課程基本信息課例編號2020QJ07SXRJ056學科數學年級七年級學期第一學期課題實際問題與一元一次方程（二）教科書書名：數學七年級上冊出版社：人民教育出版社出版日期：2012年6月教學人員姓名單位授課教師田悅北京師范大學附屬實驗中學指導教師黃婉華北京市西城區教育研修學院教學目標教學目標：1、學習如何用一元一次方程解決實際問題中的工程問題。熟悉審題方法和解題步驟，正確理解問題情境，分析問題中的數量關系，找出合適的相等關系，借助表格、式子分析，選擇適當的等量關系，建立一元一次方程；2、用數學的符號語言正確表達相等關系，即建立問題的方程模型，經歷將實際問題轉化為數學問題的過程，體會用一元一次方程刻畫實際生活中的問題，逐步提高對數學模型的認識和理解，加強數學建模思想的應用意識，培養運用一元一次方程解決實際問題的能力；3、在問題的解決中，體會數學學習的過程與方法，感受到數學在生活中的價值，產生對數學學習的興趣，并能用數學的眼光看待世界.教學重點：尋找實際問題中的等量關系，建立一元一次方程。教學難點：由實際問題抽象出數學模型的探究過程。教學過程時間教學環節主要師生活動創設情境回顧：1、工程問題有哪些基本量呢？工作時間、工作效率、工作總量、他們之間有哪些關系呢？計算工作量的基本公式“工作總量=工作效率（一個人一小時完成的工作量）×工作時間”。基本公式的變形公式為：，其他：各階段（部分）的工作量的和=總工作量工作量=人均效率×人數×時間工作總量看作單位“1”練習：兩支施工隊合修一條道路，一隊單獨修12天修完，二隊單獨修18天修完，完成下面填空：（1）一隊平均每天完成全部工作的______，二隊平均每天完成全部工作的______；（2）一隊t天完成的工作量是______，二隊t天完成的工作量是______；（3）一隊、二隊合修，平均每天完成全部工作量的_____；（4）一隊、二隊合修,t天完成的工作量是_______.分析問題解決問題例整理一批圖書，由一個人做要40h完成.現計劃由一部分人先做4h，然后增加2人與他們一起做8h，完成這項工作.假設這些人的工作效率相同，具體應先安排多少人工作？分析：1、第一遍讀題，要明確幾個基本量，幾個階段，明確哪類問題，初步分析出一部分等量關系，用到的公式本題的基本量有工作時間，人數.從而判斷本題為工程問題；本題有“先做”“然后”“完成這項工作”所以本題可分成兩個階段（第一階段：一部分人先做4小時，第二階段：增加2人后與他們一起做8小時）；根據工程分成兩個階段，得到數量關系：因為是工程問題，有人數這一基本量所以可能用到公式“工作量=人均效率×人數×時間”2、第二遍讀題：逐句分析，表示相關量，重點尋找表示量與量關系的關鍵詞（如增加、減少、倍、幾分之幾、相等、以及隱含的相等關系等）然后找到等量關系。用半文字半數學符號的式子表示出來。（黑字為題目，藍字為教師分析，紅字為相等關系）整理一批圖書，由一個人做要40h完成.（對應的一個人的工作效率題目中沒有信息，這種情況下，通常把全部工作量表示為1，則人均工作效率可表示為，這句話也可以說成：40工時完成整個工作，所以可以把40h看作總的工作量），現計劃由一部分人先做4h（這部分人每個人的工作效率都是，工作時間為4h,人數未知，第一階段工作量可以表示為），然后增加2人與他們一起做8h（增加2與他們一起做，說明第二階段人數為第一階段人數加上2人，第一階段工作人數+2=第二階段人數，這部分人每個人的工作效率都是，工作時間為8h,第二階段工作量可以表示為，）完成這項工作（第一階段工作量+第二階段工作量=工作總量）.假設這些人的工作效率相同（人均工作效率相等（兩層含義這些人工作效率相等、工作效率等于），第一階段的工效=第二階段的工效=），具體應先安排多少人工作？