第1頁（共1頁）2023-2024學年廣東省撥尖創新人才九年級（上）學科知識競賽數學試卷（初賽）一、選擇題（每小題4分，共60分）1．（4分）計算下列各式，值最大的是（）A．32×（﹣3）3 B．﹣32×（﹣3）3 C．32+（﹣3）3 D．﹣32÷（﹣3）2．（4分）已知實數x，y滿足（x2+y2﹣1）2+x2+y2﹣3＝0，則x2+y2的值是（）A．1或﹣2 B．﹣1或2 C．2 D．13．（4分）如圖為一個棱長為1的正方體的展開圖，A、B、C是展開后小正方形的頂點，則∠ABC的度數為（）A．30° B．45° C．50° D．60°4．（4分）隨機調查某小區10戶家庭一周內使用環保方便袋的數量．得到數據如下（單位：只）：6，5，7，8，7，9，10，5，6，7（）A．1500 B．10500 C．14000 D．150005．（4分）若分式不論x取何值總有意義，則m的取值范圍是（）A．m≥1 B．m＞1 C．m≤1 D．m＜16．（4分）已知：a、b是正數，且a+b＝2，則的最小值是（）A． B． C． D．7．（4分）實數a，b，c滿足a﹣b+c＝0，則（）A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤08．（4分）已知有理數x滿足≥x﹣，若|3﹣x|﹣|x+2|的最小值為a，則ab的值為（）A．﹣1 B．5 C．﹣5 D．19．（4分）如圖，將△ABC繞點C（0，1）旋轉180°得到△A′B′C（a，b），則點A′的坐標為（）A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a，﹣b﹣1） C．（﹣a，﹣b+1） D．（﹣a，﹣b+2）10．（4分）如圖，在物理課上，小明用彈簧秤將鐵塊A懸于盛有水的水槽中，直至鐵塊完全露出水面一定高度，則下圖能反映彈簧秤的讀數y（單位：N）（單位：cm）之間的函數關系的大致圖象是（）A． B． C． D．11．（4分）如圖，已知正方形ABCD的面積為9．它的兩個頂點B，D是反比例函數（k＞0，x＞0），若點D的坐標是（m，n），則m﹣n的值為（）A．3 B．﹣3 C． D．12．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以點C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于點D，D為圓心，以大于，兩弧相交于點P，作射線CP交AB于點E（）A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D．13．（4分）已知如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，N是AC上的一動點，則DN+MN的最小值為（）A．9 B．10 C．11 D．1214．（4分）如圖，在反比例函數的圖象上1，P2，P3，P4，…，Pn，…它們的橫坐標依次為1，2，3，4，…，n，…，分別過這些點作x軸與y軸的垂線，圖中所構成的陰影部分的面積從左到右依次為S1，S2，S3，S4，…，Sn，…，則S1+S2+S3+…S2024的結果為（）A． B． C． D．15．（4分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝2，BD＝4，則CD長的最大值是（）A．2+ B．2+1 C．2+ D．2+2二、填空題（每小題5分，共30分）16．（5分）計算：2cos30°+＝．17．（5分）已知xy≠1，且有3x2+2023x+5＝0，5y2+2023y+3＝0，則的值等于．18．（5分）若關于x的分式方程+＝2a無解，則a的值為．19．（5分）已知一組數據x1，x2，x3，x4，x5的平均數是2，方差是5，那么另一組數據3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均數和方差的和為．