項和為Sn,且ai=2,詼+1=-^—S〃(“eN*),則a?

答案("+1>2"T

幾+2

解析因為斯+1=—~—Sn,

1

貝

ISn=n+2'

,,、,(n—l)a

當〃22時，當一1=:+；n,

幾斯+i(〃-1)斯

因此a

n〃+2n+1'

化簡整理得誓=2.備，

〃十2〃十1

而〃i=2,〃2=3SI=3。1=6,

有號=2多,

即當“GN*時,__Cln

〃+2幾+1'

因此數列|蜀是以強=1為首項，2為公比的等比數列，則鑿=2"j即斯=(〃+1>2"-1.

(2)已知數列｛詼｝滿足〃1+3〃2+5。3Hb(2〃-1)斯=2〃+3(/?￡N*),數歹！J｛2斯a〃+i｝的前n項和

為Sn,則s〃=.

4

答案8一許

解析因為〃I+3〃2+5〃3+…+(2〃一l)an

=2〃+3(〃￡N*),

所以〃1+3"2+5Q3+…+(2〃-3)斯—1=2〃+1(〃22),

兩式相減，可得(2〃-1)“〃=2,

2

即a=~~(n^2),

nIn—1

2

又當"=1時,的=5,不滿足出=五口,

5,n=l,

所以斯=j2

,,〃22,

2n~1

8

=

所以當〃22時，2anan+1^n—1)(2/7+1)

-4Q"-12〃+1)'

20

當n=l時，2aia2=~,

所以S“=與+4長一…+(壯T

4

=8

2n+T

專題強化練

1.(2023?北京統考)在數列｛〃〃｝中，若〃i=—1,an=—^—522,〃金N*),則。儂等于()

[〃〃一1

A.-1B.1C.gD.2

答案A

解析因為cii——1,cin=~\("22,〃￡N"),

所以="

"2=")1~a\j1—/(—1)2

__I_____I__9

a39

~l-a2~._r

12

11

=1^7=-]=Q],

1—〃31—2

_J_______1_____1_

"5=]_〃4=]_(_1)=2="2,

所以數列｛〃〃｝是以3為周期的周期數列，

所以4100=〃3'33+1=。1=-L

2.(2023?洛陽模擬)若數列｛斯｝和｛與｝滿足3=2,從=0,2斯+1=3斯+為+2,24+1=斯+3為-2,

則〃2023+^2023等于()

A.1B.3

C.|Jj2023D.22023

答案D

解析因為2〃〃+1=3斯+/?"+2,2兒+1=曲+3/?〃-2,

所以2斯+1+2瓦+1=3飆+仇+2+〃〃+3兒一2=4(即+瓦)，即an+1+bn+1—2(an+bn),

又a\+bi=2,

所以｛斯+兒｝是以2為首項，2為公比的等比數列，

n

所以an+bn=2,

所以。2023+b?023=22023.

3.（2023?鄭州模擬）已知數列｛斯｝滿足斯=2%的=1,則①023等于（）

斯""+I11

A.2023B.2024

C.4045D.4047

答案c

1+

解析=2n,

1-

an+1+斯=2n（an+1-斯）,

即（1—2〃）〃〃+i=（—2〃一1）斯,

2〃+1

可得

an2n-\

〃2023

?〃2023—X毀煞義4X…X歿X絲X0

〃2022〃202142020。2

40454043404153

4043X404TX4039X-X3XTX1=4045-

4.（2023?淄博模擬）已知正項數列｛斯｝的前n項和是S”滿足《=看號對"GN*恒成立，則

?！ǖ扔冢ǎ?/p>

J1,〃=1,

A.

n[yjn+l—yln,〃三2

B.an=yjn+1—y[n

=

C.any[n—y]n—1

D.an=yj~n+y]n~1

答案C

12a得〃=斯+；,

解析由n2S

Sn*+1

當“22時，an=Sn~Sn-ly

則25〃=5〃—＞一1+一三，

?〃一1

整理得能一S11=1,

12Si

顯然?9

S{~Sl+l

則8=1,因此數列｛S扉是等差數列，首項為1,公差為1,所以曉=1+（〃-1）義1=小

又為＞0,所以S〃＞0,所以%=6,

當〃22時，an=y/ri—yln—1,為=1滿足上式，

因此an=y[n—y[n—l.

5.（多選）已知數列｛?！ǎ?｛小｝滿足的=2,"=；，an+i=b?+\歷什1=。”+3，wGN*,則下

列選項正確的有（）

A野號4

B斯+1

bn+1

C.當〃為奇數時，an=4bn

D.當"為偶數時，斯=2小

答案BCD

解析因為ai=2,fei=2，an+i=bn+—,bn+i=an+^,

所以片"+%1，岳=。1+*=4,的=歷+為5,b3=a2+^=l

所以胃+胃=￥,故A錯誤；

,11

cbn+---入

吧=——-="故B正確?

仇+1,1處及+1*改B止碉，

FF-

由B選項可知瀘=如=怦，

外+2斯+1

4,n=2k~l,k￡N*,

所以魯=11*

b〃[不〃=2女，女￡N，

故C,D正確.

2

6.（多選）（2023.宿遷模擬）設S〃是數列｛斯｝的前〃項和,且為＞0,6/2=21，3斯+尸25sl+i，則

（）

A.。1=上

B.數列，5,是公差為|的等差數列

C.數列強的前5項和最大

___6_______

D，a,,=（2M-ll）（2n-13）

答案AC

解析?〃i>0,。22］，3〃八+i2s八S八+i.

3。2=+。2),

13

???的=1或。1=—7(舍)，故選項A正確；

又3Q〃+I2S〃S〃+i,

=

3⑸+\~Sn)2SnSn+1,

,1」一2

?$+is〃—V

數列，卻是公差為一|的等差數列，故選項B錯誤；

由5=￡=3,侍比=前+(〃-1).(—3)=3—-^—=^—,

.,.^>0,^<0,

數列，的前5項和最大，故選項C正確；

當“二]時，(2TI-11)(2M-13)

=(2X1-11)(2X1-13)=33,這與矛盾’故選項D錯誤.

7.(2023?淮南模擬)記S”為數列｛斯｝的前”項和.已知警+〃=3斯+1,?=—g,則數列｛斯｝

的通項公式是.

2

答案an=^n—l

解析由題意得3S〃+九2=3〃斯+〃，①

當〃22時，

3S〃-i+(〃-1)2=3(〃-1)斯-i+(〃-1),②

①一②化簡得3(an—an-i)—3n(an—an-i)=-2n+2,

即(3—3〃)(斯―斯-1)=—2幾+2,

,—2〃+22

則詼一斯-1=3—3〃=](〃三2),

則數列｛斯｝是以一〃為首項，1為公差的等差數列，

則斯=一|?+,_])=,〃-1.

8.(2023?商洛模擬)已知當是數列｛詼｝的前w項和，勾=痣=1，。,+即+1=2〃+1(力22),則^^

1013

答案

1012

解析因為斯+即+i=2〃+l(〃22),

所以an+i—(〃+1)=一(即一〃)(〃22).

因為02—2=—1,所以｛斯一及｝從第二項起是公比為一1的等比數歹L

所以斯=〃+(—1)亡1伽22),

1,n=l9

所以a=

n〃+（一1廠,

所以S2023=l+2+3+???+2023=2023X1012,

S2024=l+2+3H——H2024-1=