PAGE三角函數與解三角形1．已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊在射線上，則A． B．C． D．【答案】A【解析】在角終邊上取一點，所以，所以.所以選A.三角函數定義：設是一個隨意角，它的頂點與原點重合，始邊與軸非負半軸重合，點是角的終邊上隨意一點，到原點的距離，那么角的正弦、余弦、正切分別是．（1）利用三角函數的定義求角的三角函數值，需確定三個量：角的終邊上隨意一個異于原點的點的橫坐標x、縱坐標y、該點到原點的距離r.若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時留意在終邊上任取一點有兩種狀況(點所在象限不同)．（2）已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，依據三角函數的定義可求角α終邊上某特定點的坐標．2．已知，并且是其次象限的角，那么的值等于A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，并且是其次象限的角，，∴，則.故選D．【名師點睛】本題主要考查了同角三角函數關系式，誘導公式的應用，嫻熟駕馭基本關系及誘導公式是解題的關鍵，誘導公式的口訣：“奇變偶不變，符號看象限”.由題設條件可得，再依據同角三角函數關系式可得，然后依據誘導公式即可得解.3．已知sin（π4+α）=35，則sin（3π A．45 B．-45 C．35【答案】C【解析】：∵已知sin（π4+α）=35，則sin（3π4-α）=sin[π﹣（π4+α）]故選：C．【名師點睛】該題考查的是利用和角公式并借助于三角函數值求角的大小的問題，在解題的過程中，須要利用整體思維將角進行配湊求值1．同角三角函數的基本關系式（1）平方關系：，可以實現角的正弦、余弦的互化；商的關系：，可以實現角的弦切互化．（2）的齊次式的應用：分式中分子與分母是關于的齊次式，或含有及的式子求值時，可將所求式子的分母看作“1”，利用“”代換后轉化為“切”后求解.2．誘導公式公式一二三四五六角2kπ+α（k∈Z）π+α?απ?α?α+α正弦sinα?sinα?sinαsinαcosαcosα余弦cosα?cosαcosα?cosαsinα?sinα正切tanαtanα?tanα?tanα口訣函數名不變，符號看象限函數名變更，符號看象限應用誘導公式，重點是“函數名稱”與“正負號”的正確推斷．求隨意角的三角函數值的問題，都可以通過誘導公式化為銳角三角函數的求值問題，詳細步驟為“負角化正角”→“正角化銳角”→求值．3．三角恒等變換（1）兩角和與差的正弦、余弦、正切公式①②③（2）二倍角公式①②③1．已知曲線C1 A．把C1上各點橫坐標伸長到原來的2倍，再把得到的曲線向右平移π3，得到曲線C B．把C1上各點橫坐標伸長到原來的2倍，再把得到的曲線向右平移2π3，得到曲線C C．把C1向右平移π3，再把得到的曲線上各點橫坐標縮短到原來的12，得到曲線 D．把C1向右平移π6，再把得到的曲線上各點橫坐標縮短到原來的12，得到曲線【答案】B【解析】：依據曲線C1：y=sinx，C2：把C1上各點橫坐標伸長到原來的2倍，可得y=sin（12x再把得到的曲線向右平移2π3，得到曲線C2：y=sin（12x﹣故選：B．函數圖象的平移變換解題策略：（1）對函數y=sinx，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的圖象，無論是先平移再伸縮，還是先伸縮再平移，只要平移|φ|個單位，都是相應的解析式中的x變為x±|φ|，而不是ωx變為ωx±|φ|.如下圖：（2）留意平移前后兩個函數的名稱是否一樣，若不一樣，應用誘導公式化為同名函數再平移.2．函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象中相鄰對稱軸的距離為π2，若角φ的終邊經過點(3，3 A．32 B． C．2 D．2【答案】A【解析】：由題意相鄰對稱軸的距離為π2，可得周期T=π，那么ω=2角φ的終邊經過點(3，3)，在第一象限．即tanφ=33故得f（x）=sin（2x+π6則f(π4)=sin（π2+π6）故選：A．3．已知函數.