波動的一般定義：振動(或擾動)在空間的傳播。簡稱波。波的傳播指的是振動相位、能量的傳播。電磁波還包括電磁場物質、所加載的信號的傳播

本章重點：機械波中的簡諧波波的疊加

機械波只能在彈性媒質中傳播。從運動學角度研究機械波，就是研究媒質中眾多質元振動的相互關系。常見的種類有:機械波，電磁波，…§7-1機械波行波§7-2波函數§7-3物體的彈性形變§7-4波的能量§7-5波動方程和波速§7-6惠更斯原理波的反射與折射§7-7波的疊加干涉駐波§7-8聲波§7-1機械波行波(MechanicalWaveandTravellingWave)軟繩波的傳播方向1.機械波的產生和傳播

彈性介質中質元受外界擾動而發生振動時，因質元之間的彈性聯系，會使振動傳播開去，這就形成了波動—機械波（mechanicalwave）1.機械波的產生和傳播

機械波——機械振動的傳播。

機械波產生和傳播的條件：波源

彈性媒質彈性媒質——質量連續分布、在內部發生形變時能產生彈性力（保守力）的物質。

固體：鐵軌長繩彈簧；流體：水空氣

波源——引起媒質振動，即產生形變和位移的振(擾)動系統。鑼鼓琴弦聲帶揚聲器紙膜抖繩的手

2.橫波與縱波橫波——媒質質元的振動方向與振動的傳播方向垂直的波。（僅在固體中傳播）

特征：具有交替出現的波峰和波谷.2.橫波與縱波

幾何表示：傳播方向振動方向2.橫波與縱波縱波——媒質質元的振動方向與波的傳播方向平行的波。（可在固體、液體和氣體中傳播）

特征：具有交替出現的密部和疏部.縱波是靠介質疏密部變化傳播的，如聲波，彈簧波為縱波

幾何表示：傳播方向振動方向2.橫波與縱波軟彈簧波的傳播方向質點振動方向注意：1、有些波既不是橫波也不是縱波。如：水表面的波既非橫波又非縱波。水波中的質元是做圓（或橢圓）運動的。3.波的幾何描述波線（waveline）:表示波的傳播方向的射線（波射線）波面（wavesurface）:介質振動相位相同的點組成的面（同相面）球面波平面波波線波面波傳播方向l波速u4.波的特征量1、波長（wavelength）

波線上相鄰的振動狀態相同的兩質元間的距離。它由波源和介質共同決定;波長表示波的空間周期性2、周期（period）T：振動狀態向前傳播一個波長所需要的時間。它由波源決定（波源、觀測者均不動時）3、波速u：振動狀態（位相）傳播的速度。它由介質的性質決定，與波源情況無關。5.行波

行波——單向傳播的振動。駐波

行波的特點“上游”的質元依次帶動“下游”的質元振動；某時刻某質元的振動狀態（相位）將在較晚時刻于“下游”某處出現——波是振動狀態的傳播；沿波的傳播方向各質元的相位依次落后

在傳播方向上有多個同相點——相位相差2

的整數倍；波傳播過程中，每個質元在各自的平衡位置附近振動；質元并未“隨波逐流”

各質元的振動頻率相同。§7-2波函數(wavefunction)1.波函數原點O在t時刻的振動：任意點P（坐標為x）在t時刻的振動：等于原點O在t-x/u時刻的振動，即yxPOuxx“－”表示沿x軸正方向傳播“＋”表示沿x軸負方向傳播2．平面簡諧波的波函數O點的振動：波函數：PuxxyO

3．波函數的物理意義ytOTyxO

yxO

t0

t0+Δt

uΔtu解：如圖，在下列情況下試求波函數：(3)若u沿x

軸負向，以上兩種情況又如何？例(1)以A為原點；(2)以B為原點；已知A點的振動方程為：BA

在x軸上任取一點P，該點振動方程為：波函數為：解P

BA

(2)B點振動方程為：(3)以A為原點：以B為原點：波函數為:一平面簡諧波沿x軸正方向傳播，已知其波函數為 比較法(與標準形式比較）標準形式波函數為比較可得例解(1)波的振幅、波長、周期及波速；

(2)質點振動的最大速度。求(1)(2)

[例]設波源位于

x軸的原點處，波源的振動曲線如圖所示，已知波速為

u=5

m/s

，波向

x正向傳播。（1）畫出距波源15

m處質元的振動曲線；（2）畫出t

=3

s時的波形曲線。于是，波函數為即解：由圖可知故O點的運動方程為（1）令x

=15

mx

=15

m處質元的振動曲線：（2）令t

=3

st

=3

s

時的波形曲線：隨堂小議（1）A點的速度大于零；（2）B點靜止不動；（3）C點向下運動；（4）D點的振動速度小于零。結束選擇請在選擇你認為是對的答案

以波速u沿X

軸逆向傳播的簡諧波t

時刻的波形如下圖隨堂小議OXYuABCD§7-3物體的彈性形變ElasticDeformationofaBody物體的彈性形變彈性形變的分類：線變

楊氏模量E

切變

切變模量G

體變

體變模量K

彈性媒質(無論是固體還是流體)在受力時都會產生形變。在其彈性限度內形變是可恢復的，稱這種形變為彈性形變。(1)定義：一段固體棒，當在兩端沿軸的方向加以方向相反大小相等的外力時，其長度會發生改變，稱為線變。ll+

