試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學(xué)年湖北省鄂東南省級示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知全集為U，集合，，集合A和集合B的韋恩圖如圖所示，則圖中陰影部分可表示為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】圖中陰影部分是表示在集合中，但不在集合中的元素【詳解】，，圖中陰影部分是表示在集合中，但不在集合中的元素，故選A．2．已知向量，，向量與的夾角為，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運算律及性質(zhì)化簡即可運算求解.【詳解】故選：B3．魏晉南北朝時期，祖沖之利用害圓術(shù)以正邊形，求出圓周率約，和真正的值相比，其誤差小于八億分之一，這個記錄在一千年后才給打破．若已知的近似值還可以表示成，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將代入，結(jié)合三角恒等變換思想化簡可得結(jié)果.【詳解】將代入，可得.故選：A.4．有一塊多邊形菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖），其中，，，則這塊菜地的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由所給條件求出BC，將斜二測直觀圖還原成直角梯形，利用梯形的面積公式即可求解.【詳解】如圖1所示，過點A作AE垂直于BC于點E，，，，四邊形是正方形，則，，將斜二測直觀圖還原成圖2所示直角梯形，其中,所以這塊菜地的面積為.故選：D.5．已知復(fù)數(shù)，，則下面四個命題是真命題的為（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)特殊值判斷A,B,C，設(shè)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)運算判斷D.【詳解】對于A，若，，此時，但，故A錯誤：對于B，若，，此時，但，故B錯誤；對于C，若，則滿足，此時，故C錯誤；對于D，不妨設(shè)，則，，故D正確.故選：D6．已知l，m，n是三條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列命題一定正確的是（）A．若，，則B．若，，且滿足，，則C．若，，，且滿足，則D．若，，，且，，則【答案】C【分析】根據(jù)空間線面、面面間的位置關(guān)系判斷．其中C可由線面平行的判定定理的性質(zhì)定理判斷．【詳解】因為A的直線n中可能在面內(nèi)，故A錯誤；B，D中m，n可能平行，則結(jié)論不一定成立，故B、D錯誤；C中若，，則有，又，，從而有，，故C正確．故選：C．7．設(shè)，則下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷，錯誤的不等式可舉反例說明．【詳解】因為，所以，則，所以，故A正確；因為，，所以，，，，，故B錯誤；當(dāng)，得，故C錯誤：取，，可得，，，故D錯誤．故選：A．8．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中《商功》有如下問題：“今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈，問積及為粟幾何？”，意思是“有粟若干，堆積在平地上，它底圓周長為12丈，高為2丈，問它的體積和粟各為多少？”如圖，主人意欲賣掉該堆粟，已知圓周率約為3，一斛粟的體積約為2700立方寸（單位換算：1立方丈立方寸），一斛粟米賣162錢，一兩銀子1000錢，則主人可得銀子（）A．600兩 B．480兩 C．360兩 D．240兩【答案】B【分析】由圓錐體積公式得體積，然后根據(jù)體積單位換算，再由單位計算可得．【詳解】底面半徑為，立方丈立方寸斛，故（兩）．故選：B．二、多選題9．下列說法錯誤的是（）A．命題“，”的否定是“，”B．“”是“”的既不充分也不必要條件C．若a，b，，則“”的充要條件是“，且”D．“”是“方程有一個正根和一個負根”的必要而不充分條件【答案】AC【分析】對于A，命題的否定是改量詞否結(jié)論即可；對于B，利用充分條件和必要條件的定義判斷即可；對于C，舉反例判斷；對于D，利用充分條件和必要條件的定義判斷【詳解】A．命題“，”的否定是“，”，故A錯誤；B．，而不能推出，也不能推出所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故B正確；C．當(dāng)“，，”，也滿足“”，故C錯誤；D．關(guān)于x的方程有一正一負根的充要條件是，故“”是“”的必要不充分條件，故D正確．故選：AC10．水車在古代是進行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征．如圖是一個半徑為R的水車，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時12秒．經(jīng)過t秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到P點，設(shè)點P的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．當(dāng)時函數(shù)數(shù)單調(diào)遞增C．當(dāng)時，點P的縱坐標(biāo)越來越小 D．當(dāng)時，【答案】CD【分析】首先根據(jù)條件求函數(shù)的解析式，再分別代入選項，判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)值.【詳解】，，，當(dāng)時，，且，，所以，故A錯誤：當(dāng)時，，所以函數(shù)在不是單調(diào)遞增的，故B錯誤：當(dāng)時，，所以函數(shù)在是單減的，故C正確：當(dāng)時，，此時，點，，故D正確．故選：CD11．關(guān)于已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．的圖像關(guān)于原點對稱 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞增 D．的值域為【答案】BD【分析】根據(jù)奇偶性定義判斷A，根據(jù)單調(diào)性定義判斷C，由對稱性判斷B，再由單調(diào)性判斷D．【詳解】函數(shù)定義域為，，，故函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱，所以A錯誤；當(dāng)時，，且在單減，設(shè)，則．