人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第三冊PAGEPAGE16．3二項式定理6．3.1二項式定理課標要求素養要求1.能用多項式運算法則和計數原理證明二項式定理.2.掌握二項式定理及其展開式的通項公式.通過學習二項式定理的有關內容，提升邏輯推理素養及數學運算素養.新知探究牛頓善于在日常生活中思考，他取得了科學史上一個又一個重要的發現，有一次，他在向一位姑娘求婚時思想又開了小差，他腦海中只剩下了無窮量的二項式定理，他抓住了姑娘的手，錯誤地把它當成通煙斗的通條，硬往煙斗里塞，痛的姑娘大叫，離他而去．問題什么是二項式定理？〖提示〗(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn即為二項式定理．二項式定理及其相關概念注意二項式系數與系數的概念二項式定理公式(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn，稱為二項式定理二項式系數Ceq\o\al(k,n)(k＝0，1，…，n)通項Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk二項式定理的特例(1＋x)n＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(k,n)xk＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn拓展深化〖微判斷〗1．(a＋b)n的展開式中共有n項．(×)〖提示〗(a＋b)n的展開式中共有n＋1項．2．在公式中，交換a，b的順序對各項沒有影響．(×)〖提示〗交換a，b的順序各項都發生變化.3.Ceq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展開式中的第k項．(×)〖提示〗Ceq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展開式中的第k＋1項．4．(a－b)n與(a＋b)n的二項式展開式的二項式系數相同．(√)〖微訓練〗1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))eq\s\up12(5)的展開式中含x3項的二項式系數為()A．－10 B．10C．－5 D．5〖解析〗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))eq\s\up12(5)展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)x5－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝(－1)kCeq\o\al(k,5)x5－2k，令5－2k＝3，得k＝1，∴含x3項的二項式系數為Ceq\o\al(1,5)＝5.〖答案〗D2.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x3)))eq\s\up12(5)展開式中的常數項為()A．80 B．－80C．40 D．－40〖解析〗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x3)))eq\s\up12(5)展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)(x2)5－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x3)))eq\s\up12(k)＝(－2)kCeq\o\al(k,5)x10－5k，令10－5k＝0，得k＝2，∴常數項為(－2)2Ceq\o\al(2,5)＝40.〖答案〗C3．設S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，則S等于__________．〖解析〗S＝〖(x－1)＋1〗3＝x3.〖答案〗x3〖微思考〗1．二項式定理中，項的系數與二項式系數有什么區別？〖提示〗二項式系數與項的系數是兩個不同的概念．二項式系數是指Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)，它只與各項的項數有關，而與a，b的值無關，而項的系數是指該項中除變量外的常數部分，它不僅與各項的項數有關，而且也與a，b的值有關．2．二項式(a＋b)n與(b＋a)n展開式中第k＋1項是否相同？〖提示〗不同．(a＋b)n展開式中第k＋1項為Ceq\o\al(k,n)an－kbk，而(b＋a)n展開式中第k＋1項為Ceq\o\al(k,n)bn－kak.題型一二項式定理的正用、逆用〖例1〗(1)求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(4)的展開式．(2)化簡：Ceq\o\al(0,n)(x＋1)n－Ceq\o\al(1,n)(x＋1)n－1＋Ceq\o\al(2,n)(x＋1)n－2－…＋(－1)kCeq\o\al(k,n)(x＋1)n－k＋…＋(－1)nCeq\o\al(n,n).解(1)法一eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(4)＝(3eq\r(x))4＋Ceq\o\al(1,4)(3eq\r(x))3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))＋Ceq\o\al(2,4)(3eq\r(x))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))eq\s\up12(2)＋Ceq\o\al(3,4)(3eq\r(x))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))eq\s\up12(3)＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))eq\s\up12(4)＝81x2＋108x＋54＋eq\f(12,x)＋eq\f(1,x2).