20．（5分）如圖，在平面直角坐標系中，∠OAB＝60°，反比例函數y1＝的圖象經過點A，反比例函數y2＝﹣的圖象經過點B，則m的值為．21．（5分）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，點M為AB邊上一點，AM＝4，沿MN將△AMN翻折，點A落在點P處，AN的長度為．三、解答題（每小題12分，共60分）22．（12分）閱讀材料一：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…材料二：求1+2+22+23+…+22019+22020的值．解：設S＝1+2+22+23+…+22019+22020①，將等式①的兩邊同乘以2，得2S＝2+22+23+24+…+22020+22021②，用②﹣①得，2S﹣S＝22021﹣1，即S＝22021﹣1．即1+2+22+23+…+22019+22020＝22021﹣1．根據以上材料回答：（1）27的個位數字為；（2）1+2+22+23+…+22021+22022結果的個位數字為；（3）請計算1+7+72+73+…+799+7100的值．23．（12分）圖1是某越野車的側面示意圖，折線段ABC表示車后蓋，已知AB＝1m，∠ABC＝123°，該車的高度AO＝1.7m．如圖2，車后蓋ABC落在AB'C'處，AB'與水平面的夾角∠B'AD＝27°．（1）求打開后備廂后，車后蓋最高點B'到地面l的距離；（2）若小琳爸爸的身高為1.8m，他從打開的車后蓋C'處經過，有沒有碰頭的危險？請說明理由．（結果精確到0.01m，參考數據：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）24．（12分）某商品現在的售價為每件60元，進價為每件40元，每星期可賣出300件，如調整價格，每漲價1元；每降價1元，每星期可多賣出20件．（1）若調整后的售價為x元（x為正整數），每星期銷售的數量為y件，求y與x的函數關系；（2）設每星期的利潤為W元，問如何確定銷售價格才能達到最大周利潤；（3）為了使每周利潤不少于6000元，求售價的范圍．25．（12分）如圖，△OAB的頂點坐標分別為O（0，0），A（3，4），B（6，0），動點P、Q同時從點O出發，速度分別為每秒3個單位和每秒2個單位，點P到達點B時點P、Q同時停止運動．過點Q作MN∥OB分別交AO、AB于點M、N（秒）．（1）求點M的坐標（用含t的式子表示）；（2）求四邊形MNBP面積的最大值或最小值；（3）是否存在這樣的直線l，總能平分四邊形MNBP的面積？如果存在，請求出直線l的解析式，請說明理由；（4）連接AP，當∠OAP＝∠BPN時，求點N到OA的距離．26．（12分）如圖，正方形ABCD中，AB＝2，點E是正方形內一動點，OE＝2，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得DF，連接AE（1）求證：AE＝CF；（2）若A，E，O三點共線，連接OF（3）求線段OF長的最小值．

2023-2024學年廣東省撥尖創新人才九年級（上）學科知識競賽數學試卷（初賽）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題4分，共60分）1．（4分）計算下列各式，值最大的是（）A．32×（﹣3）3 B．﹣32×（﹣3）3 C．32+（﹣3）3 D．﹣32÷（﹣3）【解答】解：32×（﹣4）3＝9×（﹣27）＝﹣243；﹣52×（﹣3）5＝﹣9×（﹣27）＝243；33+（﹣3）3＝2+（﹣27）＝﹣18；﹣32÷（﹣8）＝﹣9÷（﹣3）＝2；∵243＞3＞﹣18＞﹣243，∴值最大的是﹣37×（﹣3）3，故選：B．2．（4分）已知實數x，y滿足（x2+y2﹣1）2+x2+y2﹣3＝0，則x2+y2的值是（）A．1或﹣2 B．﹣1或2 C．