專題06公式法解一元二次方程、根的判別式、根與系數的關系壓軸題六種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一一元二次方程的解法——公式法】 1【考點二根據判別式判斷一元二次方程根的情況】 3【考點三根據一元二次方程根的情況求參數】 6【考點四根據判別式與一元二次方程根的情況求參數】 7【考點五一元二次方程根與系數的關系】 10【考點六利用一元二次方程根與系數的關系求參數】 11【過關檢測】 14【典型例題】【考點一一元二次方程的解法——公式法】例題：（2023·江蘇·九年級假期作業）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【變式訓練】1.（2023·江蘇·九年級假期作業）用公式法解下列方程：(1)；(2)．2.（2023春·八年級單元測試）解方程(1)；(2)．【考點二根據判別式判斷一元二次方程根的情況】例題：（2023·廣東佛山·佛山市汾江中學校考三模）一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數根B．有兩個相等的實數根C．沒有實數根D．無法判斷【變式訓練】1.（2023·全國·九年級假期作業）下列方程中，有兩個相等實數根的是（）A． B． C． D．2.（2023春·安徽淮北·八年級淮北一中校聯考階段練習）方程根的情況是（

）A．方程有兩個不相等的實數根 B．方程有兩個相等的實數根C．方程沒有實數根 D．無法判斷3.（2023春·安徽合肥·八年級統考期中）已知關于x的方程，下列說法正確的是（）A．當時，方程無實數解 B．當時，方程有兩個相等的實數解C．當時，方程有兩個不相等的實數解 D．當時，方程有兩個相等的實數解【考點三根據一元二次方程根的情況求參數】例題：（2023·安徽宿州·校考一模）若關于的方程有實數根，則的取值范圍為________．【變式訓練】1.（2023·安徽蚌埠·校聯考二模）若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則的值為______．2.（2023·四川攀枝花·統考二模）若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是______．【考點四根據判別式與一元二次方程根的情況求參數】例題：（2023·北京昌平·統考二模）關于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數根；(2)若方程有一個根小于0，求的取值范圍．【變式訓練】1.（2023春·浙江衢州·八年級校考階段練習）已知關于x的方程．(1)求證：無論m為何值，方程總有兩個不相等的實數根；(2)若方程根的判別式的值為5，求m的值及方程的根．2.（2023春·浙江杭州·八年級杭州市采荷中學校考期中）已知關于x的一元二次方程．(1)判別方程根的情況，并說明理由．(2)設該一元二次方程的兩根為a，b，且a，b是矩形兩條對角線的長，求矩形對角線的長．【考點五一元二次方程根與系數的關系】例題：（2023·四川瀘州·統考一模）已知是一元二次方程的兩根，則的值是______．【變式訓練】1.（2023·全國·九年級假期作業）若、為的兩根，則的值為______．2.（2023春·安徽淮北·八年級淮北一中校聯考階段練習）已知a，b滿足，，且，則的值為___．3.（2023春·全國·八年級專題練習）已知，是方程的兩根，則的值為__________．【考點六利用一元二次方程根與系數的關系求參數】例題：（2023·湖北襄陽·統考二模）關于的一元二次方程有兩個不相等實數根和．(1)求實數的取值范圍；(2)當時，求的值．【變式訓練】1.（2023春·安徽合肥·八年級校考期中）已知關于x的一元二次方程．(1)求證：無論k取何值，此方程總有兩個不相等的實數根；(2)若方程有兩個實數根，且，求k的值．2.（2023春·浙江·八年級期末）已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根．(1)若為正整數，求的值；(2)若滿足，求的值．【過關檢測】一、選擇題1．（2023·甘肅隴南·統考一模）用公式法解方程時，Δ＝（）A． B． C． D．2．（2023春·安徽安慶·八年級安慶市第四中學校考期末）下列一元二次方程中，沒有實數根的是（）A． B． C． D．3．（2023春·廣東廣州·八年級統考期末）若，是一元二次方程的兩個根，則的值是（

）A． B． C．1 D．74．（2023·全國·九年級專題練習）若一個菱形的兩條對角線長分別是關于的一元二次方程的兩個實數根，且其面積為11，則該菱形的邊長為（）A． B． C． D．5．（2023春·湖南郴州·八年級校考期末）已知關于x的方程有兩個實數解，求k的取值范圍（