法二eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x＋1,\r(x))))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,x2)(1＋3x)4＝eq\f(1,x2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋Ceq\o\al(1,4)·3x＋Ceq\o\al(2,4)（3x）2＋Ceq\o\al(3,4)（3x）3＋Ceq\o\al(4,4)（3x）4))＝eq\f(1,x2)(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝eq\f(1,x2)＋eq\f(12,x)＋54＋108x＋81x2.(2)原式＝Ceq\o\al(0,n)(x＋1)n＋Ceq\o\al(1,n)(x＋1)n－1(－1)＋Ceq\o\al(2,n)(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Ceq\o\al(k,n)(x＋1)n－k(－1)k＋…＋Ceq\o\al(n,n)(－1)n＝〖(x＋1)＋(－1)〗n＝xn.〖遷移〗(變條件，變設問)若(1＋eq\r(3))4＝a＋beq\r(3)(a，b為有理數)，則a＋b＝__________．〖解析〗∵(1＋eq\r(3))4＝1＋Ceq\o\al(1,4)×(eq\r(3))1＋Ceq\o\al(2,4)×(eq\r(3))2＋Ceq\o\al(3,4)×(eq\r(3))3＋Ceq\o\al(4,4)×(eq\r(3))4＝1＋4eq\r(3)＋18＋12eq\r(3)＋9＝28＋16eq\r(3)，∴a＝28，b＝16，∴a＋b＝28＋16＝44.〖答案〗44規律方法(1)(a＋b)n的二項展開式有n＋1項，是和的形式，各項的冪指數規律是：①各項的次數和等于n；②字母a按降冪排列，從第一項起，次數由n逐項減1直到0；字母b按升冪排列，從第一項起，次數由0逐項加1直到n.(2)逆用二項式定理可以化簡多項式，體現的是整體思想．注意分析已知多項式的特點，向二項展開式的形式靠攏．〖訓練1〗化簡：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.解原式＝Ceq\o\al(0,5)(2x＋1)5－Ceq\o\al(1,5)(2x＋1)4＋Ceq\o\al(2,5)(2x＋1)3－Ceq\o\al(3,5)(2x＋1)2＋Ceq\o\al(4,5)(2x＋1)－Ceq\o\al(5,5)(2x＋1)0＝〖(2x＋1)－1〗5＝(2x)5＝32x5.題型二二項展開式通項的應用〖例2〗(1)求二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)－\f(1,x)))eq\s\up12(6)的展開式中第6項的二項式系數和第6項的系數；(2)求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))eq\s\up12(9)的展開式中x3的系數．解(1)由已知得二項展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)(2eq\r(x))6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝26－kCeq\o\al(k,6)·(－1)k·x3－eq\f(3k,2)，∴T6＝26－5Ceq\o\al(5,6)·(－1)5·x3－eq\f(3,2)×5＝－12x－eq\f(9,2).∴第6項的二項式系數為Ceq\o\al(5,6)＝6，第6項的系數為－12.(2)設展開式中的第k＋1項為含x3的項，則Tk＋1＝Ceq\o\al(k,9)x9－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝(－1)k·Ceq\o\al(k,9)·x9－2k，令9－2k＝3，得k＝3，即展開式中第4項含x3，其系數為(－1)3·Ceq\o\al(3,9)＝－84.〖遷移1〗(變設問)本例問題(1)條件不變，問題改為“求第4項的二項式系數和第4項的系數”．解由通項Tk＋1＝(－1)k·Ceq\o\al(k,6)·26－k·x3－eq\f(3,2)k，知第4項的二項式系數為Ceq\o\al(3,6)＝20，第4項的系數為(－1)3·Ceq\o\al(3,6)·23＝－160.〖遷移2〗(變設問)本例問題(2)條件不變，問題改為“求展開式中x5的系數”，該如何求解？解設展開式中第k＋1項為含x5的項，則Tk＋1＝(－1)k·Ceq\o\al(k,9)·x9－2k，令9－2k＝5，得k＝2，即展開式中的第3項含x5，且系數為(－1)2·Ceq\o\al(2,9)＝36.規律方法(1)求二項展開式的特定項的常見題型①求第k項，Tk＝Ceq\o\al(k－1,n)an－k＋1bk－1；②求含xk的項(或xpyq的項)；③求常數項；④求有理項．(2)求二項展開式的特定項的常用方法①對于常數項，隱含條件是字母的指數為0(即0次項)；②對于有理項，一般是先寫出通項公式，其所有的字母的指數恰好都是整數的項．解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數，根據具體要求，令其屬于整數，再根據數的整除性來求解；③對于二項展開式中的整式項，其通項公式中同一字母的指數應是非負整數，求解方式與求有理項一致．〖訓練2〗已知二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－\f(2,3x)))eq\s\up12(10).(1)求展開式的第4項的二項式系數；(2)求展開式的第4項的系數；(3)求展開式的第4項．解eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－\f(2,3x)))eq\s\up12(10)的展開式的通項是Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)(3eq\r(x))10－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3x)))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,10)310－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq\s\up12(k)·xeq\f(10－3k,2)(k＝0，1，2，…，10)．(1)展開式的第4項(k＝3)的二項式系數為Ceq\o\al(3,10)＝120.(2)展開式的第4項的系數為Ceq\o\al(3,10)37eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝－77760.(3)展開式的第4項為T4＝T3＋1＝－77760eq\r(x).題型三與展開式中的特定項有關的問題角度1求展開式中的特定項〖例3〗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,2x)))eq\s\up12(6)的展開式中，常數項是()A．－eq\f(5,4) B.eq\f(5,4)C．－eq\f(15,16) D.eq\f(15,16)〖解析〗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,2x)))eq\s\up12(6)展開式的通項Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)(x2)6－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2x)))eq\s\up12(k)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(k)Ceq\o\al(k,6)x12－3k，令12－3k＝0，解得k＝4.所以常數項為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(4)Ceq\o\al(4,6)＝eq\f(15,16).〖答案〗D角度2由二項展開式某項的系數求參數問題〖例4〗若(x2－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(10)的展開式中x6的系數為30，則a等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C．1 D．2〖解析〗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(10)的展開式的通項是Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)·x10－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,10)·x10－2k，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(10)的展開式中含x4(當k＝3時)、x6(當k＝2時)項的系數分別為Ceq\o\al(3,10)，Ceq\o\al(2,10).因為(x2－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(10)的展開式中含x6的項由x2與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(10)展開式中含x4的項的乘積以及－a與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(10)展開式中含x6的項的乘積兩部分構成，因此由題意得Ceq\o\al(3,10)－aCeq\o\al(2,10)＝120－45a＝30，由此解得a＝2.〖答案〗D規律方法求展開式中特定項的方法求展開式中特定項的關鍵是抓住其通項公式，求解時先準確寫出通項，再把系數和字母分離，根據題目中所指定的字母的指數所具有的特征，列出方程或不等式即可求解．有理項問題的解法，要保證字母的指數一定為整數．〖訓練3〗(1)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,x)))eq\s\up12(9)的展開式中x3的系數是－84，則a＝__________．(2)已知n為等差數列－4，－2，0，…的第六項，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)))eq\s\up12(n)的二項展開式的常數項是__________．〖解析〗(1)展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,9)x9－k(－a)keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,9)·(－a)kx9－2k(0≤k≤9，k∈N)．當9－2k＝3時，解得k＝3，代入得x3的系數為Ceq\o\al(3,9)(－a)3＝－84，解得a＝1.(2)由題意得n＝6，∴Tk＋1＝2kCeq\o\al(k,6)x6－2k，令6－2k＝0得k＝3，∴常數項為23Ceq\o\al(3,6)＝160.〖答案〗(1)1(2)160一、素養落地1．通過本節的學習，進一步提升數學抽象及邏輯推理素養．2．注意區分項的二項式系數與系數的概念．要牢記Ceq\o\al(k,n)an－kbk是展開式的第k＋1項，不要誤認為是第k項．3．求解特定項時必須合并通項中同一字母的指數，根據具體要求，令其為特定值．二、素養訓練1．1－2Ceq\o\al(1,n)＋4Ceq\o\al(2,n)－8Ceq\o\al(3,n)＋…＋(－2)nCeq\o\al(n,n)等于()A．1 B．－1C．(－1)n D．3n〖解析〗逆用二項式定理，將1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.〖答案〗C2．若(1＋eq\r(2))4＝a＋beq\r(2)(a，b為有理數)，則a＋b等于()A．33 B．29C．23 D．19〖解