第七章方差分析AnalysisofVariance（ANOVA)11/9/20241版權所有BY統計學課程組學習目標掌握方差分析中的基本概念；掌握方差分析的基本思想和原理；掌握單因素方差分析的方法及應用；初步了解多重比較方法的應用；了解雙因素方差分析的方法及應用。11/9/20242版權所有BY統計學課程組學習內容第一節方差分析簡介常用術語

基本假定第二節單因素方差分析

分析模型

基本思想

分析步驟

多重比較第三節雙因素方差分析無交互作用雙因素方差分析有交互作用雙因素方差分析11/9/20243版權所有BY統計學課程組7.1方差分析簡介7.1.1方差分析中的基本概念7.1.2方差分析中的基本假設與檢驗11/9/20244版權所有BY統計學課程組失業保險案例：為什么要進行方差分析？

為了減小失業保險支出、促進就業，政府試圖為失業者提供再就業獎勵：如果失業者可以在限定的時間內重新就業，他將可以獲得一定數額的獎金。政策會有效嗎？11/9/20245版權所有BY統計學課程組試驗數據不同獎金水平失業者的再就業時間（天）

無獎金低獎金中獎金高獎金9286967810010892758593907688887787898979739075718394788282807275687879817211/9/20246版權所有BY統計學課程組要研究的問題總體1，μ1（獎金=1）總體2，μ2（獎金=2）總體3，μ3（獎金=3）樣本1樣本2樣本3樣本4總體4，μ4（獎金=4）11/9/20247版權所有BY統計學課程組各個總體的均值相等嗎？Xf(X)

1

2

3

4

Xf(X)

