2025屆高三年級10月新起點調研模擬試卷（二）

數學試題

2024.10

★祝考試順利★

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米，黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上，選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對

應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題

區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

4.本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語、等式與不等式、函數及其性質、指對暴函數、導數及其

應用.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

個選項是符合題目要求的.

1.設集合”={xlx=4〃+1/eZ},N={x|x=3〃+1/eZ},尸={x|x=12〃+1,”eZ},貝！|（）

A.MuPB.NuP

C.McN匚PD.Mr~\N=0

2.己知命題夕：Hxe[0,3],a=-/+2x：命題q:e[—1,2],/一8<0.若夕為假命題，q為真命

題，則實數。的取值范圍為（）

A.[-3,l]B,[-7,-3）U（1,2]C.（-。,2]D.（-。，-3）u（l，2]

3.已知定義在R上的奇函數/（x）滿足：/（x）=/（x-6）,且當0<x<3時，

/、Q+10gns（X+1）,0<X<l/、/、

/（x）=,7AI-為常數），貝|J/（2O23）+/（2O25）的值為（）

A.-2B.OC.lD.2

4.函數/（力=%05?！父丁穩(wěn)（—4,4）的圖象大致為（）

yk

c.

5.若a=log3gb=,則的大小關系為()

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<a<bD.c<b<a

6.核酸檢測分析是用熒光定量PCR法，通過化學物質的熒光信號，對在PCR擴增進程中成指數級增加的

靶標DNA實時監(jiān)測，在PCR擴增的指數時期，熒光信號強度達到閾值時，DNA的數量工與擴增次數

〃滿足lgX“=〃lg(l+p)+lgXo,其中0為擴增效率，X“為DNA的初始數量.已知某被測標本DNA擴

增10次后，數量變?yōu)樵瓉淼?00倍，那么該樣本的擴增效率?約為()(參考數據：

10°-2?1.585,1O-0-2?0.631)

A.36.9%B.41.5%C.58.5%D.63.4%

7.己知函數/("=口》2-2%+11?有兩個不同的極值點石,%2，則/(玉)+/(々)的取值范圍為()

A」一",一若]B.(-oo,-V5jC.(一e,-3]D.(-oo,-3)

8.己知函數/(x)=優(yōu)①>0且aw1)滿足/(I)>1,且函數y=log,(/—?—1)在[2,3]上單調遞增，

則實數a的取值范圍為()

人”)C.(l,4]D]|,4

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.己知a>0,b>0,ab=2,貝|()

A.log2a?log2b的最大值為g

B.2"+4,的最小值為8

的最小值為4后

172

D.—H—的最小值為一

ba2

10.已知函數/(x)=k-2|e'-a,則()

AJ(x)在(1,2)上單調遞增

B.當x=1和x=2時，函數/(x)分別取得極大值點、極小值點

C./(x)無最大值，有最小值

D.當aw(1,2)時,/(x)有三個零點

11.若定義在R上的函數/(x)的圖象關于點(2,2)成中心對稱，且/(x+1)是偶函數，貝()

AJ(x)圖象關于x=1軸對稱

B./(x+2)-2為奇函數

C./(x+2)=/(x)

20

D.￡/(/)=42

i=0

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.^20=54=—,則工+1=_________.

10ab

13.己知函數/(x)=x"-logfex(a>l,b>1)有且只有一個零點，則ab的取值范圍為.

14.設函數/⑴在R上存在導數/'(%),對于任意的實數x,有/(%)-/(一力+2%=0,當xe(-oo,0]

時，/'("+1<2%,若/(2+m)—/(一m)<2m+2,則實數切的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本小題13分)

已知集合/={x“2x-6|V4},5={x|x2-4mx+(2m+1)(2m-1)<o}.

(1)若夕：,且夕是4的必要不充分條件，求加的取值范圍；

(2)若函數y=log2(ax2—3tzx+2)的定義域為C,且4cC#0,求a的取值范圍.

16.(本小題15分)

Q

已知函數/(X)是定義在R上的偶函數，當x?0時，f[x}=a-y-yx,且

(1)求。的值，并求出/(x)的解析式；

(2)若A/(x)—9，-9-工一14W0在xe(O,+”)上恒成立，求X的取值范圍.

17.(本小題15分)

設a>0且aw1,函數/(x)=log?(x-l),g(x)=logfl(2x+t)(teR).

⑴當”1時，求不等式2/(x”g(x)的解集；

(2)若函數〃(x)=a/㈤+什+2/+2在區(qū)間(1,3］上有零點,求/的取值范圍.

18.(本小題17分)

已知函數g(x)=21n(—x-l)+cos(—x-2),函數/(x)與g(x)的圖像關于x=-l對稱，.