（1）求函數圖象的對稱軸方程；（2）將函數圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數為.當時，求函數的值域.【解析】（1）.令，解得,.∴函數圖象的對稱軸方程為,.（2）易知.∵，∴，∴，∴，即當時，函數的值域為.【名師點睛】對三角函數的考查是近幾年高考考查的一大熱點問題，一般難度不大，但綜合性較強.解答這類問題時，對兩角和與差的正余弦公式、誘導公式以及二倍角公式肯定要嫻熟駕馭并敏捷應用，特殊是二倍角公式的各種變更形式要熟記于心.在探討三角函數的圖象和性質問題時，一般先運用三角恒等變形，將表達式轉化為一個角的三角函數的形式求解.對于本題，（1）利用二倍角的正弦公式、誘導公式以及兩角差的正弦公式將函數化為，利用，可解得函數圖象的對稱軸方程；（2）將函數圖象向右平移個單位長度，可得的函數解析式，再利用正弦函數的性質結合正弦函數的圖象可得函數的值域.（1）函數，的定義域均為；函數的定義域均為.（2）函數，的最大值為，最小值為；函數的值域為.（3）函數，的最小正周期為；函數的最小正周期為．（4）對于，當且僅當時為奇函數，當且僅當時為偶函數；對于，當且僅當時為奇函數，當且僅當時為偶函數；對于，當且僅當時為奇函數．（5）函數的單調遞增區間由不等式來確定，單調遞減區間由不等式來確定；函數的單調遞增區間由不等式來確定，單調遞減區間由不等式來確定；函數的單調遞增區間由不等式來確定．4．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知b=2，c=22，且C=π A．3+1 B． C．4 D．2【答案】A【解析】：由正弦定理bsinB又c＞b，且B∈（0，π），所以B=π所以A=7π所以S=1故選：A．【名師點睛】解三角形問題，主要是確定選用什么公式：正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式，一般可依據已知條件和要求的問題確定.5．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（2a﹣b）?cosC=c?cosB．（1）求角C的大小；（2）若c=2，△ABC的面積為3，求該三角形的周長．【解析】：（1）在△ABC中，由正弦定理知asinA=bsinB=c又因為（2a﹣b）?cosC=c?cosB，所以2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC，即2sinAcosC=sinA；∵0＜A＜π，∴sinA＞0；∴cosC=12又0＜C＜π，∴C=π3（2）∵S△ABC=12absinC=34ab=∴ab=4又c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab=4，∴（a+b）2=16，∴a+b=4；∴周長為6【名師點睛】該題考查的是有關解三角形的問題，在解題的過程中，留意對正弦定理和余弦定理的正確運用，建立關于邊或角所滿意的關系，在求角的時候，必需將角的范圍寫上.1．正弦定理：.常見變形：（1）（2）（3）（4）正弦定理的推廣：，其中為的外接圓的半徑.2．余弦定理：常見變形：.3．三角形的面積公式：.4．利用正、余弦定理求邊和角的方法：（1）依據題目給出的條件(即邊和角)作出相應的圖形，并在圖形中標出相關的位置．（2）選擇正弦定理或余弦定理或二者結合求出待解問題．一般地，假如式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；假如遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.（3）在運算求解過程中留意三角恒等變換與三角形內角和定理的應用．6．已知函數f(x)=3（1）求函數f（x）的單調遞減區間；（2）若△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，f(A)=12，a=3，sinB=2sinC【解析】：（1）f(x)=32sinx-由π2+2kπ≤x-π6≤解得2π3+2kπ≤x≤5π3+2kπ∴函數f（x）的單調遞減區間為[2π3+2kπ，5π（2）∵f(A)=sin(A-π6)=12，A∈（0，∵sinB=2sinC，∴由正弦定理bsinB=c又由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，a=3得3=4c解得c=1．