3

1

2

4

11/9/20248版權所有BY統計學課程組失業保險案例：實驗結果……1=無獎金2=低獎金3=中獎金4=高獎金。根據實驗結果，可以認為各總體的平均失業時間相同嗎？11/9/20249版權所有BY統計學課程組研究方法：兩樣本的t檢驗？如果采用t檢驗法對多個總體均值進行差異顯著性檢驗，會出現如下問題：全部檢驗過程煩瑣，做法不經濟無統一的總體方差估計，檢驗的精度降低犯第一類錯誤的概率增大，檢驗的可靠性降低11/9/202410版權所有BY統計學課程組方差分析可以用來比較多個均值方差分析（Analysisofvariance，ANOVA）的主要目的是通過對方差的比較來同時檢驗多個均值之間差異的顯著性?？梢钥醋鱰檢驗的擴展，只比較兩個均值時與t檢驗等價。20世紀20年代由英國統計學家費喧（R.A.Fisher）最早提出的，開始應用于生物和農業田間試驗，以后在許多學科中得到了廣泛應用。11/9/202411版權所有BY統計學課程組ANOVA(analysisofvariance)由于方差分析法是通過比較有關方差的大小而得到結論的，所以在統計中，常常把運用方差分析法的活動稱為方差分析。方差分析的內容很廣泛，既涉及到實驗設計的模式，又關乎數據分析模型中因素效應的性質。本章在完全隨機試驗設計下，討論固定效應模型方差分析的基本原理與方法，重點介紹單因素方差分析及兩因素方差分析的內容。11/9/202412版權所有BY統計學課程組7.1.1方差分析中的幾個基本概念因變量：我們實際測量的、作為結果的變量，例如失業持續時間。因變量也稱試驗指標，其不同的取值常稱為觀察值或試驗數據。自變量：作為原因的、把觀測結果分成幾個組以進行比較的變量例如獎金水平。在方差分析中，自變量也被稱為因素(factor)。因素的不同表現，即每個自變量的不同取值稱為因素的水平。11/9/202413版權所有BY統計學課程組7.1.1方差分析中的幾個基本概念方差分析主要用來研究一個定量因變量與一個或多個定性自變量的關系只有一個自變量的方差分析稱為單因素方差分析。研究多個因素對因變量的影響的方差分析稱為多因素方差分析，其中最簡單的情況是雙因素方差分析。11/9/202414版權所有BY統計學課程組為便于理解，在單因素方差分析中，將因素的任何一個水平（處理）看作是一個總體，該水平（處理）下試驗得到的數據可看成是從總體中抽出的一個樣本，處理的重復數即為樣本容量。7.1.1：固定效應與隨機效應模型11/9/202415版權所有BY統計學課程組若因素的每一個水平（處理）均做試驗，相當于對該因素進行了全面調查。此種情形下，方差分析目的在于：對比較尋優，即確定因素的顯著影響水平，且該顯著影響水平僅在中有效，在外無效，一句話，試驗數據不能對因素做推斷，這屬于固定效應模型方差分析范疇。固定效應模型：因素的所有水平都是由實驗者審慎安排而不是隨機選擇的。7.1.1：固定效應模型11/9/202416版權所有BY統計學課程組若只對因素的部分水平（處理）做試驗，相當于對進行了抽樣調查，此種情形下，方差分析目的在于：對因素的總體變量所服從的分布進行差異性檢驗和參數估計，即樣本推斷總體，這屬于隨機效應模型方差分析范疇。隨機效應模型：因素的水平是從多個可能的水平中隨機選擇的。固定效應和隨機效應模型在假設的設置和參數估計上有所差異，本章研究的都是固定效應模型。7.1.1：隨機效應模型11/9/202417版權所有BY統計學課程組方差分析與回歸分析的聯系*回歸分析主要用來研究定量自變量和定量因變量之間的關系（第八章學習）?；貧w分析中方差分析常常用來檢驗回歸方程的整體顯著性?；貧w模型中也可以包含定性自變量。這時回歸模型與方差分析模型是等價的。11/9/202418版權所有BY統計學課程組7.1.2：方差分析中的基本假設（1）在各個總體中因變量都服從正態分布；（2）在各個總體中因變量的方差都相等；（3）各個觀測值之間是相互獨立的。11/9/202419版權所有BY統計學課程組（1）正態性的檢驗各組數據的直方圖Q-Q圖，K-S檢驗*11/9/202420版權所有BY統計學課程組（2）等方差性的檢驗經驗方法：計算各組數據的標準差，如果最大值與最小值的比例小于2:1，則可認為是同方差的。

本例中，最大值和最小值的比例等于1.83<2。Levene檢驗*獎金水平均值N標準差188.4496.82285.33911.02382.5698.38477.1196.0111/9/202421版權所有BY統計學課程組方差分析對前兩個假設條件是穩健的，允許一定程度的偏離。獨立性的假設條件一般可以通過對數據搜集過程的控制來保證。如果確實嚴重偏離了前兩個假設條件，則需要先對數據進行數學變換，也可以使用非參數的方法來比較各組的均值。(3)其它說明11/9/202422版權所有BY統計學課程組7.2.1單因素方差分析模型7.2.2方差分析的基本原理7.2.3單因素方差分析的步驟7.2.4方差分析中的多重比較7.2.單因素方差分析11/9/202423版權所有BY統計學課程組7.2.1單因素方差分析模型11/9/202424版權所有BY統計學課程組單因素方差分析的數據結構11/9/202425版權所有BY統計學課程組同一試驗條件下的數據變異-----隨機因素影響不同試驗條件下，試驗數據變異-----隨機因素和可能存在的系統性因素即試驗因素共同影響試驗數據變異原因（誤差來源）分析11/9/202426版權所有BY統計學課程組實驗數據誤差類型隨機誤差因素的同一水平(總體)下，樣本各觀察值之間的差異比如，同一獎金水平下不同不同人的失業時間是不同的這種差異可以看成是隨機因素影響的結果，稱為隨機誤差