(1)求/(x)的解析式；

(2)/(%)-14辦在定義域內恒成立，求a的值；

(3)求證：2八工—3卜M4，?eN*-

k=n+\I?Z)

19.(本小題17分)

偏導數在微積分領域中有重要意義.定義：設二元函數2=/卜/)在點(%,%)附近有定義，當y固定在

%而x在天處有改變量Ax時，相應的二元函數z=/(x,y)有改變量A2=/(XO+AXJO)-/(XO/O),

如果lim—存在，那么稱此極限為二元函數z=/(x,y)在點(%,%)處對了的偏導數(計算時相當于將

—Ax

dz/、/、

，視為常數)，記作丁，若Z=/(XJ)在區(qū)域。內每一點(X4)對X的偏導數都存在，那么這個

M國,%)

偏導數就是一個關于X的偏導函數，它被稱為二元函數z=/(x,y)對x的偏導函數，記作一.以上定義

OX

同樣適用于三元函數.

PVdPdVST

(1)氣體狀態(tài)方程描述的三個變量P、V,T滿足：一=R(R是非零常量).求------------的值,

TdVdTdP

并說明其為常數.

8z

(2)求值：對2=片飛由上的偏導數記;

：,2

JC~

(3)將偏導數應用于包絡線在金融領域可以發(fā)揮重要價值.在幾何學中，某個平面內曲線族的包絡線是跟

該曲線族的每條線都至少有一點相切的一條曲線，例如：曲線族C：(x-/)2+y2=l的包絡線為y=±l.不

難發(fā)現：對于任何一個給定的毛的值，包絡線與原曲線的切點(后,%)的為總是對應y值在參數取遍后得

到的極值.已知函數/(X)=/工+一必“工。，aO)的包絡線為g(x).

(i)求證：/(x)<g(x).

(ii)設/(x)的極值點構成曲線。(x),求證：當。>1時，。(力與g(x)有且僅有一個公共點.

2025屆高三年級10月新起點調研模擬試卷(二)?數學

參考答案、提示及評分標準

1.C

2.B命題?：王式0,3],。=一/+2%為假命題，q=—Y+2x在xe[0,3]上無解，即N與

y=-x2+2x,xe[o,3]函數圖象沒有交點，由圖可知：或<?<一3,

「9]—Q—8Ko

命題1：\/1€[_1,2]/2+6?―840為真命題，貝“4+2。_8<0，解得_7<q<2,綜上所述：實數a

的取值范圍為[—7,-3)”1,2].

3.D因為/(x)在R上的奇函數，所以/(0)=a+logo,51=0,解得a=0,所以

log(x+l)(0<x<l)

〃x)=,05

x-(x-2)(1<x<3)

因為/(x)=/(x—6),所以/(%)的周期為6,所以〃2023)+/(2025)=/⑴+/⑶=-1+3=2.

4.B因為定義域關于原點對稱，又/(—x)=；coseX)=—；cos7u?(eX—b)=—/(%),

177

即/(x)=/。$7a，(e*-b)為奇函數，所以選項A和B錯誤，又當x=]時，COSTU=cos$=0,當

時，此時cosm)。，又易知當”>。時，ex-e-^>0>所以

時，/(x)>0,結合圖象可知選項C錯誤，選項D正確.

5.A因為了=log3%是(0,+“)上的增函數，所以0=log31<log3g<log33=l,即0<a<l,又因為

y=5工是增函數,=5°」〉5°=1,又y=x°」是[0,+“)上的增函數，所以

G］=5°」〉［||〉］￡)=1,即b>c〉l,綜上所述，。力,c的大小關系為a<c<6.

6.C由題意可知，lglOOXo=lOlg(l+同+lgXo，即2+lgX0=lOlg(l+p)+lgXo，所以

1+^=10°-2?1.585,解得夕=0.585.

7.D由/(x)="2—2x+lnx(x>0),求導得廣⑴=2辦—2+工=也三出，由函數/⑴有兩

XX

A=4—8tz>0

個不同的極值點石廣2，得方程2。/—2x+l=0有兩個不相等的正實根，貝人x+x=—>0,解得

12a

x.x=—>0

1922a

0<Q<一，于是

2

ax

/(石)+/(%2)=i-2再+InXi+ax；-2x2+lnx2

=〃+x)2-2(再+12)+1口(再％2)----l-ln(26z),h(a)------l-ln2tz|0<(7],

2-2XXX2

L-ci2J

求導得/(0)=寧>0,函數〃(a)=—：—1—In2a在H上單調遞增，則刈。)</zg]=-3,所

以/(/)+/(%)的取值范圍為/(玉)+/(工2)<-3.