三角恒等變換與三角函數的圖象及性質、解三角形、向量相結合的綜合問題比較常見，首先利用向量的坐標運算將其轉化為三角函數問題，再利用三角恒等變換及協助角公式把三角函數關系式轉化成y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的形式，然后利用其性質進行解題，涉及的解三角形問題常需利用正弦定理把邊的關系化成角，因為三個角之和等于π，可以依據此關系把未知量削減，再用三角恒等變換化簡求解.1．在直角坐標系中，若角α的終邊經過點P(sin2π3，cos2π3A2．已知α為其次象限的角，且tanα=﹣34，則sinα+cosα= A．﹣75 B．﹣ C．﹣15 D．3．已知tanα=3，則sin2α1+cos2α A．﹣3 B．- C．134．設函數的圖象關于原點對稱，則的值為A． B．C． D．5．已知cos（π4-θ2）= A．79 B．19C．﹣19 D6．為了得到函數y=2cos2x的圖象，可以將函數A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度7.函數f(x)=2sin(ωx+φ)(0＜ω＜12，|φ A．函數f（x）的最小正周期為π B．函數f（x）的圖象關于點(7 C．函數f（x）在區間(π D．由y=2cos2x的圖象向右平移5π12個單位長度可以得到函數f（8．函數fx=Acos(ωx+φ)(ω>0,-πA．圖象關于點成中心對稱B．圖象關于直線對稱C．圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到D．在區間上單調遞減9．已知函數f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)，f（x1）=2，f（x2）=0，若|x則f（x）的單調遞增區間為（） A．[-16+2k，56+2k]，k∈Z B．[-56+2k，16+ C．[-56+2kπ，16+2kπ]，k∈Z D．[16+2k，76+2k10．將函數f（x）=23cos2x﹣2sinxcosx﹣3的圖象向左平移t（t＞0）個單位，所得圖象對應的函數為奇函數，則t的最小值為（） A．2π3 B．π3C．π2 11．若將函數y=sin2x+3cos2x的圖象向左平移 A．x=kπ2-π C．x=kπ2(k∈Z) 12．已知sinα-cosα=43，則co A．19 B．29C．49 13．已知cos（π﹣α）=13，sin(π2+β)=23（其中，α，β∈（0，π）），則 A． 42+59B．42-514．設α∈(0，π2)，β∈(0 A．2α﹣β=π4 B．2α+β=π4C．α﹣β=π4 D．α15.已知△ABC滿意AB→2= A．等邊三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形16.已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cosBb+cosCc=sinA3 A．3 B．23 C．32 D．17.在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別是a，b，c，若(a-b)(sinA+sinB)=c(sinC+3 A．π6 B．π3C．2π18.在△ABC中，設a，b，c分別是角A，B，C所對邊的邊長，且直線bx+ycosA+cosB=0與ax+ycosB+cosA=0平行，則△ABC肯定是（） A．銳角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形19.若△ABC的角A，B，C對邊分別為a、b、c，且a=1，∠B=45°，S△ABC=2，則b=（） A．5 B．25C．41 D．520.在△ABC中，已知a=14，b=16，A=45°，則此三角形（） A．無解 B．只有一解C．有兩解 D．解的個數不確定21．ΔABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，其中b=c，若=(a2,2b2)，=(1,sinA-1)，，則22．