所以故在單減，故C錯誤；又由的圖像關(guān)于y軸對稱，故在上單增，所以B正確；結(jié)合的單調(diào)性可知，，故的值域為，所以D正確．故選：BD．12．在銳角中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用正弦定理和余弦定理化簡后可判斷AB的正誤，根據(jù)銳角三角形可得的范圍，從而可判斷C的正誤，而，根據(jù)的范圍可判斷D的正誤.【詳解】因為，所以由余弦定理得，整理得，故A正確；因為，所以由正弦定理得，即，所以，因為，所以，即，故B正確；由銳角，得，，，，，故C錯誤，，，故D正確．故選：ABD.三、填空題13．已知a，b均為正實數(shù)，且滿足，則的最大值為______．【答案】4【分析】由可得，令，則，解不等式可求得的最大值【詳解】，令，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值為4．故答案為：414．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，仰角為30°，行駛300m后到達B處，測得此山頂在西偏北60°的方向上，則此山的高度______．【答案】300【分析】在中，由正弦定理可得，然后在中可求得．【詳解】在中，，，，由正弦定理可得在中，，．故答案為：300．15．在邊長為2的正中，點D在邊上，點E是中點，若，則______．【答案】【分析】設(shè)，，，把用表示，計算數(shù)量積可得．【詳解】設(shè)，，，則，，則故，即．故答案為：．16．已知函數(shù)，若當(dāng)方程有四個不等實根，，，時，若不等式恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是______．【答案】【分析】依題意畫出函數(shù)圖象，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得，，且，則不等式恒成立，可化為：恒成立，令，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到實數(shù)的取值范圍．【詳解】解：函的圖象如右圖所示：當(dāng)方程有四個不等實根，，時，由，即，，且，不等式恒成立，則恒成立令，，，則，，，故為所求．故答案為：四、解答題17．（1）已知復(fù)數(shù)z滿足：，求及；（2），，并且，求的取值范圍．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的運算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的模即可得出所求；（2）根據(jù)相等復(fù)數(shù)可得，整理得：，從而得出的取值范圍．【詳解】解：（1）由得，所以，；（2）由已知條件得，所以，所以當(dāng)時，取最小值-2；當(dāng)時，取最大值4，所以的取值范圍為．18．如圖，在正三棱柱中，，的邊長為6，D，E分別是，的中點．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）連接，交于點F，連接，則由三角形的中位線定理可得，然后由線面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）由于點C到平面的距離等于點到平面的距離，所以，求出，從而可求出體積【詳解】解：（1）證明：如圖，連接，交于點F，連接，在中，由于D為的中點，F(xiàn)為的中點為的中位線，，平面，平面，平面；（2），是的中點，，又平面，，E是的中點．點C到平面的距離等于點到平面的距離．所以，即三棱錐的體積為．19．已知函數(shù)的部分圖象如圖．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)的零點為，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）求最值求得，由周期求得，再由頂點或零點坐標(biāo)求得，得解析式；（2）已知為，再利用兩角差的正弦公式變形可求值．【詳解】解：（1）由圖象可知，，周期，，，則，從而，代入點，得，則，，即，，又，則，，（2）由已知方程的解為．即，所以．20．一個四面體木塊如圖所示，點O在平面內(nèi)且為的重心，（1）過點O將木塊鋸開，使截面平行于直線與，在木塊表面應(yīng)該怎樣劃線，并說明理由；（2）在棱上是否存在點D，使得直線平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）答案見解析；（2）存在；．【分析】（1）在平面內(nèi)過點O作直線交于M，交于N，在平面內(nèi)過點M作直線交于點I，在平面內(nèi)過點N作交于Q，連接，利用線面平行的判定定理證得平面和平面，從而得出結(jié)論；（2）連接交于點E，連接，證得，又O為的重心得出存在點D，使得直線平面．【詳解】解（1）如圖，在平面內(nèi)過點O作直線交于M，交于N，在平面內(nèi)過點M作直線交于點I，在平面內(nèi)過點N作交于Q，連接．則、、、為截面與木塊各表面的交線證明：，，、N、Q、I四點共面．平面，平面平面，同理可證平面．（2）如圖，連接交于點E，連接，若上存在點D滿足平面，則由平面PAB,平面平面，則，由于O為的重心，所以，，所以在棱上存在點D，使得直線平面，且．21．如圖，在三角形中，，，．（1）求的面積：（2）若、邊上的點、滿足：，，且、相交于點P，求的余弦值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先求出，再求出，最后代入三角形面積公式即可；（2）先根據(jù)平面向量的基本定理用表示，，再用數(shù)量積的夾角公式求解即可【詳解】解：（1）在中，，，，，，，，，（2）由已知條件知，，，，所以，，，所以．22．已知函數(shù)的最大值為1，其圖象相鄰兩對稱軸之間的距離為．若將的圖象向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到的圖象關(guān)于原點中心對稱．（1）求函數(shù)的解析式；（2）已知常數(shù)，，且函數(shù)在內(nèi)恰有2021個零點，求常數(shù)與n的值．【答案】（1）；（2），．【分析】（1）由最大值得，則周期得，寫出變換的函數(shù)解析式，由對稱性得，得函數(shù)解析式；（2）首先確定，即，這樣零點問題轉(zhuǎn)化為，求得函數(shù)的最大值和最小值，然后討論方程解的個數(shù)，分類討論求得．【詳解】解：（1）依題意，，，將的圖象向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度得到的函數(shù)為，而圖象關(guān)于原點中心對稱，則有，．而，，所以．（2）當(dāng)時