）A． B．且 C． D．且二、填空題6．（2023·上海浦東新·校考三模）一元二次方程根的情況是．7．（2023春·福建福州·八年級福建省福州第十九中學校考期末）用公式法解關于的一元二次方程，得，則該一元二次方程是．8．（2023·貴州·統考中考真題）若一元二次方程有兩個相等的實數根，則的值是．9．（2023春·黑龍江大慶·九年級校考期末）若一元二次方程的兩根分別為，則．10．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統考期末）已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是．三、解答題11．（2023·上海·八年級假期作業）用公式法解下列方程：(1)；(2)．12．（2023·上海·八年級假期作業）用公式法解下列方程：(1)；(2)．13．（2023·上海·八年級假期作業）用公式法解下列方程：(1)；(2)．14．（2023·上海·八年級假期作業）寫出下列一元二次方程（方程的根為）的兩實數根的和與兩實數根的積(1)，___________；___________；(2)，___________；___________．15．（2023春·廣東惠州·八年級惠州一中校考期末）已知關于x的一元二次方程．(1)當時，判斷方程根的情況；(2)當時，求方程的根．16．（2023春·北京門頭溝·八年級統考期末）閱讀材料，并回答問題：小明在學習一元二次方程時，解方程的過程如下：解：∵，，

①∴

②

③∴此方程無解問題：(1)上述過程中，從步開始出現了錯誤（填序號）；(2)發生錯誤的原因是：；(3)在下面的空白處，寫出正確的解答過程．17．（2023·全國·九年級假期作業）已知，關于的一元二次方程，(1)若，求證：方程有兩個不相等的實數根；(2)若，為整數，且方程有兩個整數根，求的值．18．（2023春·江蘇南京·八年級校考期末）已知關于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數根；(2)若的兩邊，的長是這個方程的兩個實數根，第三邊的長為5，當是等腰三角形時，求k的值．19．（2023·全國·九年級假期作業）關于的一元二次方程有兩個實數根．(1)求的取值范圍；(2)若的兩條直角邊的長恰好是此方程的兩個實數根，斜邊，求的周長．20．（2023春·湖南郴州·八年級校考期末）已知關于的一元二次方程有兩個實數根．(1)試求的取值范圍；(2)若，求的值；(3)若此方程的兩個實數根為，，且滿足，試求的值．

專題06公式法解一元二次方程、根的判別式、根與系數的關系壓軸題六種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一一元二次方程的解法——公式法】 1【考點二根據判別式判斷一元二次方程根的情況】 3【考點三根據一元二次方程根的情況求參數】 6【考點四根據判別式與一元二次方程根的情況求參數】 7【考點五一元二次方程根與系數的關系】 10【考點六利用一元二次方程根與系數的關系求參數】 11【過關檢測】 14【典型例題】【考點一一元二次方程的解法——公式法】例題：（2023·江蘇·九年級假期作業）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】運用公式法求解即可．【詳解】（1）解：，，，，，原方程的解為：，；（2）解：，，，，，原方程的解為：，．【點睛】本題考查了運用公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的求根公式是解題的關鍵．【變式訓練】1.（2023·江蘇·九年級假期作業）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）運用公式法求解即可；（2）運用公式法求解即可．【詳解】（1）解：，，，，，，；（2）解：，，，，，，．【點睛】本題考查了運用公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的求根公式是解題的關鍵．2.（2023春·八年級單元測試）解方程(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）用公式法求解即可；（2）用公式法求解即可．【詳解】（1）∵，∴∴，，，∴∴方程有兩個不相等的實數根即，．（2）∵，∴，，，∴，∴方程有兩個不相等的實數根，即，．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關鍵．【考點二根據判別式判斷一元二次方程根的情況】例題：（2023·廣東佛山·佛山市汾江中學校考三模）一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數根B．有兩個相等的實數根C．沒有實數根D．無法判斷【答案】A【分析】由一元二次方程根的判別式：時，方程有兩個不相等的實數根；時，方程有兩個相等的實數根；時，方程有無的實數根；據此對方程進行判斷即可．【詳解】解：由題意得，，，，原方程有兩個不相等的實數根．故選：A．【點睛】本題考查了利用一元二次方程根的判別式確定方程根的個數問題，掌握根的判別式的意義是解題的關鍵．【變式訓練】1.（2023·全國·九年級假期作業）下列方程中，有兩個相等實數根的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據一元二次方程跟的判別式進行判斷即可．【詳解】解：A．，∵，，，∴，∴方程有兩個相等的實數根，選項A符合題意；B．，∵，，，∴，∴方程沒有實數根，選項B不符合題意；C．，∵，，，∴，∴方程有兩個不相等的實數根，選項C不符合題意；D．，∵，，，∴，∴方程有兩個不相等的實數根，選項D不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程：若，則原方程有兩個不相等的實數根；若，則原方程有兩個相等的實數根；若，則原方程沒有實數根；是解本題的關鍵．2.（2023春·安徽淮北·八年級淮北一中校聯考階段練習）方程根的情況是（