系統誤差因素的不同水平(不同總體)下，各觀察值之間的差異比如，不同獎金水平之間的失業時間之間的差異這種差異可能是由于抽樣的隨機性所造成的，也可能是由于獎金本身所造成的，后者所形成的誤差是由系統性因素造成的，稱為系統誤差11/9/202427版權所有BY統計學課程組方差分析的實質與分析目的方差分析的實質：觀測值變異原因的數量分析。方差分析的目的：系統中是否存在顯著性影響因素11/9/202428版權所有BY統計學課程組7.2.1單因素方差分析模型（1）單因素方差分析:模型中有一個自變量（因素）和一個因變量。在失業保險實驗中，假設張三在高獎金組，則

張三的失業時間

=高獎金組的平均失業時間+隨機因素帶來的影響

=總平均失業時間

+高獎金組平均值與總平均值之差

+隨機因素帶來的影響

11/9/202429版權所有BY統計學課程組7.2.1單因素方差分析模型（2）11/9/202430版權所有BY統計學課程組7.2.2方差分析的基本原理11/9/202431版權所有BY統計學課程組總變差（離差平方和）的分解數據的誤差用離差平方和(sumofsquares)描述。組內離差平方和(withingroups)因素的同一水平(同一個總體)下樣本數據的變異比如，同一獎金水平下失業時間的差異組內離差平方和只包含隨機誤差組間離差平方和(betweengroups)因素的不同水平(不同總體)下各樣本之間的變異比如，四個獎金水平之間失業時間的差異組間離差平方和既包括隨機誤差，也包括系統誤差11/9/202432版權所有BY統計學課程組總變差（離差平方和）分解的圖示組間變異總變異組內變異11/9/202433版權所有BY統計學課程組SST＝SSA＋SSE

總變差因素A及隨機因素導致的變差隨機因素導致的變差組間離差平方和組內離差平方和11/9/202434版權所有BY統計學課程組11/9/202435版權所有BY統計學課程組離差平方和的自由度與均方三個平方和的自由度分別是SST的自由度為nk-1，nk為全部觀察值的個數SSA的自由度為k-1，其中k為因素水平的個數SSE的自由度為nk-k各離差平方和的大小與觀察值的多少有關，為了消除觀察值多少對離差平方和大小的影響，需要將其平均，這就是均方，也稱為方差。均方的計算方法是用離差平方和除以相應的自由度。11/9/202436版權所有BY統計學課程組組間離差平方和組內離差平方和組間方差組內方差受因素A和隨機

因素的影響只受隨機

因素的影響11/9/202437版權所有BY統計學課程組F比值如果因素A的不同水平對結果沒有影響，那么在組間方差中只包含有隨機誤差，兩個方差的比值會接近1如果不同水平對結果有影響，組間方差就會大于組內方差，組間方差與組內方差的比值就會大于1當這個比值大到某種程度時，就可以說不同水平之間存在顯著差異，或者說因素A對結果有顯著影響。組間方差組內方差F=11/9/202438版權所有BY統計學課程組F比的分布F分布曲線11/9/202439版權所有BY統計學課程組F分布與拒絕域如果均值相等，F=MSA/MSE

1a

F分布顯著水平下的臨界點F

(k-1,nk-k)0拒絕H0不能拒絕H0F11/9/202440版權所有BY統計學課程組7.2.2：方差分析的基本思想將k個水平（處理）的觀測值作為一個整體看待，利用方差的可分解性，把觀測值總變異的離差平方和及自由度分解為相應于不同變異來源的離差平方和及自由度，進而獲得不同變異來源總體方差估計值；通過計算這些總體方差估計值的適當比值，即F比值，并以此比值的大小來判斷各樣本所屬總體平均數是否相等。目的是檢查所討論因素是否作為系統性因素來影響試驗結果。11/9/202441版權所有BY統計學課程組7.2.3：方差分析的步驟1.檢驗數據是否符合方差分析的假設條件。2.提出零假設和備擇假設：零假設：各總體的均值之間沒有顯著差異，即

