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文檔簡介
2024-2025學年河北省邯鄲市永年二中高三(上)開學數學試卷
一、選擇題:本題共U小題,第1-8小題每小題5分,第971小題每小題6分,共58分。
1.已知集合2={%|%2—久—4W0},則4CN=()
A.{0}C.{0,1,2)D.{1,2}
2.若正數久,y滿足/—久y+2=0,貝1k+y的最小值是()
A.242B.2<3C.4D.6
73
3.已知cosacosS=jcos(a—S)=『則cos(a+夕)=()
4
A]BC-D
l5l
4.函數/(%)的部分圖象如圖所示,則/(%)可以為()
(ex—l)sinx
A.
ex+l
(ex—l)cosx
B.
ex+l
0-1)第3
ex+l
(ex-l-l)cosx
D.
ex-l
5.下列函數中,其圖象與函數y的圖象關于直線1=1對稱的是()
A.y=ln(l—%)B.y=ln(2—%)C.y=ln(l+x)D.y=ln(2+%)
6.設/?(%)是定義在R上的奇函數,且f(2+x)=/(-%),當一1<久<0時,/(x)=log2(-6x+2),則/(等)
的值為()
A.2B.1D.-2
7.已知(%2,、2)是函數y=2%的圖象上兩個不同的點,貝1()
A」。出中<警B」。死空〉等
c.log2上署<x1+x2D.log2玄爰>Xi+x2
8.已知定義域為R的函數/(%),其導函數為/'(%),且滿足/'(%)-2/(%)<0,f(0)=1,則()
A.e2/(-l)<1>e2D"⑴
9.設5=(1—i)z-L其中9為z的共軟復數,貝|()
A.z的實部為2B.W的虛部是-2
D.在復平面內,F對應的點在第二象限
10.下列論述正確的有()
A.若4B兩組成對數據的樣本相關系數分別為以=0.97,丐=-099,貝必組數據比B組數據的相關性較
強
B.數據49,21,32,29,38,65,30,50的第60百分位數為38
C.若隨機變量X?N(7R2),且P(X>9)=0.12,則P(5<X<7)=0.38
D.若樣本數據與,K2,…,見的方差為1,則數據2久2-1,…,2久6-1的方差為4
11.已知函數f(x)=—X+1,則()
A./O)有三個極值點B./O)有三個零點
C.點(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=/(%)的切線
二、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。
12.函數/(久)=ln(x2-2x-8)的單調遞增區間是.
13.某同學參加學校組織的數學知識競賽,在4道四選一的單選題中,有3道有思路,有1道完全沒有思路,
有思路的題每道做對的概率均為|,沒有思路的題只好任意猜一個答案.若從這4道題中任選2題作答,則該
同學2道題都做對的概率為.
14.已知定義在R上的函數/(?滿足2/(x)=/(-x)+3ex,則曲線y=/(x)在點(0,7(0))處的切線方程為
三、解答題:本題共5小題,共77分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
1
15.(13分)已知函數%%與函數g(%)=e。%—%,其中a>0.
(1)求/(X)的單調區間;
(2)若gQ)>0,求a的取值范圍.
16.(15分)增強青少年體質,促進青少年健康成長,是關系國家和民族未來的大事.某高中為了解本校高
一年級學生體育鍛煉情況,隨機抽取體育鍛煉時間在[20,80](單位:分鐘)的50名學生,統計他們每天體育
鍛煉的時間作為樣本并繪制成如圖的頻率分布直方圖,已知樣本中體育鍛煉時間在[60,70)的有5名學生.
(1)求a,6的值;
(2)若從樣本中體育鍛煉時間在[60,80]的學生中隨機抽取4人,設X表示在[70,80]的人數,求X的分布列和
均值.頻率
17.(15分)如圖,在三棱柱—中,。為底面的重心,點D,G分別在棱CG,/Q上,
且BiG:GCi=CD:DC】=1:2
(1)求證:&C〃平面DOG;
(2)若44i1底面4B1Q,且三棱柱4BC-&B1C1的各棱長均相等,求平面441cle與平面DOG的夾角的余
弦值.
18.(17分)已知函數/'(%)=加久—a/+ax.
(1)當a=2時,求曲線y=/(X)在點(14(1))處的切線方程.
(2)若函數g(x)=/(%)-a久有兩個零點,求實數a的取值范圍.
19.(17分)已知函數/(久)=ln//+ax+6Q—1>.
