冷集02復照

十年考情-探規律1

考點十年考情(2015-2024)命題趨勢

考點1求復數的實2020?全國卷、2020?江蘇卷、2018?江蘇卷、

部與虛部2016?天津卷、2016?江蘇卷、2016?全國卷、

（10年4考）2015?重慶卷、2015?北京卷

2023?全國甲卷、2022?浙江卷、2022?全國乙卷、

L理解、掌握復數的代數形式，

考點2復數相等2022?全國乙卷、2021?全國乙卷、2017?浙江卷、

能夠掌握數集分類及復數分類，

（10年7考）2016?天津卷、2015?全國卷、2015?全國卷、

需要關注復數的實部、虛部、及

2015?上海卷

純虛數

考點3復數的分類2017?全國卷、2017.全國卷、2017?天津卷、

2.能正確計算復數的四則運算及

（10年2考）2015?天津卷

模長等問題，理解并掌握共軌復

2024.全國甲卷、2024?全國甲卷、2023?北京卷、

數

考點4共輾復數2023?全國乙卷、2023?全國新I卷、2022?全國

3.熟練掌握復數的幾何意義即復

（10年10考）甲卷、2022?全國甲卷、2022?全國新I卷、

數與復平面上點的對應關系

2021?全國乙卷、2021?新I卷全國

2024?全國新H卷、2023?全國乙卷、2022.全國

本節內容是新高考卷的必考內

考點5復數的模甲卷、2022.北京卷、2020?全國卷、2020?全國

容，一般考查復數的四則運算、

（10年9考）卷、2020?全國卷、2019,全國卷、2019?天津卷、

共甄復數、模長運算、幾何意義，

2019?浙江卷

題型較為簡單。

2023?全國新H卷、2023?北京卷、2021?全國新

考點6復數的幾何

II卷、2020?北京卷、2019?全國卷、2019?全國

意義

卷、2018?北京卷、2017?全國卷、2017?北京卷、

（10年8考）

2016?全國卷

分考點?精準練

考點01求復數的實部與虛部

1.(2020?全國?高考真題)復數［1的虛部是()

1-31

3113

A.——B.---C.—D.—

10101010

【答案】D

【分析】利用復數的除法運算求出z即可.

［詳解］因為Z=---=---——----=—+

i十用午/l-3z(l-3z)(l+3z)1010

13

所以復數的虛部為2.

l-3z10

故選：D.

【點晴】本題主要考查復數的除法運算，涉及到復數的虛部的定義，是一道基礎題.

2.(2020?江蘇?高考真題)已知i是虛數單位，則復數z=(l+i)(2-i)的實部是.

【答案】3

【分析】根據復數的運算法則，化簡即可求得實部的值.

【詳解】回復數z=(l+i)(27)

0z=2-z+2z-z2=3+z

回復數的實部為3.

故答案為：3.

【點睛】本題考查復數的基本概念，是基礎題.

3.(2018?江蘇?高考真題)若復數z滿足力.z=l+2z.，其中i是虛數單位，則z的實部為

【答案】2

【詳解】分析：先根據復數的除法運算進行化簡，再根據復數實部概念求結果.

詳解：因為＞z=l+2i,則z=「一=2-i,貝”的實部為2.

1

點睛：本題重點考查復數相關基本概念，如復數歷m/eR)的實部為。、虛部為模為4r萬、對應

點為(0力)、共為復數為a-歷.

4.(2016?天津?高考真題)i是虛數單位，復數z滿足(l+i)z=2,則z的實部為.

【答案】1

2

【詳解】試題分析:(l+z)z=2=>z==l-i,所以z的實部為L

177

【考點】復數概念

【名師點睛】本題重點考查復數的基本運算和復數的概念，屬于基礎題.首先對于復數的四則運算，要切實

掌握其運算技巧和常規甩路，如(4+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i(a,b,c,deR),

a+bi(ac+bd)+(be-ad)i

(a,b,c,dwR),.其次要熟悉復數的相關基本概念，如復數。+初(。,〃￡尺)的實部

c+dic2+d2

為a、虛部為6、模為"共軌復數為。-玩.