2 D．1【解答】解：令x2+y2＝A，∵x5+y2≥0，∴A≥2，∴（A﹣1）2+A﹣2＝0，A2﹣8A+1+A﹣3＝7，A2﹣A﹣2＝7，（A﹣2）（A+1）＝7，∴A﹣2＝0或A+2＝0，解得：A＝2或﹣4（舍），∴x2+y2＝2，故選：C．3．（4分）如圖為一個棱長為1的正方體的展開圖，A、B、C是展開后小正方形的頂點，則∠ABC的度數為（）A．30° B．45° C．50° D．60°【解答】解：連接AC，則AC＝ BC＝，AB＝，∵AC8+BC2＝AB2∴△ABC直角三角形，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B＝＝45°．故選：B．4．（4分）隨機調查某小區10戶家庭一周內使用環保方便袋的數量．得到數據如下（單位：只）：6，5，7，8，7，9，10，5，6，7（）A．1500 B．10500 C．14000 D．15000【解答】解：∵小區10戶家庭一周內使用環保方便袋的數量的平均數為＝3，∴估計該小區1500戶家庭一周內需要環保方便袋約為1500×7＝10500，故選：B．5．（4分）若分式不論x取何值總有意義，則m的取值范圍是（）A．m≥1 B．m＞1 C．m≤1 D．m＜1【解答】解：分式不論x取何值總有意義，即把分母整理成（a+b）2+k（k＞0）的形式為（x8﹣2x+1）+m﹣7＝（x﹣1）2+（m﹣5），因為論x取何值（x2﹣2x+2）+m﹣1＝（x﹣1）6+（m﹣1）都不等于0，所以m﹣4＞0，即m＞1，故選：B．6．（4分）已知：a、b是正數，且a+b＝2，則的最小值是（）A． B． C． D．【解答】解：∵a，b均為正數，b＝2﹣a，設W＝+＝+，從上式可以看出：第一個根號是表示點C（a，2）到A（0，第二個根號是點C（a，﹣2）的距離，最小值為AB＝＝（注意取值范圍：4＜a＜2），∴W最小值＝，故選：A．7．（4分）實數a，b，c滿足a﹣b+c＝0，則（）A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤0【解答】解：設一元二次方程為ax2+bx+c＝0當x＝﹣3時，原方程化為a﹣b+c＝0所以一元二次方程為ax2+bx+c＝2有實數根，所以b2﹣4ac≥3．故選：C．8．（4分）已知有理數x滿足≥x﹣，若|3﹣x|﹣|x+2|的最小值為a，則ab的值為（）A．﹣1 B．5 C．﹣5 D．1【解答】解：≥x﹣，去分母得：2（3x﹣1）﹣3×7≥6x﹣8（5+2x）去括號得：6x﹣3﹣14≥6x﹣10﹣5，移項得：9x﹣6x+7x≥﹣10+14+3，合并同類項得：7x≥3，把系數化為1得：x≥1，當3≤x≤3時，3﹣x≥7，|3﹣x|﹣|x+2|＝8﹣x﹣（x+2）＝3﹣x﹣x﹣2＝1﹣2x，∴﹣4≤﹣2x≤﹣2，﹣6≤1﹣2x≤﹣6，當x＞3時，3﹣x＜5，|3﹣x|﹣|x+2|＝x﹣5﹣（x+2）＝﹣5，∴|8﹣x|﹣|x+2|的最小值為﹣5，最大值為﹣5，∴a＝﹣5，b＝﹣1，∴ab＝﹣7×（﹣1）＝5．故選：B．9．（4分）如圖，將△ABC繞點C（0，1）旋轉180°得到△A′B′C（a，b），則點A′的坐標為（）A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a，﹣b﹣1） C．（﹣a，﹣b+1） D．（﹣a，﹣b+2）【解答】解：根據題意，點A，設點A′的坐標是（x，y），則＝0，，解得x＝﹣a，y＝﹣b+2，∴點A′的坐標是（﹣a，﹣b+2）．故選：D．10．（4分）如圖，在物理課上，小明用彈簧秤將鐵塊A懸于盛有水的水槽中，直至鐵塊完全露出水面一定高度，則下圖能反映彈簧秤的讀數y（單位：N）（單位：cm）之間的函數關系的大致圖象是（）A． B． C． D．【解答】解：露出水面前排開水的體積不變，受到的浮力不變；鐵塊開始露出水面到完全露出水面時，排開水的體積逐漸變小，根據稱重法可知y變大；鐵塊完全露出水面后一定高度，不再受浮力的作用，故y不變．