2024-2025學年河北省邯鄲市永年二中高三(上)開學數學試卷

一、選擇題：本題共U小題，第1-8小題每小題5分，第971小題每小題6分，共58分。

1.已知集合2={%|%2—久—4W0},則4CN=()

A.{0}C.{0,1,2)D.{1,2}

2.若正數久，y滿足/—久y+2=0,貝1k+y的最小值是()

A.242B.2<3C.4D.6

73

3.已知cosacosS=jcos(a—S)=『則cos(a+夕)=()

4

A]BC-D

l5l

4.函數/(%)的部分圖象如圖所示，則/(%)可以為()

(ex—l)sinx

A.

ex+l

(ex—l)cosx

B.

ex+l

0-1)第3

ex+l

(ex-l-l)cosx

D.

ex-l

5.下列函數中，其圖象與函數y的圖象關于直線1=1對稱的是()

A.y=ln(l—%)B.y=ln(2—%)C.y=ln(l+x)D.y=ln(2+%)

6.設/?(%)是定義在R上的奇函數,且f(2+x)=/(-%),當一1<久<0時,/(x)=log2(-6x+2),則/(等)

的值為()

A.2B.1D.-2

7.已知(%2，、2)是函數y=2%的圖象上兩個不同的點，貝1()

A」。出中<警B」。死空〉等

c.log2上署<x1+x2D.log2玄爰>Xi+x2

8.已知定義域為R的函數/(%),其導函數為/'(%),且滿足/'(%)-2/(%)<0,f(0)=1,則()

A.e2/(-l)<1>e2D"⑴

9.設5=(1—i)z-L其中9為z的共軟復數，貝|()

A.z的實部為2B.W的虛部是-2

D.在復平面內，F對應的點在第二象限

10.下列論述正確的有()

A.若4B兩組成對數據的樣本相關系數分別為以=0.97,丐=-099,貝必組數據比B組數據的相關性較

強

B.數據49,21,32,29,38,65,30,50的第60百分位數為38

C.若隨機變量X?N(7R2),且P(X>9)=0.12,則P(5<X<7)=0.38

D.若樣本數據與，K2，…，見的方差為1，則數據2久2-1，…，2久6-1的方差為4

11.已知函數f(x)=—X+1,則()

A./O)有三個極值點B./O)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=/(%)的切線

二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.函數/(久)=ln(x2-2x-8)的單調遞增區間是.

13.某同學參加學校組織的數學知識競賽，在4道四選一的單選題中，有3道有思路，有1道完全沒有思路，

有思路的題每道做對的概率均為|,沒有思路的題只好任意猜一個答案.若從這4道題中任選2題作答，則該

同學2道題都做對的概率為.

14.已知定義在R上的函數/(?滿足2/(x)=/(-x)+3ex,則曲線y=/(x)在點(0,7(0))處的切線方程為

三、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

1

15.(13分)已知函數%%與函數g(%)=e。%—%,其中a>0.

(1)求/(X)的單調區間;

(2)若gQ)>0,求a的取值范圍.

16.(15分)增強青少年體質，促進青少年健康成長，是關系國家和民族未來的大事.某高中為了解本校高

一年級學生體育鍛煉情況，隨機抽取體育鍛煉時間在［20,80］(單位：分鐘)的50名學生，統計他們每天體育

鍛煉的時間作為樣本并繪制成如圖的頻率分布直方圖，已知樣本中體育鍛煉時間在［60,70)的有5名學生.

(1)求a,6的值;

(2)若從樣本中體育鍛煉時間在［60,80］的學生中隨機抽取4人，設X表示在［70,80］的人數，求X的分布列和

均值.頻率

17.(15分)如圖，在三棱柱—中，。為底面的重心，點D,G分別在棱CG，/Q上,

且BiG：GCi=CD：DC】=1：2

(1)求證：&C〃平面DOG；

(2)若44i1底面4B1Q,且三棱柱4BC-&B1C1的各棱長均相等，求平面441cle與平面DOG的夾角的余

弦值.

18.(17分)已知函數/'(%)=加久—a/+ax.

(1)當a=2時，求曲線y=/(X)在點(14(1))處的切線方程.

(2)若函數g(x)=/(%)-a久有兩個零點，求實數a的取值范圍.

19.(17分)已知函數/(久)=ln//+ax+6Q—1>.

(1)若/(x)>一2當且僅當1<x<2,求a的值.