5.(2016,江蘇?高考真題)復數z=(l+2i)(3-i),其中，為虛數單位，貝|z的實部是.

【答案】5

【詳解】試題分析：z=(l+2i)(3-i)=5+5i.故答案應填：5

【考點】復數概念

【名師點睛】本題重點考查復數的基本運算和復數的概念，屬于基本題.首先對于復數的四則運算，要切實

掌握其運算技巧和常規甩路，如(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,a,b,c,dwR,其次要熟悉復數的相關概

念，如復數。+陽。,方€尺)的實部為a,虛部為b,模為J4+62,共軌為萬

6.(2016?全國?高考真題)設(l+2i)(a+i)的實部與虛部相等，其中。為實數，則。=

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】A

【詳解】試題分析：(l+2i)(a+i)=a-2+(l+2a)i,由已知，得。-2=1+2。，解得。=-3,選A.

【考點】復數的概念及復數的乘法運算

【名師點睛】復數題也是每年高考的必考內容，一般以客觀題的形式出現，屬得分題.高考中考查頻率較高的內

容有：復數相等、復數的幾何意義、共輾復數、復數的模及復數的乘除運算.這類問題一般難度不大,但容易

出現運算錯誤，特別是i2=-l中的負號易忽略，所以做復數題時要注意運算的準確性.

7.(2015?重慶?高考真題)復數(l+2i)i的實部為.

【答案】-2

【詳解】由于(l+2i)i=i+2i2=-2+i,故知其實部為-2,故填：2

考點：復數的概念與運算.

8.(2015?北京?高考真題)復數41+/)的實部為.

【答案】-I

【詳解】復數，(1+7)=7-1=-1+/，其實部為-I.

考點：復數的乘法運算、實部.

考點02復數相等

1.(2023?全國甲卷?高考真題)設aeR,(a+i)(l—歷)=2,,貝巾=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】根據復數的代數運算以及復數相等即可解出.

【詳解】因為(4+1)(1-0)=4-4勺+1+4=24+(1-42)=2,

2。=2

所以，解得:a=l.

l-a2=0

故選：c.

2.（2022?浙江?高考真題）已知a,beR,a+3i=S+i）i（i為虛數單位），則（）

A.a=l,b=-3B.ci=—l,b=3C.a=-l,h=-3D.a=1,b=3

【答案】B

【分析】利用復數相等的條件可求。，瓦

【詳解】〃+3i=—1+歷，而〃）為實數，故。=-11=3,

故選：B.

3.（2022?全國乙卷?高考真題）設（l+2i）a+b=2i,其中。力為實數，貝|（）

A.a=l,b=-lB.a=l,b=lC.a=-l,b=lD.a=-l,b=-l

【答案】A

【分析】根據復數代數形式的運算法則以及復數相等的概念即可解出.

【詳解】因為iR,（a+b）+2ai=2i,所以。+/?=0,2。=2,解得：a=l,b=-l.

故選：A.

4.（2022?全國乙卷?高考真題）已知z=l-23且z+df+b=0,其中〃，b為實數，則（）

A.a=l,b=-2B.a=—l,b=2C.a=l,b=2D.a=—l,b=-2

【答案】A

【分析】先算出口再代入計算，實部與虛部都為零解方程組即可

【詳解】z=l-2i

z+az+Z?—1—2i+a(l+2i)+Z?=(1+Q+b)+(2Q—2)i

由z+龍+b=0,結合復數相等的充要條件為實部、虛部對應相等，

(1+a+b=0[a=l

得1，即、

[2a-2=0[b=-2

故選:A

5.(2021?全國乙卷,高考真題)設2(z+z)+3(z—z)=4+6i,貝!jz=()

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.1-i

【答案】C

【分析】設2=。+萬，利用共軌復數的定義以及復數的加減法可得出關于〃、b的等式，解出這兩個未知數

的值，即可得出復數z.

【詳解】設2=。+萬，貝1」5=。一萬，貝iJ2（z+亍）+3（z-5）=4a+6歷=4+6i,

[4a=4

所以，Iz：乙，解得。="=1，因此，z=l+i.