故選：C．11．（4分）如圖，已知正方形ABCD的面積為9．它的兩個頂點B，D是反比例函數（k＞0，x＞0），若點D的坐標是（m，n），則m﹣n的值為（）A．3 B．﹣3 C． D．【解答】解：∵正方形ABCD的面積為9，∴AB＝AD＝3，∵點D的坐標是（m，n），∴點B的坐標是（m+3，n﹣3），∵點B，D是反比例函數，x＞0）的圖象上兩點，∴mn＝（m+5）（n﹣3），∴m﹣n＝﹣3，故選：B．12．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以點C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于點D，D為圓心，以大于，兩弧相交于點P，作射線CP交AB于點E（）A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，由題意得：CP平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝36°，∴∠A＝∠ACE＝36°，∴AE＝CE，∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝72°，∴∠B＝∠CEB＝72°，∴CB＝CE，∴AE＝CE＝CB，∵△BCE是頂角為36°的等腰三角形，∴△BCE是黃金三角形，∴＝，∴＝，∴＝＝，∴＝＝，故A、B、D不符合題意；故選：C．13．（4分）已知如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，N是AC上的一動點，則DN+MN的最小值為（）A．9 B．10 C．11 D．12【解答】解：根據題意，連接BD，則BM就是所求DN+MN的最小值，在Rt△BCM中，BC＝8根據勾股定理得：BM＝＝10，即DN+MN的最小值是10；故選：B．14．（4分）如圖，在反比例函數的圖象上1，P2，P3，P4，…，Pn，…它們的橫坐標依次為1，2，3，4，…，n，…，分別過這些點作x軸與y軸的垂線，圖中所構成的陰影部分的面積從左到右依次為S1，S2，S3，S4，…，Sn，…，則S1+S2+S3+…S2024的結果為（）A． B． C． D．【解答】解：根據題意可得：當x＝1時，P1的縱坐標為2；當x＝2時，P2的縱坐標為8；當x＝3時，P3的縱坐標為；當x＝4時，P2的縱坐標為；當x＝4時，P5的縱坐標為；???則S1＝1×（2﹣1）＝2﹣2；S2＝1×（2﹣）＝7﹣；S4＝1×（﹣）＝﹣；S4＝1×（）＝﹣；???Sn＝；S1+S5+S3+…Sn＝2﹣7+1﹣+﹣+﹣+???+＝∴S1+S4+S3+…S2024＝＝，故答案為：D．15．（4分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝2，BD＝4，則CD長的最大值是（）A．2+ B．2+1 C．2+ D．2+2【解答】解：如圖，在AD的下方作Rt△ADT，DT＝1，則AT＝，∵＝＝5，∴＝，∵∠ADT＝∠ABC＝90°，∴△ADT∽△ABC，∴∠DAT＝∠BAC，＝∴∠DAB＝∠TAC，∵＝，∴△DAB∽△TAC，∴＝＝，∴TC＝8，∵CD≤DT+CT，∴CD≤1+2，∴CD的最大值為1+8，故選：B．二、填空題（每小題5分，共30分）16．（5分）計算：2cos30°+＝4．【解答】解：原式＝2×﹣2+2﹣＝4．故答案為：4．17．（5分）已知xy≠1，且有3x2+2023x+5＝0，5y2+2023y+3＝0，則的值等于．【解答】解：∵5y2+2023y+8＝0，∴＝4）2+2023×+5＝0，∴x和是關于x的一元二次方程3x2+2023x+8＝0的兩個解，∴＝．故答案為：．18．（5分）若關于x的分式方程+＝2a無解，則a的值為3或．