8.B因為函數/(x)=a%a>0且awl)滿足即/(1)=〃>1,所以a>l,又函數

y=log〃(x2—ax—l)在[2,3]上單調遞增，所以函數8(力=/—^—1在[2,3]上單調遞增，所以

-<2,33

〈2,解得。<—,所以1<。<一.

[4-2a-l>0'2/2

9.BCD因為Q>0]>0,〃b=2,

對于A：log2a?log2/)W[log2a:logz^]=[電磬]=；,當且僅當°=6=正時等號成立，故A錯

誤；

對于B：20+4^=+22b>2^2a-22b=2^2a+2b>2722^=8J當且僅當〃=2/=1時等號成立，

故B正確;

對于C：+人3=(Q+〃)(q2_ab+/)=(q+〃)(q2—2+),又

23

a+bN2M=26,a+b222ab=4,Q2+b?—2N2所以a+b324行,當且僅當Q=6=應時等號

成立，故C正確；

22

IT1ba+ba+b1/22、>Hti\2,/\

對于D：—I—=-------=-------=——Fb,設/r(，)=—kb2(b7>0n),則nl

baab22\bJb

=_2+26=2僅-―1)=2(6一])(6+]),所以當。<6<1時/⑸<0,則/。)單調遞減，當

v7b-Z?2b-

112

時/'(9>0,則/⑸單調遞增，所以/僅"/⑴=3,所以：+―的最小值為一，當且僅當

ba2

6=1、。=2時取等號，故D正確.

10.CD

11.BD因為定義在R上的函數/(x)的圖象關于點(2,2)成中心對稱，所以

/(-x)+/(4+x)=4,/(l-x)+/(3+x)=4,又/(x+1)是偶函數，所以/(x+l)=/(l—x),且函

數/(X)的圖象關于X=1軸對稱，即

/(x+l)+/(x+3)=4,/(x+3)+/(x+5)=4^>/(x+l)=/(x+5),即

/(x)=/(x+4)=4-/(-x),對于A項，由上不能得出/(x)圖象關于x=l軸對稱，只能得出/(x)

關于(0,2)中心對稱，故A錯誤；對于B項，易知/(x+2)—2+/(2—x)-2=0,所以/(x+2)-2為

奇函數，故B正

確；對于C項，由上只能得出/(x)的一個周期為7=4,故C錯誤；對于D項，由上易知

/(2)=2=/(0),/(1)+/(3)=4,所以

20

￡/(Z)=5x[/(0)+/(1)+/(2)+/(3)]+/(20)=40+/(0)=42,故D正確；

z=0

12.-1

13.ee,+oo依題意得g(x)=x"與丸(x)=log/只有一個交點，即兩曲線相切,則g'(x)=〃'(x)只有

I7

一個解，

??.4/7=工，化簡得x=將其代入/(x)得

---+—log^(tzlnZ7)=0,/.log^e+log^(alnb)=0,即

ainba」

Jb，1'

eainb=1,a=—^—r:a>1,—^—>1,/.1<Z)<ee,則〃b=設03)=-TT，則

elnZ?einbM')eln隊J

/j_A11_

他)在1?單調遞減,0⑸〉。ee=ee,「.ab>ee,「.副的取值范圍是

e(lnb)I\I)

ee,+??

k)

14.(-<?,-1]令函數g(x)=/(x)-x2+x,因為xe(-e,0],時/'(x)+l<2x,所以

g,(x)=/,(x)-2x+l<0,所以函數g(x)在xe(-”,0]上單調遞減，又因為

g(x)-g(-x)=/(x)-x2+x-[/(-x)-(-x)2-x]=/(x)-/(-x)+2x=0,所以函數

g(-x)=g(x),所以g(x)為偶函數，根據偶函數的對稱性，可得/(X)在(0,+動上單調遞增，若

f(2+加)一/(一加)<2加+2則g(2+加)+(2+加了++(—加)<2m+2,整理

得g(2+^)Wg(一加)，所以|2+加閆一同，兩邊平方可得加+4切+44/,解得機<一1,即實數加

的取值范圍為

15.(1)由題意知幺={52%一5|<3}=[1,4],

解不等式——4M+(2機+1)(2%—1)W0,解得2〃z-l<x<2m+l,所以8=[2掰-1,2加+1],

因為。是9的必要不充分條件，所以8是/的真子集,

2m-1>1,

所以《且等號不同時成立,

2m+1<4,

33

解得IV加<一,即加的取值范圍是1,-

22

(2)因為4cCw0,所以4、2一3%+2>0在XE[1,4]上有解,

23

所以Q>一--+-,

XX

人1「1JI23c2々「59一

令,二一￡—,1,貝！J7-1=-2彳+3zG—,

x4xx88

所以a>2,即。的取值范圍是住,+“

818J

1Q

16.(1)因為/⑴是偶函數，所以/(—l)=/(l)=3a—§=§,

解得a=l,

當x<0時，可得-x>0,所以=力=3一，34)=3一，3"

所以函數/(x)的解析式為/(x)=,/

3-3,x<0.