6/7?=6

故選：C.

6.(2017?浙江?高考真題)已知a,bHR,(a+歷＞=3+4i(i是虛數單位)則。、從=,ab=.

【答案】5,2

2

〃2_L2=3(a=4

【詳解】由題意可得"一廿+2疝=3+不，貝lj,°，解得門，則/+后=5,必=2.

ab-2[b=1

【名師點睛】本題重點考查復數的基本運算和復數的概念，屬于基本題.首先對于復數的四則運算，要切

實掌握其運算技巧和常規思路，如(。+歷)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,(a,b,c,deR).其次要熟悉復數相

關基本概念，如復數。+砥的實部為a、虛部為6、模為病萬、對應點為(。，b)、共輾為a-次

7.(2016?天津?高考真題)已知a,6eA,i是虛數單位，若(1+i)(Lbi)=a,則/的值為_____.

b

【答案】2

l+b=a[a=2a

【詳解】試題分析：由(1+加1-初)=1+)+(1-m?=%可得(;八，所以，，，?=2,故答案為2.

l-o=0[6=1b

【考點】復數相等

【名師點睛】本題重點考查復數的基本運算和復數的概念，屬于基本題.首先對于復數的四則運算，要切實

掌握其運算技巧和常規思路，如(。+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i{a,b,c,deR),

a+bi=(ac+bd^+(bc-ad)i(abcdeR)j其次要熟悉復數的相關基本概念，如復數。+沅(a,6e&的實部

c+aic+a

為a、虛部為萬、模為行+^、共軌復數為。-初.

8.(2015?全國?高考真題)若。為實數，且學絲=3+i,則”

1+1

A.-4B.-3C.3D.4

【答案】D

【詳解】由題意可得2+oi=(l+i)(3+i)=2+4ina=4，故選D.

考點：本題主要考查復數的乘除運算,及復數相等的概念.

9.(2015?全國?高考真題)若。為實數且(2+ai)(a-2i)=-4i,貝愕=

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【詳解】由已知得4a+(6-4)i=-4i,所以4a=0,4-4=一4,解得“=0,故選B.

考點：復數的運算.

10.(2015,上海?高考真題)若復數二滿足3z+1=l+i，其中：是虛數單位，則二=.

【答案】-----i

42

【詳解】設2=a+加(a)eR),則；=0_從，因為3z+f=l+"

4a=1

所以3(a+bi)+a-)=l+i,即4a+2歷=l+i，所以，

26=1

所以z=L+1i.

42

考點：復數的概念，復數的運算.

考點03復數的分類

1.(2017?全國?高考真題)下列各式的運算結果為純虛數的是

A.(1+i)2B.i2(l-i)C.i(l+i)2D.i(l+i)

【答案】A

【分析】利用復數的四則運算，再由純虛數的定義，即可求解.

【詳解】由題意，對于A中，復數(l+i>=2z?為純虛數，所以正確；

對于B中，復數尸.(1-力=-1+7不是純虛數，所以不正確；

對于C中，復數3(1+獷=-2不是純虛數，所以不正確；

對于D中，復數>(l+i)=-l+i不是純虛數，所以不正確，故選A.

【點睛】本題重點考查復數的基本運算和復數的概念，屬于基本題.首先對于復數的四則運算，要切實掌

握其四則運算技巧和常規思路.其次要熟悉復數相關基本概念是解答此類問題的關鍵，著重考查了推理與

計算能力，屬于基礎題.

2.(2017?全國?高考真題)設有下面四個命題

A：若復數z滿足』eR,則zeR；

Z

P”若復數z滿足/eR，貝UzcR：

Pi-若復數z2溺足ziz2eR，則4=z?；

PM若復數zeR,則彳eR.

其中的真命題為

P1，P3

A.B.pt,p4

C.P2,P3D.PAP&

【答案】B

【詳解】令z=a+6i(a/eR),則由L」7T=半空eR得6=0,所以zeR,故R正確；

za+bia+b

當z=i時，因為z2=i?=_IeR,而2=1任11知，故P2不正確；

當Z=Z2=i時，滿足zjz?=-leR,但Z1WZ2，故。3不正確;

對于P4,因為實數的共扼復數是它本身，也屬于實數，故。4正確，故選B.