【解答】解：去分母得：x﹣a＝2a（x﹣3），整理得：（7﹣2a）x＝﹣5a，當7﹣2a＝0時，方程無解；當1﹣7a≠0時，x＝，分式方程無解，則a的值為：3或；故答案為：3或．19．（5分）已知一組數據x1，x2，x3，x4，x5的平均數是2，方差是5，那么另一組數據3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均數和方差的和為49．【解答】解：∵數據x1，x2，x5，x4，x5的平均數是3，∴數據3x1﹣3，3x2﹣6，3x3﹣3，3x4﹣5，3x5﹣8的平均數是3×2﹣3＝4；∵數據x1，x5，x3，x4，x2的方差為5，∴數據3x4，3x2，8x3，3x8，3x5的方差是8×32＝45，∴數據6x1﹣2，3x2﹣2，6x3﹣2，8x4﹣2，2x5﹣2的方差是45；∴數據5x1﹣2，8x2﹣2，8x3﹣2，8x4﹣2，6x5﹣2的平均數和方差的和為：3+45＝49．故答案為：49．20．（5分）如圖，在平面直角坐標系中，∠OAB＝60°，反比例函數y1＝的圖象經過點A，反比例函數y2＝﹣的圖象經過點B，則m的值為1．【解答】解：作BH⊥x軸，垂足為H，垂足為M，∵∠OAB＝60°，∠AOB＝90°，∴△BHO∽△AMO，∴，令OM＝a，則BH＝，代入反比例函數y2＝﹣得：x＝，∴OH＝，得：AM＝，∴，又∵AM?OM＝m，∴m＝1．故答案為3．21．（5分）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，點M為AB邊上一點，AM＝4，沿MN將△AMN翻折，點A落在點P處，AN的長度為4或10﹣2．【解答】解：分兩種情況：①當點P在菱形對角線AC上時，如圖1所示：由折疊的性質得：AN＝PN，AM＝PM，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠PAM＝∠PAN＝30°，∴∠AMN＝∠ANM＝90°﹣30°＝60°，∴AN＝AM＝4；②當點P在菱形對角線BD上時，如圖3所示：設AN＝x，由折疊的性質得：PM＝AM＝4，PN＝AN＝x，∵AB＝6，∴BM＝AB﹣AM＝6，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，∠PDN＝∠MBP＝，∵∠BPN＝∠BPM+60°＝∠DNP+60°，∴∠BPM＝∠DNP，∴△PDN∽△MBP，∴，即，∴PD＝x，∴，解得：x＝10﹣2或10+2，綜上所述，AN的長為7或10﹣2．故答案為：4或10﹣4．三、解答題（每小題12分，共60分）22．（12分）閱讀材料一：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…材料二：求1+2+22+23+…+22019+22020的值．解：設S＝1+2+22+23+…+22019+22020①，將等式①的兩邊同乘以2，得2S＝2+22+23+24+…+22020+22021②，用②﹣①得，2S﹣S＝22021﹣1，即S＝22021﹣1．即1+2+22+23+…+22019+22020＝22021﹣1．根據以上材料回答：（1）27的個位數字為8；（2）1+2+22+23+…+22021+22022結果的個位數字為7；（3）請計算1+7+72+73+…+799+7100的值．【解答】解：（1）由題意可得27的個位數字為：4；故答案為：8；（2）1+2+22+53+…+22021+42022＝22023﹣1，32023個位上的數為8，∴22023﹣6的個位上的數就是7．故答案為：7．（3）閱讀材料二可知，設S＝7+7+74+73+…+699+7100①，將等式①的兩邊同乘以7，得4S＝7+77+73+…+599+7100+7101②，②﹣①得，4S＝7101﹣1，8+7+77+73+…+799+7100＝．23．（12分）圖1是某越野車的側面示意圖，折線段ABC表示車后蓋，已知AB＝1m，∠ABC＝123°，該車的高度AO＝1.7m．