備擇假設：至少有兩個均值不相等，即11/9/202442版權所有BY統計學課程組7.2.3：方差分析的步驟3.根據樣本計算F統計量的值。方差分析表變差來源離差平方和SS自由度df均方MSF值組間SSAk-1MSAMSA/MSE組內SSEnk-kMSE總變異SSTnk-111/9/202443版權所有BY統計學課程組7.2.3：方差分析的步驟4.確定決策規則并根據實際值與臨界值的

比較，或者p-值與α的比較得出檢驗結論。

在零假設成立時組間方差與組內方差的比值服從服從自由度為(k-1,nk-k)的F分布臨界值拒絕域p-值α實際值

F檢驗的臨界值和拒絕域

11/9/202444版權所有BY統計學課程組失業保險的例子（1）在失業保險實驗中，設顯著性水平α=0.05，試分析獎金水平對失業時間的影響是否顯著。不同獎金水平失業者的再就業時間（天）

無獎金低獎金中獎金高獎金9286967810010892758593907688887787898979739075718394788282807275687879817211/9/202445版權所有BY統計學課程組失業保險的例子（2）1、根據前面的分析，數據符合方差分析的假設條件。2、提出零假設和備擇假設：H0：μ1＝μ2＝μ3＝μ4，H1：μ1、μ2、μ3、μ4不全相等。11/9/202446版權所有BY統計學課程組失業保險的例子（3）3、計算F統計量的實際值。

手工計算可以按照方差分析表的內容逐步計算。由于計算量大，實際應用中一般要借助于統計軟件。下面是Excel計算的方差分析表。變差來源SS自由度MSFp-值F臨界值組間624.973208.323.040.04332.90組內2195.333268.60總變差2820.3135

11/9/202447版權所有BY統計學課程組失業保險的例子（4）4、樣本的F值為3.04。由于

因此我們應拒絕零假設，從而得出獎金水平對再就業時間有顯著影響的結論。類似的，由于，可以得出同樣的結論。2.90.04330.053.0411/9/202448版權所有BY統計學課程組例2熱帶雨林（1）各水平下的樣本容量不同時單因素方差分析的方法也完全適用，只是公式的形式稍有不同，在使用軟件進行分析時幾乎看不出這種差別。

一份研究伐木業對熱帶雨林影響的統計研究報告指出，“環保主義者對于林木采伐、開墾和焚燒導致的熱帶雨林的破壞幾近絕望”。這項研究比較了類似地塊上樹木的數量，這些地塊有的從未采伐過，有的1年前采伐過，有的8年前采伐過。根據數據，采伐對樹木數量有顯著影響嗎？顯著性水平α=0.05。

11/9/202449版權所有BY統計學課程組例2熱帶雨林（2）1、正態性檢驗：直方圖從未采伐過1年前采伐過8年前采伐過27121822124291522219151920183318191617222014122414122722817191911/9/202450版權所有BY統計學課程組例2熱帶雨林（3）同方差性檢驗：最大值與最小值之比等于33.19/4.81=1.34，明顯小于4，因此可以認為是等方差的。

組計數求和平均方差從未采伐過1228523.7525.661年前采伐過1216914.0824.818年前采伐過914215.7833.1911/9/202451版權所有BY統計學課程組例2熱帶雨林（4）2、提出零假設和備擇假設零假設：雨林采伐對林木數量沒有顯著影響（各組均值相等）；備擇假設：雨林采伐對是有顯著影響（各組均值不全相等）。11/9/202452版權所有BY統計學課程組例2熱帶雨林（5）3、方差分析表4、結論。F值=11.43>3.32，p-值=0.0002<0.05，因此檢驗的結論是采伐對林木數量有顯著影響。變差源SSdfMSFP-valueFcrit組間625.162312.5811.430.00023.32組內820.723027.36總計1445.8832