點睛:分式形式的復數，分子、分母同乘以分母的共輾復數，化簡成z=a+歷（a,6eR）的形式

進行判斷，共輾復數只需實部不變，虛部變為原來的相反數即可.

3.（2。17?天津?高考真題）已知為虛數單位，若蕓為實數，則〃的值為—

【答案】-2

a—i(小)(2-i)（2〃-1）—（a+2）i2Q—1Q+2.、r、二、

【詳解】#=一5一二三一一-為實數,

(2+i)(2-i)

則￡12=0,a=_2.

【考點】復數的分類

【名師點睛】復數的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需

把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程（不等式）組即可.

復數z=a+bi（a,beR）,

當6片0時，Z為虛數，

當b=o時，Z為實數，

當。=0,6#0時，z為純虛數.

4.（2015?天津?高考真題）i是虛數單位，若復數（l-2i）（a+z）是純虛數，則實數。的值為.

【答案】-2

【詳解】試題分析：由復數的運算可知（1-20（。+。=4+2+（1-2。）"（1-27）（。+。是純虛數，則其實部

必為零，即a+2=0,所以a=-2.

考點：復數的運算.

考點04共甄復數

1.（2024?全國甲卷,高考真題）設z=，則z-2=（）

A.-2B.&C.-JiD.2

【答案】D

【分析】先根據共軌復數的定義寫出口然后根據復數的乘法計算.

【詳解】依題意得，z=-V2i，故Q=-2i2=2.

故選:D

2.（2024?全國甲卷?高考真題）若2=5+i,貝心（三+z）=（）

A.10iB.2iC.10D.2

【答案】A

【分析】結合共軌復數與復數的基本運算直接求解.

【詳解】由z=5+inN=5—i,z+\=l。,則i（N+z）=10i.

故選：A

3.（2023?北京?高考真題）在復平面內，復數z對應的點的坐標是（—1,百），貝”的共軌復數

A.1+73/B.l-73i

C.-1+y/3iD.—1—5/31

【答案】D

【分析】根據復數的幾何意義先求出復數z,然后利用共甄復數的定義計算.

【詳解】z在復平面對應的點是（—1,指），根據復數的幾何意義，z=-l+6i,

由共軌復數的定義可知，，=—1—同

故選：D

2+i

4.（2023?全國乙卷?高考真題）設2=，則z=（

l+i2+i5

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

【分析】由題意首先計算復數z的值，然后利用共輾復數的定義確定其共輾復數即可.

2+i2+i_i（2+i）_2i-l

【詳解】由題意可得z==l-2i,

l+i2+i5l-1+ii2-1

貝”=1+2i.

故選：B.

1-i

5.（2023?全國新I卷?高考真題）已知z=，則z—z=（）

2+2i

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

【分析】根據復數的除法運算求出z,再由共舸復數的概念得到『從而解出.

1-i-2i1-1

【詳解】因為z=-------=＞一受1=——=一一i，所以z=匕，即z—1=—i.

2+2i2（l+i）（l-i）422

故選：A.

6.（2022?全國甲卷?高考真題）若z=l+i.則|iz+3三|=（）

A.4百B.4五C.275D.272

【答案】D

【分析】根據復數代數形式的運算法則，共舸復數的概念以及復數模的計算公式即可求出.

【詳解】因為z=l+i,所以iz+37=i（l+i）+3（l—i）=2—2i,所以性+3司=歷4=2虛.

故選：D.

7.(2022?全國甲卷?高考真題)若z=-L+/，則;=()

ZZ

A.—1+B.-1—y/3iC.?D.

3333

【答案】C

【分析】由共輾復數的概念及復數的運算即可得解.

【詳解】z=-l-V3i,zz=(-l+73i)(-l-^i)=l+3=4.

z-1+V3i173.

-----.---1

zz-l~3-33

故選：C

8.(2022?全國新I卷?高考真題)若i(l—z)=l,則z+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】利用復數的除法可求z,從而可求z+N.