l

(2)應力及線應變以F表示力的大小，以S表示棒的橫截面積，則F/S叫應力。以表示棒原來的長度，以表示在外力F作用下的長度變化，則相對變化叫線應變。

線變（長變）(3)胡克定律：在彈性限度內，應力和線應變成正比，這一關系叫胡克定律。式中E為關于線變的比例系數，它隨材料的不同而不同，叫楊氏模量。當外力不太大時，較小，S基本不變，因此基本不變，稱為勁度系數，用k表示。彈性勢能：單位體積的彈性勢能:(1)定義：一塊矩形材料，當它的兩側面受到與側面平行的大小相等方向相反的力作用時，其形狀發生變化，稱為切變。(2)切應力及切應變以F表示力的大小，以S表示施力面積，則F/S叫切應力。施力面積相互錯開而引起的材料角度變化叫切應變。

切變(3)實驗表明：在彈性限度內，切應力

正比于切應變，即其中G——切變模量

當材料發生切變時，單位體積的彈性勢能

體變

定義：一塊物質受到的壓強改變時，其體積也會發生改變，稱為體應變。實驗表明：在彈性限度內，壓強增量

正比于體應變

，即其中K——體變模量

E,G,和K決定于材料的特性單位體積彈性勢能：§7-4波動方程與波速WaveEquationandVelocityofWave波動方程由知(2)不僅適用于機械波，也廣泛地適用于電磁波、熱傳導、化學中的擴散等過程；(1)上式是一切平面波所滿足的微分方程（正、反傳播）；(3)若物理量是在三維空間中以波的形式傳播，波動方程為右式說明典型波速公式固體流體縱縱橫

均勻細棒嚴格，

“無限大”介質內近似“無限大”介質內

細繩中

任意液體和氣體內

理想氣體中波速由彈性媒質特性決定。*震中

家中的震感思考：如果發生地震，你在家中會有怎樣的震感?在同一種介質中，橫波的波速比縱波的要小§7-5波的能量(energyofwave)一波動能量的傳播

波的傳播是能量的傳播，傳播過程中，介質中的質點運動，具有動能，介質形變具有勢能

.pWkW1波的能量本節以細棒中的平面簡諧撗波為例，討論波的能量問題，由此得出的結論具一定的普遍意義。現象：若將細棒（彈性媒質）劃分為多個小單元（體積元）上下抖動振速最小v振速最大v形變最小形變最大t時刻波形t+dt在波動中，各體積元產生不同程度的彈性形變，具有彈性勢能pEr未起振的體積元各體積元以變化的振動速率上下振動，具有振動動能vEkryx0yx

y=Acos

(t-x/u)0uxx+dxydxFFyS勢能：動能：

波動質元的能量

波動質元的能量總機械能為：波動質元：每個質元都與周圍媒質交換能量。振動系統：系統與外界無能量交換。能量密度:單位體積介質中的波動能量平均能量密度：能量密度在一個周期內的平均值適用于各種彈性波。

波的能量密度討論：(2)體積元在平衡位置時，動能、勢能和總機械能均最大.體積元的位移最大時，三者均為零.

(1)在波動傳播的介質中，任一體積元的動能、勢能、總機械能均隨作周期性變化，且變化是同相

位的.速度最小形變最小速度最大形變最大(3)

任一體積元都在不斷地接收和放出能量，即不斷地傳播能量.任一體積元的機械能不守恒.波動是能量傳遞的一種方式.討論：

波的能量與振動能量

波的強度→能流波的傳播→能量傳播能流密度S—單位時間內通過垂直于波線

方向單位面積波的能量。波的強度

I（平均能流密度）能流密度：

利用和能量守恒，可以證明，對無吸收介質，有：平面波球面波

r

場點到波源的距離

波的強度§7-6Huygens原理波的反射與折射(HuygensPrinciple,reflectionandrefractionofwave)

前面討論了波動的基本概念，現在討論與波的傳播特性有關的現象、原理和規律。

惠更斯原理給出的方法（惠更斯作圖法），是一種處理波傳播方向的普遍方法。

由于某些原因，波在傳播中，其傳播方向、振幅都有可能改變。惠更斯原理（Huygensprinciple）1、原理的敘述2、原理的應用已知

t時刻的波面

t+

t

時刻的波面，從而可進一步給出波的傳播方向。惠更斯原理（Huygensprinciple）

波面上的各點，都可看作是發射子波（次級波）的波源（點源），其后的任一時刻，這些子波面的包絡面（包跡）就是波在該時刻的新的波面。t+

t時刻波面·····u

t波傳播方向t時刻波面平面波t+

t球面波例如，均勻各向同性介質內波的傳播：u···············t

1、波的衍射（wavediffraction）衍射：波傳播過程中，當遇到障礙物時，能繞過障礙物邊緣而偏離直線傳播的現象。·入射波衍射波障礙物···入射波衍射波障礙物a相對于波長而言，障礙物的線度越大衍射現象越不明顯，障礙物的線度越小衍射現象越明顯。60水波通過窄縫時的衍射廣播和電視哪個更容易收到?更容易聽到男的還是女的說話的聲音？障礙物（聲音強度相同的情況下）FM收音機的頻率范圍88-108MHz,室外電視接收天線，一頻率范圍：146-174/438-470MHZ2、波的反射和折射（reflection&refraction）