11/9/202453版權所有BY統計學課程組7.2.4方差分析中的多重比較在方差分析中，不拒絕零假設H0，表示拒絕總體均數相等的證據不足，分析終止；當零假設H0被拒絕時，我們可以確定至少有兩個總體的均值有顯著差異。但要進一步檢驗哪些均值之間有顯著差異還需要采用多重比較的方法進行分析。這在方差分析中稱為事后檢驗(PostHoctest)。多重比較是同時對各個總體均值進行的兩兩比較。方法很多，如Fisher最小顯著差異（LeastSignificantDifference，LSD）方法、Tukey的誠實顯著差異（HSD）方法或Bonferroni的方法等。這里我們只介紹最小顯著差異方法。11/9/202454版權所有BY統計學課程組用LSD法進行多重比較的步驟1、提出假設H0:mi=mjH1:mi

mj2、計算檢驗的統計量3a、如果或則拒絕H0。3b、計算的置信區間：

如果0包含在該置信區間內則不能拒絕H0，否則拒絕H0。11/9/202455版權所有BY統計學課程組實例：失業保險實驗根據第一個總體和第四個總體計算的t統計量利用統計軟件可以計算出t檢驗的臨界值

由于，因此我們有證據表明

無獎金組與高獎金組的再就業時間有顯著差異。其他獎金水平效應之間差異的顯著性也可以用類似的方法計算。

11/9/202456版權所有BY統計學課程組實例：熱帶雨林采伐很多統計軟件都可以直接進行多重比較。下表是SPSS對熱帶雨林例子的輸出結果。置信區間5.31~14.03，3.26~12.68不包括0，差異顯著。置信區間-6.04~3.02包括了0，差異不顯著。