(1)若/(x)>一2當且僅當1<x<2,求a的值.
(2)若6=0,且求a的最小值;
(3)證明:曲線y=/(%)是中心對稱圖形.
參考答案
l.c
2.C
3.A
4.A
5.B
6.D
7.B
8.D
9.AC
10.BCD
11.C
12.(4,4-00)
14.y—x+3
15.解:(l)y=/(x)的定義域為(0,+8),
又已知a>0,f(x)=1--=
'axax
令f'(x)<0,得0<x<;,即/(久)的單調減區間為(0,$,
令f'Q)>0,則x>%即f(%)的單調增區間為(1+8);
(2)由題意得gQ)=eax—%>0,即e。%>x,
若x<0,不等式恒成立,若x>0,即a>啊,
X
令人(x)=¥(x>。),"。)=等
當X6(0,e)時,h'(%)>0,h(%)單調遞增,
當%G(e,+8)時,"(%)<0,九(%)單調遞減,
11
故八(X)ma久=?故。的取值范圍為弓,+8).
16.解:(1)因為體育鍛煉時間在[60,70)的頻率為言=0.1,
所以b=m=0.01,
又因為(0.006+0.01+0.018+0.022+0.024+a)X10=1,
所以a=0.02;
(2)樣本中體育鍛煉時間在[60,70)的有5名學生,在[70,80]的有3名學生,
則X=0,1,2,3,
所以P(x=o)=S=2p(x=l)=等
c8c8
P(X=2)=等*2儂=3)=等=2,
所以X的分布列為:
X0123
1331
P
147714
1QO10
所以E(X)=—x0+-x1+-X2+—x3=
J.4//Z
17.(1)證明:如圖,連接G。并延長,交A聲1于E,延長線段GO,交4G于H,連接。H,
因為。為底面為B】Ci的重心,所以EO:0cl=1:2,
又BjG:GG=1:2,
所以E。:OCi=B】G:GCi,所以。G〃4Bi,
所以&H:HCi=1:2,
因為CD:DC】=1:2,所以力中:HCr=CD:
所以DH//&C,
因為&CC平面DOG,DHu平面DOG,
所以&C〃平面。。G;
(2)解:取4B的中點為F,連接EF,
因為441,底面4/iG,且三棱柱力BC-4/iG的各棱長均相等,
所以直線EBi,EC「EF兩兩互相垂直,
以E為坐標原點,EBi,ECrEF所在直線分別為x,y,z軸,
建立如圖所示的空間直角坐標系,
z
3,
E
設三棱柱ABC-&B1Q的棱長為6,
則0(0,<3,0),£>(0,3<3,4),%(3,0,0),G(2,<3,0),
所以說=(0,273,4),OG=(2,0,0),
設平面DOC的一個法向量為元=Q,y,z),
則2%Q
f2/37+47=0,可取元=(0,—2,6),
由題意,△為B1G為正三角形,。為其重心,則有08114G,
又4Ali底面4曲的,故A411OB1,
又ClAiG=故。Bi_L平面4&CC
即平面441GC的一個法向量為西=(3,-<3,0),
設平面441cle與平面OOG的夾角為。,
即平面力4QC與平面DOG的夾角的余弦值為學.
18.解:(1)當a=2時,/(x)=Inx—2x2+2x,所以/''(x)=:-4x+2,
/⑴=1-4+2=-1,/(I)=-2+2=0,
所以曲線,=/(久)在點(l,f(l))處的切線方程為y=-(%-1),
即久+y-1=0;
(2)g(x)=/(x)—ax=Inx—ax2(x>0),
由g(X)=0得a=
y=a,y=臀的圖象有2個交點,
令%0)=臀(久>0),
"(x)=,產,當o<X<,^時,〃(x)>0,h(x)單調遞增,
當x>,W,?(x)<0,h(x)單調遞減,所以八(久)Wh(、0=白
且x>1時,h(x)>0,/i(l)=0,
所以0<x<l時,h(x)<0,所以八(x)的大致圖象如下,
所以若函數g(x)=f(x)-ax有兩個零點,
則0<a
2e
所以實數a的取值范圍為(0,*).
19.解:(1)因為/(久)=ln£+ax+b(x-1尸,
所以好一>0,解得0<%<2,
2-x
所以/(%)的定義域為(0,2),
/(%)>一2當且僅當1V%V2,
由于/(%)=Ina+ax+b{x-的圖象是連續的,
故%=1為/(%)=-2的一個解,
所以/
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