在ΔABC中，邊a，b，c所對的角分別為A，B，C，ΔABC的面積S滿意43S=b2+c23．在△ABC中，a：b：c=4：5：6，則tanA=．24.函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）在R上的部分圖象如圖所示，則f（2024）的值為．25.將函數y=5sin（2x+π4）的圖象向左平移φ（0＜φ＜π2）個單位后，所得函數圖象關于y軸對稱，則φ26．已知函數f（x）=2sinx（sinx+cosx）﹣a的圖象經過點（π2，1），a（1）求a的值，并求函數f（x）的單調遞增區間；（2）若當x∈[0，π2]時，不等式f（x）≥m恒成立，求實數m27．已知函數f（x）=22sinxcos（x+π4（Ⅰ）若在△ABC中，BC=2，AB=2，求使f（A﹣π4）=0的角B（Ⅱ）求f（x）在區間[π2，17π2428．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（2a﹣b）?cosC=c?cosB．（1）求角C的大小；（2）若c=2，△ABC的面積為3，求該三角形的周長．29.△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinB+3（1）求A；（2）若a=3，求△ABC面積S的最大值．30．已知A，B，C為銳角的三個內角，向量=(2-2sinA,cosA+sinA)，（1）求A的大小；（2）求y=2sin2B+cos31．已知函數，將函數的圖象向左平移個單位長度得到的圖象.（1）求函數的最小正周期；（2）在中，內角的對邊分別為，若，且，求面積的最大值.32．已知向量，，若，且函數的圖象關于直線對稱.（1）求的單調遞減區間；（2）在中，角的對邊分別為，若，且，，求外接圓的面積.1.【答案】C【解答】：∵可得∴故選：2.【答案】C【解答】：tanα=sinαcosα=﹣34，①，sin2α+cos2α=1，又α為其次象限的角，∴sinα＞0，cosα＜0，聯立①②，解得sinα=35，則sinα+cosα=-1故選：C．3.【答案】D【解答】：∵tanα=3，則sin2α1+cos2α=2sinαcosα故選：D．4．【答案】D【解析】因為，又函數的圖象關于原點對稱，所以，即，因為，所以.故選D.5.【答案】C【解答】：∵cos（π4-θ2）=23，∴cos（π2﹣θ）=2cos即sinθ=﹣19故選：C．6．【答案】B【解析】，為了得到函數的圖象，可以將函數的圖象向右平移個單位長度.故選B．7.【答案】D【解答】：函數f(x)=2sin(ω∵f(0)=-3，即2sinφ=∵-π2∴φ=-又∵函數f（x）的圖象關于直線x=-∴-ω×π12-π3可得ω=12k﹣10，∵0＜ω＜12．∴ω=2．∴f（x）的解析式為：f（x）=2sin（2x﹣π3最小正周期T=2π2=當x=7π9時，可得y≠0，∴令﹣π2≤2x﹣π3≤π函數y=2cos2x的圖象向右平移5π12個單位，可得2cos2（x﹣5π12）=2cos（2x﹣5π6）=2sin（2x﹣5π6+故選：D．8．【答案】D【解析】由圖象可知故，又過點，所以，且，所以，因此函數為，，明顯當時，，所以函數是減函數.故選D．9.【答案】B【解答】：由f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1﹣x2|的最小值為12可知：T4=12，∴T=2?ω=π，又f(12)=1，則φ=±π3+2kπ，k∈Z，∵0＜φ＜π2，∴φ=π3，f（x）故可求得f（x）的單調遞增區間為：[﹣56+2k，16+2k]，k∈故選：B．10.【答案】D【解答】：將函數f（x）=23cos2x﹣2sinxcosx﹣3=3cos2x﹣sin2x=2cos（2x+π6）的圖象向左平移t（t＞0）個單位，可得y=2cos（2x+2t+π由于所得圖象對應的函數為奇函數，則2t+π6=kπ+π2，k∈Z，則t的最小為故選：D．11.【答案】A【解答】：將函數y=sin2x+3cos2x=2sin（2x+π3）的圖象向左平移π6個單位長度，可得y=2sin（2x+π3+π3）令2x+2π3=kπ+π2，可得x=kπ2﹣π12，k∈Z，則平移后圖象的對稱軸方程為x=kπ2﹣π故選：A．