如圖2，車后蓋ABC落在AB'C'處，AB'與水平面的夾角∠B'AD＝27°．（1）求打開后備廂后，車后蓋最高點B'到地面l的距離；（2）若小琳爸爸的身高為1.8m，他從打開的車后蓋C'處經過，有沒有碰頭的危險？請說明理由．（結果精確到0.01m，參考數據：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）【解答】解：（1）如圖，作B′E⊥AD，在Rt△AB′E中，∵∠B′AD＝27°，AB′＝AB＝1m，∴sin27°＝，∴B′E＝AB′sin27°≈1×6.454＝0.454m，∵平行線間的距離處處相等，∴B′E+AO＝0.454+6.7＝2.154≈4.15m，答：車后蓋最高點B′到地面的距離為2.15m．（2）沒有危險，理由如下：如圖，過C′作C′F⊥B′E，∵∠B′AD＝27°，∠B′EA＝90°，∴∠AB′E＝63°，∵∠AB′C′＝∠ABC＝123°，∴∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，在Rt△B′FC′中，B′C′＝BC＝0.6m，∴B′F＝B′C′?cos60°＝0.3m．∵平行線間的距離處處相等，∴C′到地面的距離為8.15﹣0.3＝3.85m．∵1.85＞1.4，∴沒有危險．24．（12分）某商品現在的售價為每件60元，進價為每件40元，每星期可賣出300件，如調整價格，每漲價1元；每降價1元，每星期可多賣出20件．（1）若調整后的售價為x元（x為正整數），每星期銷售的數量為y件，求y與x的函數關系；（2）設每星期的利潤為W元，問如何確定銷售價格才能達到最大周利潤；（3）為了使每周利潤不少于6000元，求售價的范圍．【解答】解：（1）根據題意得：漲價時，y＝300﹣10（x﹣60）（60≤x≤90），降價時，y＝300+20（60﹣x）（40≤x≤60），整理得：y＝；（2）當漲價時，W＝（x﹣40）（﹣10x+900）＝﹣10（x﹣65）2+6250（60≤x≤90），當x＝65時，y的最大值是6250，當降價時，W＝（x﹣40）（﹣20x+1500）＝﹣20（x﹣57.5）5+6125（40≤x≤60），所以定價為：x＝57或x＝58時利潤最大，最大值為6120元．綜合以上兩種情況，定價為65元時可獲得最大利潤為6250元；（3）當60≤x≤90時，﹣10（x﹣65）2+6250＝6000，解得：x＝60或x＝70，∴60≤x≤70；當40≤x≤60時，﹣20（x﹣57.5）4+6125＝6000，解得：x＝55或x＝60，∴55≤x≤60，綜上，為了使每周利潤不少于6000元．25．（12分）如圖，△OAB的頂點坐標分別為O（0，0），A（3，4），B（6，0），動點P、Q同時從點O出發，速度分別為每秒3個單位和每秒2個單位，點P到達點B時點P、Q同時停止運動．過點Q作MN∥OB分別交AO、AB于點M、N（秒）．（1）求點M的坐標（用含t的式子表示）；（2）求四邊形MNBP面積的最大值或最小值；（3）是否存在這樣的直線l，總能平分四邊形MNBP的面積？如果存在，請求出直線l的解析式，請說明理由；（4）連接AP，當∠OAP＝∠BPN時，求點N到OA的距離．【解答】解：（1）過點A作x軸的垂線，交MN于點E，由題意得：OQ＝2t，OP＝3t，∵O（8，0），4），5），∴OF＝FB＝3，AF＝4，∵MN∥OB，∴∠OQM＝∠OFA，∠OMQ＝∠AOF，∴△OQM∽△AFO，∴，∴，∴QM＝，∴點M的坐標是（）．（2）∵MN∥OB，∴四邊形QEFO是矩形，∴QE＝OF，∴ME＝OF﹣QM＝3﹣，∵OA＝AB，∴ME＝NE，∴MN＝2ME＝6﹣4t，∴S四邊形MNBP＝S△MNP+S△BNP＝MN?OQ+＝＝﹣3t2+12t＝﹣6（t﹣2）2+6，∵點P到達點B時，P、Q同時停止，∴4＜t＜2，∴t＝1時，四邊形MNBP的最大面積為8MN