(I)采伐類型(J)采伐類型均值差(I-J)標準誤p-值95%置信區間下限上限從未采伐過1年前采伐過9.672.140.00015.3114.038年前采伐過7.972.310.00173.2612.681年前采伐過從未采伐過-9.672.140.0001-14.03-5.318年前采伐過-1.692.310.4682-6.403.028年前采伐過從未采伐過-7.972.310.0017-12.68-3.261年前采伐過1.692.310.4682-3.026.4011/9/202457版權所有BY統計學課程組7.3雙因素方差分析7.3.1無交互作用的雙因素方差分析7.3.2有交互作用的雙因素方差分析7.3.3雙因素方差分析的步驟7.3.4貢獻率分析11/9/202458版權所有BY統計學課程組交互作用交互作用即一個因素對因變量的影響程度受另一個因素的影響的情況。假設學生分兩類：在校和在職。把兩類學生隨機分成兩組，分別采用課堂講授和交互式教學方法，考試結果如下表?？梢娬n堂講授的方式更適合于在校生，交互式教學方式更適合于在職生。在這種情況下我們說兩個因素之間存在著交互作用。課堂講授交互式教學在校學生9075在職學生759011/9/202459版權所有BY統計學課程組交互作用示意圖11/9/202460版權所有BY統計學課程組交互作用級因子間的交互作用會隨著因子個數的增加而增加。如四個因子A，B，C，D間的交互作用有以下幾類：(1)二級交互作用有6個：AB，AC，AD，BC，BD，CD；(2)三級交互作用有4個：ABC，ABD，ACD，BCD；(3)四級交互作用有1個：ABCD。交互作用共有11個，比因子個數還多。實踐經驗表明，多數交互作用是不存在或者很小以至可以忽略不計的，一般我們主要考慮部分二級交互作用，但考察哪些二級交互作用由具體情況來決定。11/9/202461版權所有BY統計學課程組雙因素方差分析的類型和基本假設雙因素方差分析中因素A和B對結果的影響相互獨立時稱為無交互作用的雙因素方差分析。如果除了A和B對結果的單獨影響外還存在交互作用，這時的雙因素方差分析稱為有交互作用的雙因素方差分析。雙因素方差分析中的基本假設是各個子總體都服從正態分布，有相同的方差，并且各個觀測值之間相互獨立（與單因素時相同）。11/9/202462版權所有BY統計學課程組7.3.1無交互作用雙因素方差分析數據結構11/9/202463版權所有BY統計學課程組7.3.1無交互作用的雙因素方差分析模型在無交互作用的雙因素方差分析模型中因變量的取值受四個因素的影響：總體的平均值；因素A導致的差異；因素B導致的差異；以及誤差項。寫成模型的形式就是：11/9/202464版權所有BY統計學課程組無交互作用的雙因素方差分析模型11/9/202465版權所有BY統計學課程組離差平方和的分解SSASSBSSESST11/9/202466版權所有BY統計學課程組無交互作用的雙因素方差分析表變差來源離差平方和SS自由度df均方MSF值A因素SSAr-1MSA=SSA/(r-1)FA=MSA/MSEB因素SSBs-1MSB=SSB/(s-1)FB=MSB/MSE誤差SSE(r-1)(s-1)MSE=SSE/(r-1)(s-1)合計SSTrs-111/9/202467版權所有BY統計學課程組7.3.2有交互作用的雙因素方差分析數據結構11/9/202468版權所有BY統計學課程組7.3.2有交互作用的雙因素方差分析模型在有交互作用的雙因素方差分析模型中因變量的取值受五個因素的影響：總體的平均值；因素A導致的差異；因素B導致的差異；由因素A和因素B的交互作用導致的差異；以及誤差項。寫成模型的形式就是：11/9/202469版權所有BY統計學課程組7.3.2有交互作用的雙因素方差分析模型11/9/202470版權所有BY統計學課程組離差平方和的分解SSTSSASSBSSESSAB11/9/202471版權所有BY統計學課程組有交互作用的雙因素方差分析表變異來源離差平方和SS自由度df均方MSF值A因素SSAr-1MSA=SSA/(r-1)FA=MSA/MSEB因素SSBs-1MSB=SSB/(s-1)FB=MSB/MSEAB交互作用SSAB(r-1)(s-1)MSAB=SSAB/(r-1)(s-1)FAB=MSAB/MSE誤差SSErs(l-1)MSE=SSE/rs(l-1)合計SSTrsl-111/9/202472版權所有BY統計學課程組7.3.3

雙因素方差分析的步驟（1）雙因素方差分析的步驟與單因素分析類似，主要包括以下步驟：1.分析所研究數據能否滿足方差分析要求的假設條件，需要的話進行必要的檢驗。如果假設條件不滿足需要先對數據進行變換。11/9/202473版權所有BY統計學課程組7.3.3

雙因素方差分析的步驟（2）2、提出零假設和備擇假設。雙因素方差分析可以

同時檢驗兩組或三組零假設和備擇假設。要說明因素A有無顯著影響，就是檢驗如下假設：要說明因素B有無顯著影響，就是檢驗如下假設：

在有交互作用的雙因素方差中，要說明兩個因素的交互作用是否顯著還要檢驗第三組零假設和備擇假設：11/9/202474版權所有BY統計學課程組7.3.3

雙因素方差分析的步驟（3）3、計算F檢驗值。4、根據實際值與臨界值的比較，或者p-值與α的比較得出檢驗結論。與單因素方差分析的情況類似，對FA、FB和FAB，當F的計算值大于臨界值Fα（或者p-值<α）時拒絕零假設H0。11/9/202475版權所有BY統計學課程組雙因素方差分析：失業保險的例子（1）年齡組123

928894獎11008980

859078868878金21088972937579967782水3927975

907181

788782平4757368

768372同時考慮獎金和年齡因素，二者對失業時間有顯著影響嗎？11/9/202476版權所有BY統計學課程組雙因素方差分析：失業保險的例子（2）1、同時考慮獎金水平和年齡因素時，每種實驗條件

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