(2)由⑴知，當x〉0時，/(力=3*—3—工>0,

因為2/(x)—9、—9一一1440在xe(0,+“)上恒成立，

所以/<9,+9-，+14_(3一尸)2+16_,

-3”-3r3%-3-x3'-3r

又因為3工-3T+16->2J(3,-3-).——=8,

3A-3-xv'r-Yx

當且僅當3工—3T=3「；x時,即x=l°g3(、后+2)時等號成立，

所以X<8,即X的取值范圍是(一。,8]

17.(1)當/=1時，不等式2/(x)?g(x)可化為21oga(x-l)?loga(2x+l),

x—1>0

若0<avl,貝卜2x+1>0,解得x>4,

(x-1)2>2x+l

所以不等式2/(x)<g(x)的解集為[4,+8)；

x—1>0

若”1,貝12x+l>0,解得1<、<4,

(x-1)2<2x+l

所以不等式"(x)Wg(x)的解集為(1,4］；

綜上所述，當0<a<l時，不等式2/(同48(力的解集為［4,+8)；

當4>1時,不等式2/(x)Vg(x)的解集為(1,4］；

(2)由題意可知/z(x)=JU+及2+2%+2=￡+%+2,+1,

令加,+x+2,+1=0,即，(*+2)=+,因為xw(1,3］,所以x+1w(2,4］,

12?o

所以/。0,/+2/0,所以！=

tx+1

設機=x+le(2,4］,則)=_(—_0+2=_(僧+二］+2,

tmmJ

因為函數歹=一1+』］+2在(2,4］上單調遞減，

111324

所以---<-<——，所以——<t4----.

4t2311

18.(1)依題意，設/⑴圖像上任意一點坐標為(毛,九),

則其關于x=-1對稱的點(-2-％，%)在g(%)圖像上，

則%=/(%)=g(—2-則/(Xo)=g(—%—2)=2111(%+1)+3%,(后〉一1)

故/(x)=21n(x+l)+cosx,(x>-1)；

(2)令〃(x)=/(x)-1-ax=21n(x+l)+cosx-l-ax,(x>-1),

則在人(x)40在》€(wěn)(—1,+8〉恒成立，

又〃(0)=0,且〃(x)在xe(-l,+8)上是連續(xù)函數，則x=0為〃(x)的一個極大值點,

2一

h\x)=-------sinx-a,〃'(0)=2—〃=0n〃=2,

x+1

下證當a=2時，〃(》)《0在》€(wěn)(-1,+8)恒成立，

1X

令0(x)=ln(x+1)-x,(p\x)=-------1=--------,

x+1x+1

當xe(—1,0),0<x)>0,9(x)在(—1,0)上單調遞增，

當xe(0,+co),9'(x)<0,°(x)在(0,+e)上單調遞減,

故9(x)<9(0)=0,ln(x+l)Wx在(T,+co)上恒成立，又cosx<l,

則Q=2時，h(x)=f(x)-l-tzx=2[in(x+l)-x]+(cosx-1)V0恒成立,

綜上，a=2.

(3)由(2)可知：/(x)-l<2x,

2

則/-1<2，即/

2n111

則X/<2------1--------F,??H

k=n+l〃+1〃+22n

又由（2）可知：ln（x+l）Wx在上恒成立,

則Inx<x-1在（0,+。）上恒成立且當且僅當x=1時取等,

.〃/Cl、-1

令％=----￡(0,1)，HGN，則In------<--------1=------

〃+1〃+1〃+1〃+1

rr111〃+l1/1、1

即----<-In------=In------=ln(〃+1)—In〃，

〃+ln+1n

11

則------1-------H-----F—<ln(n+1)-In〃+ln(n+2)-ln(〃+l)d-----Fln(2〃)-ln(2n-1)

〃+1〃+22n

=ln(2〃)-In?=In2,

2n

綜上，E/<21n2=ln4,即證

k=n+\

TR8PTRTRdVRPV

19.(1)P=-----------=-----7r；/=---—=——；1=----,

VdVV2P8TPR加一萬

名亞n7

dVdTdPVP

dz兀

dz_v.y_vy1