試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學年安徽省皖淮名校高一下學期5月聯考數學試題一、單選題1．已知集合，，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先解一元二次不等式求出集合，然后根據交集的概念求解即可.【詳解】因為，所以，，所以．故選：C.2．若復數滿足，則復數在復平面內對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】結合復數的除法與減法運算求出復數，即可判斷在復平面內對應的點所在象限.【詳解】因為，所以在復平面內對應的點在第三象限．故選：C.3．在三棱臺中，截去三棱錐，則剩余部分是（）A．三棱錐 B．三棱臺C．四棱錐 D．四棱臺【答案】C【分析】由棱臺和棱錐的結構特征判斷即可【詳解】解：如圖，在三棱臺中，截去三棱錐，則剩下的部分為四棱錐，故選:C．4．已知函數，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據求值域，再根據求出的范圍，跟據充分性和必要性的判斷即可得出結論.【詳解】解：若，則，即；若，則，即，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A．5．有以下命題：①以半圓直徑所在的直線為旋轉軸旋轉一周，其形成的面圍成的旋轉體是球；②用任意平面去截圓錐，所得的截面圖形為圓；③若某圓錐的底面半徑為，母線長為，則它的表面積為；④以直角三角形的任意一邊所在直線為旋轉軸旋轉一周，其余兩邊形成的面圍成的旋轉體是圓錐．其中真命題的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據空間幾何體的性質進行判斷得解【詳解】由基本概念可知，①正確；用不平行于圓錐底面的平面截圓錐，所得的截面圖形不是圓，②錯誤；根據圓錐的表面積公式可知③正確；以斜邊所在直線為旋轉軸旋轉一周得到的旋轉體不是圓錐，④錯誤，故選B．6．已知，，且向量，的夾角為，則（）A．12 B． C． D．6【答案】B【分析】根據平面向量的數量積的定義求出，然后根據數量積的運算律求出，進而可求出模長.【詳解】因為，所以，所以．故選：B.7．如圖，是水平放置的直觀圖，且，則的面積為（）A．8 B． C． D．16【答案】C【分析】結合已知條件根據可直接求出結果.【詳解】因為，且，所以．故選：C.8．已知，，，若為的垂心，則點的坐標為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】設，由為的垂心，則，，即，利用向量的數量積的坐標運算即可得出答案．【詳解】因為為的垂心，所以，，則．設，則，，，，聯立解得故．故選：B.9．已知函數的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，若滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據函數圖象求出函數的解析式，再根據函數平移表示出，由知直線是圖象的一條對稱軸，即可求出的值，即可得解；【詳解】解：因為，所以，由圖可知，所以．因為的圖象過點，所以，又，所以，從而，將的圖象向右平移個單位長度得到．由知直線是圖象的一條對稱軸，所以，解得，因為，所以．故選：D10．鱉臑是我國古代對四個面均為直角三角形的三棱錐的稱呼．如圖，三棱錐是一鱉臑，其中，，，，且，．則三棱錐外接球的表面積是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】結合長方體外接球的性質可知三棱錐外接球的直徑為，進而可得結果.【詳解】易得三棱錐外接球的直徑為，則，故三棱錐外接球的半徑，所以，故選：B.11．已知復數滿足，則實數的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】設，，根據復數相等的充要條件，得出的關系式，消去，得到關于的一元二次方程有實數解，利用，求解即可得出結論.【詳解】設，，則，整理得，所以消去得，①因為，所以方程①有實數解，，解得．故選：D.12．已知銳角的內角，，的對邊分別是，，，且，，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】余弦定理結合向量的數量積定義求解即可【詳解】由余弦定理知．