【詳解】由題設有l-z=：=]=-i,故Z=l+i,故z+N=(l+i)+(l-i)=2,

故選：D

9.（2021?全國乙卷IWJ考真題）設2（z+z）+3（z—z）=4+6i,貝|z=（）

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.1-i

【答案】C

【分析】設2=。+萬，利用共輒復數的定義以及復數的加減法可得出關于。、人的等式，解出這兩個未知數

的值，即可得出復數Z.

【詳解】設2=1+歷，貝1]5="—萬，貝lJ2（z+N）+3（z—乞）=4〃+6Z?i=4+6i,

[4a=4

所以，]z：7汰'解得因此，z=l+i.

[6b=6

故選：C.

10.（2021,全國新I卷局考真題）已知z=2—i,貝!Jz（z+i）=（）

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【答案】C

【分析】利用復數的乘法和共軌復數的定義可求得結果.

【詳解】因為z=2—i,故I=2+i,故zG+i）=（2-i）（2+2i）=4+4i-2i-2/=6+2i

故選：C.

考點05復數的模

1.(2024?全國新n卷?高考真題)已知z=—l—i,則忖=()

A.0B.1C.72D.2

【答案】C

【分析】由復數模的計算公式直接計算即可.

【詳解】若Z=T-i,則忖=]一1)2+(-1)2=收.

故選：C.

2.(2023?全國乙卷?高考真題)|2+i2+2i3|=()

A.1B.2C.75D.5

【答案】C

【分析】由題意首先化簡2+i?+2i3,然后計算其模即可.

【詳解】由題意可得2+i、2i3=2-l-2i=l-2i，

則|2+i?+2i31一2i|=+(-2)2=B

故選：C.

3.(2022?全國甲卷?高考真題)若z=l+i.貝”iz+37|=()

A.4A/5B.40C.2非D.272

【答案】D

【分析】根據復數代數形式的運算法則，共朝復數的概念以及復數模的計算公式即可求出.

【詳解】因為z=l+i,所以屹+3Z=i(l+i)+3(l—i)=2—2i,所以|iz+3司="7Z=2jL

故選：D.

4.(2022?北京?高考真題)若復數z滿足i-z=3-4i,則目=()

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

【分析】利用復數四則運算，先求出z,再計算復數的模.

【詳解】由題意有z=平=0[T)=_4_三,故|z|=J(一盯+(-3『=5.

故選：B.

5.(2020?全國同考真題)若z=l+2i+i3則憶|二()

A.0B.1

C.72D.2

【答案】C

【分析】先根據i2=-l將Z化簡，再根據復數的模的計算公式即可求出.

【詳解】因為z=l+2i+i3=l+2i—i=l+i，所以|z|=#+仔=應.

故選：C.

【點睛】本題主要考查復數的模的計算公式的應用，屬于容易題.

6.(2020?全國?高考真題)若z=l+i,則|Z2-2Z|=()

A.0B.1C.72D.2

【答案】D

【分析】由題意首先求得z2-22的值，然后計算其模即可.

【詳解】由題意可得：Z2=(l+z)2=2z,則Z2_2Z=2"2(1+,=_2.

故產-2z卜'2|=2.

故選：D.

【點睛】本題主要考查復數的運算法則和復數的模的求解等知識，屬于基礎題.

7.(2020?全國?高考真題)設復數Z],Z?滿足闖=全|=2,Z1+z2=73+i,則|z「Z2l=.

【答案】2否

【分析】方法一:令Zi=a+bi,(awR,beR),z2=c+di,(ceeR),根據復數的相等可求得歐+加；=一2,

代入復數模長的公式中即可得到結果.

方法二：設復數4芹2所對應的點為Z1,Zz,/=歷|+改2,根據復數的幾何意義及復數的模，判定平行四邊

形OZ/Z?為菱形，|而|=|OZj=|OZ2|=2,進而根據復數的減法的幾何意義用幾何方法計算％-Z21.