1.波的反射（看書）2.波的折射：用惠更斯作圖法導出折射定律u2

t媒質1、折射率n1媒質2、折射率n2i法線B入射波A··E·Cu1u1

t··FDu2折射波傳播方向r——折射定律光波得到光密介質光疏介質時，折射角r>入射角

i

。全反射的一個重要應用是光導纖維（光纖），它是現代光通信技術的重要器件。irn1(大)n2(小)i=iC

r=90

n1(大)n2(小)當入射i>臨界角iC

時，將無折射光—全反射。iC

—臨界角光導纖維光纜電纜

圖中的細光纜和粗電纜的通信容量相同而且損耗小。光纖通信容量大，我國電信的主干線可達300公里。也只有幾十公里。

在不加中繼站的情況下，光纜傳輸距離而同軸電纜只幾公里，微波早已全部為光纜。§7-7波的疊加干涉駐波(SuperpositionofWavesStandingWave)1．波的迭加原理1）兩列波在傳播過程中相遇，在相遇區域內每一質元的位移等于各列波單獨傳播時所引起位移的和。2）兩列波相遇時仍保持各自原有的特性。細雨綿綿獨立傳播2.波的干涉一般情況下，各個波的振動方向和頻率均不同，相位關系不確定，疊加的合成波較為復雜。當兩列相干波疊加后，其合振幅A和合強度

I將在空間形成一種穩定的分布，即某些點上的振動始終加強，某些點上的振動始終減弱。——波的干涉干涉現象?頻率相同、振動方向相同、相位差恒定。相干條件?相干波?滿足相干條件的波相干波源產生相干波的波源?根據疊加原理可知，P

點處振動方程為?合振動的振幅S1S2P?P點處波的強度S1S2Pr1r2

2.波的干涉相位差當干涉相長當干涉相消?空間點振動的情況分析干涉相長(1)若干涉相消干涉相長干涉相消從能量上看，當兩相干波發生干涉時，在兩波交疊的區域，合成波在空間各處的強度并不等于兩個分波強度之和，而是發生重新分布。這種新的強度分布是時間上穩定的、空間上強弱相間具有周期性的一種分布。討論(2)若A、B為兩相干波源，距離為30m，振幅相同，

相同，初相差為

,u=400m/s,

f=100Hz。例A、B連線上因干涉而靜止的各點位置。求解BAP30m（P在A左側）（P在B右側）(即在兩側干涉相長，不會出現靜止點)r1r2P在A、B中間干涉相消(在A，B之間距離A點為r1=1,3,5,…,29m

處出現靜止點)線性波的疊加可以產生許多獨特的現象：駐波、干涉等3、駐波駐波是指兩列波頻率相同、振幅相同、振動方向相同、在同一直線上沿相反方向傳播，它們疊加所形成的合成波。設兩列波的表達式為疊加后得駐波表達式：這一結果表明：駐波不含波動特有的相位因子，即不再具有波的特性（相位沿傳播方向依次落后等）。振幅最大的點稱為波腹；振幅為零的點稱為波節。駐波具有簡諧運動的特征。所有點的振動圓頻率都為

，但各點的振幅不全相同，即為。波腹的位置：波節的位置：拉緊的繩中的駐波演示駐波的特點：通常將相鄰兩個波節的一段稱為一個駐波。

相鄰波節或相鄰波腹之間的距離為波長的一半。

一個駐波上所有點的振動同相；兩個相鄰駐波上點的振動反相。

任意時刻駐波的波形為余弦形式（與行波波形相同），但不沿傳播方向運動（與行波波形不同）。

駐波不再傳遞相位和能量。振幅：形成駐波的兩列傳播方向相反的行波，往往就是媒質分界面一側的入射波和反射波。顯然，反射波與入射波的頻率、振動方向和波速均相同；如果分界面對入射波完全反射，反射波與入射波的振幅也相同。4、半波損失半波損失[例]如圖所示，一波長為

的平面簡諧波沿

x軸正向傳播，在與原點O相距L的P點處有一波密媒質的反射面，該反射面對波的吸收可以忽略。入射波在與O點相距l的Q點處振動函數為。求：（1）入射波和反射波的波函數；（2）合成的駐波的波節位置。解：（1）考慮坐標為x的任意點處的振動，它比Q點的相位落后

，于是入射波的波函數為反射點P處的振動函數為反射波在坐標為x的任意點處的振動相位比點落后

，考慮到反射點有半波損失，故反射波的波函數為（2）疊加波