12.【答案】A【解答】：由sinα-cosα=43，得sin2α-2sinαcosα+co∴cos2(π4故選：A．13.【答案】B【解答】：由cos（π﹣α）=13，sin(π2+β)=23，得cosα=∵α，β∈（0，π），∴sinα=223，sinβ=∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=22故選：B．14.【答案】C【解答】：tanα=1+sin2β因為α∈(0，π2)，β+π4∈（π故選：C．15.【答案】C【解答】：∵△ABC中，AB→∴AB=AB→（AC→﹣BC→）+CA→?CB→=AB→即AB→2=AB→2+CA→?CB∴CA→⊥CB→即CA⊥CB，可得△故選：C．16.【答案】A【解答】：∵cosBb+cosCc=∴ccosB+bcosC=a3cbc=∴由正弦定理可得：sinCcosB+sinBcosC=bsinA3，可得：sinA=bsinA∵A為銳角，sinA≠0，解得：b=3．故選：A．17.【答案】D【解答】：∵(a-∴（a﹣b）（a+b）=c（c+3b），∴a2﹣c2﹣b2=3bc，由余弦定理可得cosA=b2+c2∵A是三角形內角，∴A=5π故選：D．18.【答案】C【解答】：∵直線bx+ycosA+cosB=0與ax+ycosB+cosA=0平行，∴ba=cosA∴利用余弦定理可得：b×a2+c2-b22ac=a×b2+c2-a22bc，整理可得：c2（b2﹣∴解得：c2=a2+b2或b=a，而當a=b時，兩直線重合，不滿意題意；則△ABC是直角三角形．故選：C．19.【答案】A【解答】：S△ABC=12acsinB=12c?22∴b=a2+c故選：A．20.【答案】C【解答】：△ABC中，a=14，b=16，A=45°，由正弦定理得，14sin45°=16sinB，sinB=427＜1∴B可以有兩個值，此三角形有兩解．故選：C．21．【答案】π【解析】在ΔABC中，由余弦定理可得a因為b=c，所以a2又由，解得a2=2所以1-sinA=1-cos由0<A<π得A=π22．【答案】4【解析】由余弦定理得：cosA=由面積公式得S=1又ΔABC的面積S滿意4可得tanA=33，A=再由正弦定理得asin所以外接圓面積S=π23.【解答】：△ABC中，a：b：c=4：5：6，設a=4k，b=5k，c=6k，k＞0，則cosA=b2+c2-a2∴sinA=1-cos2A=1∴tanA=sinAcosA=7故答案為：7324.【答案】2【解答】：由函數f（x）=Asin（ωx+φ）的部分圖象知，3T4=11﹣2=9，解得T=12，ω=2πT又f（0）=Asinφ=1，∴sinφ=1Af（2）=Asin（π6×2+φ）=A，∴φ=π6，∴1A=sinπ6=∴f（2024）=f（168×12+2）=f（2）=A=2．故答案為：2．25.【答案】π【解答】：∵y=5sin（2x+π4）的圖象向左平移φ（0＜φ＜πg（x）=f（x+φ）=2sin（2x+2φ+π4∵g（x）=2sin（2x+2φ+π4）的圖象關于y軸對稱，∴g（x）=2sin（2x+2φ+π∴2φ+π4=kπ+π2，k∈Z，∴φ=12kπ+π∵0＜φ＜π2，∴φ=π故答案為：π826【解答】：（1）函數f（x）=2sinx（sinx+cosx）﹣a的圖象經過點（π2∴2sinπ2（sinπ2+cosπ2）﹣a=1，即2﹣a=1∴函數f（x）=2sinx（sinx+cosx）﹣1=2sin2x+2sinxcosx﹣1=2×1-cos2x2+sin2x﹣1=sin2x﹣=2sin（2x﹣π4令﹣π2+2kπ≤2x﹣π4≤π2+2kπ，k∈Z，解得﹣π8+kπ≤x≤3π8+kπ∴f（x）的單調遞增區間為[﹣π8+kπ，3π8+kπ]，k∈（2）當x∈[0，π2]時，2x﹣π4∈[﹣π4，3π4]，∴2sin（2x﹣π4）≥2×（﹣2又不等式f（x）≥m恒成立，∴實數m的取值范圍是m≤﹣1．27.【解答】：（I）∵f(A-π4)=22sin(A-π4∵△ABC中，BC=2，AB=2，∴當A=π2時，△ABC為等腰直角三角形，B=π當A=π4時，由正弦定理可得2sinπ求得sinC=12，