【詳解】方法一：設Z[=4+。，,(〃￡尺,匕￡氏)，Z2=c+di,(ceR,deR),

:.zx+z2=a+c+(Jb+d)i=+i,

+：,又㈤=田=2,所以〃2+52=4,，+/=4,

\b+d=1

(Q+c)2+(Z?+d)2=Q2+/_|_d2+2(QC+bd)=4

:.ac+bd=-2

22

二.卜—z2|=|(6Z—c)+(/?—d)i\=yl(a—c)+(/?—d)=^8—2{ac+bd)

故答案為：26.

方法二：如圖所示，設復數4*2所對應的點為Z],Z2,9=^1+反2，

由已知網=屈1=2=|。1|=32|,

回平行四邊形OZ/Z?為菱形，且AOPZ|,AOPZ?者B是正三角形，回/ZQZ?=120。,

2222

IZjZ21=1OZ][2+1OZ21-2\OZt||OZ2|COS120°=2+2-2-2-2-(——)=12

【點睛】方法一：本題考查復數模長的求解，涉及到復數相等的應用；考查學生的數學運算求解能力，是

一道中檔題.

方法二：關鍵是利用復數及其運算的幾何意義，轉化為幾何問題求解

8.（2019?全國?高考真題）設2=盤，則忖=

A.2B.73C.0D.1

【答案】C

【分析】先由復數的除法運算（分母實數化），求得z,再求|z|.

【詳解】因為z=占，所以zj：靠;*T，所以閆43+（1）2=&,故選C.

【點睛】本題主要考查復數的乘法運算，復數模的計算.本題也可以運用復數模的運算性質直接求解.

5-z

9.（2019?天津?高考真題）i是虛數單位，則7—的值為________.

l+i

【答案】x/13

【分析】先化簡復數，再利用復數模的定義求所給復數的模.

（50（1

【詳解］—=~~0=|2-3z|=V13.

1+i（l+z）（l-z）11

【點睛】本題考查了復數模的運算，是基礎題.

10.（2019?浙江?高考真題）復數z=—二（i為虛數單位），則|z|=______.

1+1

【答案】@

2

【分析】本題先計算Z,而后求其模.或直接利用模的性質計算.容易題，注重基礎知識、運算求解能力的考

查.

【詳解】|z|=」一=3=".

|1+?|叵2

【點睛】本題考查了復數模的運算，屬于簡單題.

考點06復數的幾何意義

1.（2023?全國新n卷?高考真題）在復平面內，（l+3i）（3-i）對應的點位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】根據復數的乘法結合復數的幾何意義分析判斷.

【詳解】因為（l+3i）（3—i）=3+8i—3i?=6+8i,

則所求復數對應的點為（6,8）,位于第一象限.

故選：A.

2.（2023?北京?高考真題）在復平面內，復數z對應的點的坐標是（-1,若），貝心的共軌復數彳=（）

A.1+拘B.l-73i

C.—1+y/3iD.-1—A/31

【答案】D

【分析】根據復數的幾何意義先求出復數z,然后利用共軌復數的定義計算.

【詳解】z在復平面對應的點是㈠,石），根據復數的幾何意義，2=-i+A/3i,

由共輾復數的定義可知，z=-l-V3i.

故選：D

2-i

3.（2021?全國新H卷?高考真題）復數J1在復平面內對應的點所在的象限為（）

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】利用復數的除法可化簡三，從而可求對應的點的位置.

1-31

2i1+3i

【詳解】2zj=（"）（）=5±5i=l±i,所以該復數對應的點為

l-3i10102122）

該點在第一象限，

故選：A.

4.（2020?北京?高考真題）在復平面內，復數z對應的點的坐標是（1,2）,貝l]f.z=（）.

A.1+2/B.-2+zC.l-2zD.-2-i

【答案】B

【分析】先根據復數幾何意義得z,再根據復數乘法法則得結果.

【詳解】由題意得z=l+2i,;"z=i-2.

故選：B.

【點睛】本題考查復數幾何意義以及復數乘法法則，考查基本分析求解能力，屬基礎題.

5.(2019?全國?高考真題)設z=-3+2i,則在復平面內I對應的點位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】先求出共軌復數再判斷結果.

【詳解】由z=-3+2i,得