(2)若6=0,且求a的最小值；

(3)證明：曲線y=/(%)是中心對稱圖形.

參考答案

l.c

2.C

3.A

4.A

5.B

6.D

7.B

8.D

9.AC

10.BCD

11.C

12.(4,4-00)

14.y—x+3

15.解：(l)y=/(x)的定義域為(0,+8),

又已知a>0,f(x)=1--=

'axax

令f'(x)<0,得0<x<；,即/(久)的單調減區間為(0,$,

令f'Q)>0,則x>%即f(%)的單調增區間為(1+8)；

(2)由題意得gQ)=eax—%>0,即e。％>x,

若x<0,不等式恒成立，若x>0,即a>啊,

X

令人(x)=￥(x>。)，"。)=等

當X6(0,e)時，h'(%)>0,h(%)單調遞增,

當％G(e,+8)時，"(%)<0,九(%)單調遞減,

11

故八(X)ma久=?故。的取值范圍為弓,+8).

16.解：(1)因為體育鍛煉時間在［60,70)的頻率為言=0.1,

所以b=m=0.01,

又因為(0.006+0.01+0.018+0.022+0.024+a)X10=1,

所以a=0.02；

(2)樣本中體育鍛煉時間在［60,70)的有5名學生，在［70,80］的有3名學生,

則X=0,1,2,3,

所以P(x=o)=S=2p(x=l)=等

c8c8

P(X=2)=等*2儂=3)=等=2，

所以X的分布列為：

X0123

1331

P

147714

1QO10

所以E(X)=—x0+-x1+-X2+—x3=

J.4//Z

17.(1)證明：如圖，連接G。并延長，交A聲1于E,延長線段GO,交4G于H,連接。H,

因為。為底面為B】Ci的重心，所以EO：0cl=1：2,

又BjG：GG=1：2,

所以E。：OCi=B】G：GCi，所以。G〃4Bi，

所以&H：HCi=1：2,

因為CD：DC】=1：2,所以力中：HCr=CD：

所以DH//&C,

因為&CC平面DOG,DHu平面DOG,

所以&C〃平面。。G；

(2)解：取4B的中點為F,連接EF,

因為441，底面4/iG，且三棱柱力BC-4/iG的各棱長均相等，

所以直線EBi，EC「EF兩兩互相垂直，

以E為坐標原點，EBi，ECrEF所在直線分別為x,y,z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

z

3,

E

設三棱柱ABC-&B1Q的棱長為6,

則0(0,<3,0),￡>(0,3<3,4),%(3,0,0),G(2,<3,0),

所以說=(0,273,4),OG=(2,0,0)，

設平面DOC的一個法向量為元=Q,y,z),

則2%Q

f2/37+47=0,可取元=(0，—2,6)，

由題意，△為B1G為正三角形，。為其重心，則有08114G，

又4Ali底面4曲的,故A411OB1，

又ClAiG=故。Bi_L平面4&CC

即平面441GC的一個法向量為西=(3,-<3,0)，

設平面441cle與平面OOG的夾角為。，

即平面力4QC與平面DOG的夾角的余弦值為學.

18.解：(1)當a=2時，/(x)=Inx—2x2+2x,所以/''(x)=：-4x+2,

/⑴=1-4+2=-1,/(I)=-2+2=0,

所以曲線，=/(久)在點(l,f(l))處的切線方程為y=-(%-1),

即久+y-1=0；

(2)g(x)=/(x)—ax=Inx—ax2(x>0),

由g(X)=0得a=

y=a,y=臀的圖象有2個交點，

令%0)=臀(久>0)，

"(x)=,產,當o<X<，^時，〃(x)>0,h(x)單調遞增，

當x>，W,?(x)<0,h(x)單調遞減，所以八(久)Wh(、0=白

且x>1時，h(x)>0,/i(l)=0,

所以0<x<l時，h(x)<0,所以八(x)的大致圖象如下，

所以若函數g(x)=f(x)-ax有兩個零點，

則0<a

2e

所以實數a的取值范圍為(0,*).

19.解：(1)因為/(久)=ln￡+ax+b(x-1尸，

所以好一>0,解得0<%<2,

2-x

所以/(%)的定義域為(0,2),

/(%)>一2當且僅當1V%V2,

由于/(%)=Ina+ax+b{x-的圖象是連續的，

故％=1為/(%)=-2的一個解，

所以/