3、檢驗等量關系是否正確、遺漏、重復：不同階段，同一類量之間的關系（人數和人數之間，工效和工效之間，時間和時間之間，工作量和工作量之間，單位一致），本題涉及到四個基本量，可以從這四個方面去找等量關系（如果某個基本量都知道可以不考慮）時間是已知的，所以本題從人數、工作量、工效三個方面檢驗等量關系，得到下面幾個不同的等量關系①第一階段工作人數+2=第二階段人數②第一階段工作量+第二階段工作量=工作總量（兩種工作總量單位1或40工時）（全程工作的人工作12小時的工作量+后增加的兩人工作8小時的工作量=工作總量）③人均工作效率相等（兩層含義這些人工作效率相等、工作效率等于）；第一階段的工效=第二階段的工效=4、列表整理信息（基本量），未知量通過設未知數表示人均效率人數時間工作量第一階段4第二階段8人數和工作量都是未知的我們可以找和這兩個基本量有關的等量關系，①第一階段工作人數+2=第二階段人數②第一階段工作量+第二階段工作量=工作總量選兩個等量關系，第一階段人數、工作量和第二階段人數、工作量，四個未知量中設誰是x都可以，根據前面所學一般用設直接未知量的方法稍簡單。所以可以設先安排x人做4h.圖表整理信息可以補全為：人均效率人數時間工作量第一階段x4第二階段x+28方法一、根據第一階段工作量+第二階段工作量=工作總量，把全部工作量簡單表示為單位1，列出方程解方程，得：4x＋8(x＋2)＝40，4x＋8x＋16＝40，12x＝24，x＝2.我們需要檢驗一下是否是方程的解，代入后等式左邊等于右邊。還需要檢驗一下是否符合實際意義，安排的工人數量應該為非負整數，符合實際意義。答：應先安排2人做4h.答題時注意單位和語言的完整性小結：方法一中用①設未知數，用②列方程，可以找兩個含有未知量的等量關系，一設一列，即用一個等量關系來設未知數，用一個等量關系列方程方法二、若用②設未知數，用①列方程，設間接未知量的方法，把全部工作量簡單表示為單位1，設第一階段的工作量為x，則第二階段的工作量為1-x，因為“工作量=人均效率×人數×時間”則，可列方程：方法三、如果把40工時看作是工作總量，用①設未知數，設先安排x人做4h.用②列方程可得：人均效率人數時間工作量第一階段1x44x第二階段1x+288(x+2)則可列方程方法四、如果把40工時看作是工作總量，用②設未知數，用①列方程可得：人均效率人數時間工作量第一階段14x第二階段1840-x則可列方程方法五、參與第一階段的工人也參與了第二階段的工作，這部分人每個人都工作了（4+8）小時，第二階段新加入的2人，每人工作8小時，所以也可以把整個工作看作是這樣兩部分，“全程工作的人工作12小時的工作量”和“后增加的兩人工作8小時的工作量”可以得到等量關系“全程工作的人工作12小時的工作量+后增加的兩人工作8小時的工作量=工作總量”列出方程，（各階段的工作量的和=總工作量）課堂練習練習：一條地下管線由甲工程隊單獨鋪設，需要12天，由乙工程隊單獨鋪設需要24天，如果由這兩個工程隊從兩端同時施工，需要多少天可以鋪好這條管線？分析：如果一件工作需要n個小時完成，那么平均每小時完成的工作量就是設要x天可以鋪好這條管線，工效工時工作量甲x乙x甲的工作量+乙的工作量=總工作量，可列方程也可根據等量關系：甲的工效+乙的工效=總工效，設要x天可以鋪好這條管線，列方程甲工作12天，乙單獨完成需24天，甲的工效是乙工效的2倍，工作時間相同，甲的工作量是乙工作量的2倍，甲的工作量是總工作量的，乙的工作量是總工作量的，可列方程，課堂小結，布置作業1.解決有關工程問題時，（1）工程問題一般涉及三個量：工作效率，工作時間，工作量；關系：工作量=工作