又是銳角三角形，所以且，得所以，則，又，故的取值范圍是．故選：A二、填空題13．已知向量，，，若，則實數______．【答案】﹣8【分析】結合向量共線的坐標表示即可.【詳解】因為，，所以，解得．故答案為：-814．已知正三棱錐的所有棱長均為4，點，分別在棱，上，，若平面恰好將該正三棱錐分成體積相等的兩部分，則的長度為______．【答案】【分析】由題意可得，因為三棱錐和三棱錐有相同的高，所以可得，從而可得，進而可求出的長度【詳解】由題意，設三棱錐的高為，由，得，因為，所以∽，所以，解得．故答案為：15．已知等腰直角三角形的直角邊長為，且其頂點都在球上，若球的體積為，則三棱錐的體積為______．【答案】16【分析】根據球的體積為，求得球的半徑，再由等腰直角三角形外接圓的圓心為線段的中點，求得，即為三棱錐的高，再由錐體的體積公式求解.【詳解】如圖所示：等腰直角三角形的直角邊為，斜邊，其外接圓的圓心為線段的中點，所以是三棱錐的高，設球的半徑為，因為，所以，又，所以，所以三棱錐的體積為．故答案為：1616．______．【答案】【分析】，化簡計算即可得出結果.【詳解】原式．故答案為：.三、解答題17．若虛數同時滿足下列兩個條件：①的實部與虛部互為相反數；②是實數，這樣的虛數是否存在？若存在，求出；若不存在，請說明理由．【答案】存在，或.【分析】設，再根據的實部與虛部互為相反數，是實數求解.【詳解】設，因為的實部與虛部互為相反數，且，所以，即．因為是實數，所以，即．把代入上式，得，解得或，所以或即或．18．已知銳角的內角，，所對的邊分別是，，，且．（1）求；（2）若，，求．【答案】（1）；（2）4.【分析】（1）根據，利用正弦定理結合兩角和的正弦公式得到，化簡計算即可求解；（2）結合（1），由已知利用余弦定理計算求解即可.【詳解】解：（1）由，得，所以，即，所以．又是銳角，所以，解得．（2）由（1）知，根據余弦定理，得，整理得，解得或．當時，，為鈍角，舍去；當時，，符合題意，故．19．如圖，在中，，，，分別為，的中點，為與的交點，且．（1）試用，表示；（2）若，，，求．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）依題意首先表示出，再根據重心的性質得到，即可得解；（2）首先根據平面向量數量積的定義求出，再表示出，最后根據向量數量積的運算律計算可得；【詳解】解：（1）因為．因為點為的重心，所以．（2）因為，，，所以．又因為，所以．．20．已知函數滿足．（1）求的值；（2）求的解析式；（3）若對恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）0；（2）；（3）.【分析】（1）令，計算即可求得的值；（2）由可得，解方程組即可求得結果；（3）由（2）知等價于．令，設函數，只需即可.【詳解】解：（1）令，得，解得．（2）因為，①所以，②①②得，即．（3）由（2）知等價于．令，設函數，易知在上單調遞增，從而．則，即的取值范圍為．21．已知函數．（1）當時，求的單調遞減區間；（2）設函數，若對于任意的、都有，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）當時，化簡函數解析式為，然后解不等式，可求得函數的單調遞減區間；（2）求得函數在區間上的值域為，對實數的取值進行分類討論，求出函數在區間上的值域，根據已知條件可得出關于實數的不等式組，綜合可求得實數的取值范圍.【詳解】（1）．當時，．令，解得．故的單調遞減區間為；（2）當時，．當時，，所以．當時，．因為，所以或，解得或；當時，，所以．因為，所以恒成立，所以符合題意．綜上，的取值范圍是．22．如圖，某區有一塊的空地，其中，．當地區政府計劃將這塊空地改造成一個旅游景點，擬在中間挖一個人工湖，其中，都在邊上，且，挖出的泥土堆放在地帶上形成假山，剩下的地帶開設兒童游樂場．為安全起見，需在的周圍安裝防護網．（1）當時，求防護網的總長度；（2）若要求人工湖用地的面積是假山用地面積的倍，試確定的大小；（3）如何設計施工方案，可使的面積最小？最小面積是多少？【答案】（1）；（2）；（3）時，的面積最小，最小值為.【分析】（1）由已知可得，在中根據余弦定理求出，并得到為直角三角形，進而求出是正三角形，即可得出結論；（2）設，由結合面積公式，以及在中由正弦定理，分別求出，從而得到關于的方程，求解即可；（3）設，由（2）將用表示，在中根