）A．方程有兩個不相等的實數根 B．方程有兩個相等的實數根C．方程沒有實數根 D．無法判斷【答案】C【分析】先計算判別式的值，然后根據判別式的意義進行判斷．【詳解】解：∵，∴∴方程沒有實數根．故選：C．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ=0時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．3.（2023春·安徽合肥·八年級統考期中）已知關于x的方程，下列說法正確的是（）A．當時，方程無實數解 B．當時，方程有兩個相等的實數解C．當時，方程有兩個不相等的實數解 D．當時，方程有兩個相等的實數解【答案】D【分析】直接利用一元二次方程根的判別式分析求出即可．【詳解】解：A、當時，方程為，解得，故當時，方程有一個實數根，故A不符合題意；B、當時，關于的方程為一元二次方程，，當時，方程有相等的實數根，故B不符合題意，CD、當時，關于的方程為為一元二次方程，，當時，方程有兩個相等的實數根，故C不符合題意，D符合題意．故選：D．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，根的判別式，正確把握其定義是解題關鍵．【考點三根據一元二次方程根的情況求參數】例題：（2023·安徽宿州·校考一模）若關于的方程有實數根，則的取值范圍為________．【答案】【分析】分當時和當兩種情況討論求解即可．【詳解】解：當，即時，此時關于的方程為，解得，方程有實數根；當，即時，此時關于的方程若有實數根，則有，解得．綜上所述，當時，關于的方程有實數根．故答案為：．【點睛】本題主要考查了解一元一次方程和一元二次方程的根的判別式，利用分類討論的思想分析問題是解題關鍵．【變式訓練】1.（2023·安徽蚌埠·校聯考二模）若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則的值為______．【答案】3【分析】一元二次方程的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數根；當，方程有兩個相等的實數根；當，方程沒有實數根．根據一元二次方程根的判別式的意義，方程有兩個相等的實數根，則有，得到關于的方程，解方程即可．【詳解】解：∵關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，∴，即，解得．故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式以及解一元一次方程的知識，理解并正確運用一元二次方程的根的判別式是解題關鍵．2.（2023·四川攀枝花·統考二模）若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是______．【答案】且，【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有2個不相等的實數根，∴，∴且，故答案為：且，．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程的定義，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根．【考點四根據判別式與一元二次方程根的情況求參數】例題：（2023·北京昌平·統考二模）關于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數根；(2)若方程有一個根小于0，求的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先求出判別式，利用配方法變為完全平方式即可，（2）利用求根公式，先求一元二次方程含k的根，讓其一根小于0，求出范圍即可．【詳解】（1）解：，，，方程總有兩個實數根；（2）解：，，，方程有一根小于0，，．【點睛】本題考查一元二次方程的判別式與根的范圍問題，掌握根的判別式的用途，會用根的判別式解決方程根的情況，會利用求根公式解方程，會用條件利用不等式，會解不等式是關鍵．【變式訓練】1.（2023春·浙江衢州·八年級校考階段練習）已知關于x的方程．(1)求證：無論m為何值，方程總有兩個不相等的實數根；(2)若方程根的判別式的值為5，求m的值及方程的根．【答案】(1)見解析(2)或3，當時，方程的解為；當時，方程的解為；【分析】（1）先得出一元二次方程根的判別式，再證明判別式大于0即可解答；（2）令判別式等于5求得或3，然后分和兩種情況，分別代入方程求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴不論m為何值時，方程總有兩個不相等的實數根．（2）解：令，則，解得：或3當時，原方程可化為：∴∴；當時，原方程可化為：∴∴；綜上，當時，方程的解為；當時，方程的解為．【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式、解一元二次方程等知識點，由方程根的情況得到判別式的符號是解題的關鍵．2.（2023春·浙江杭州·八年級杭州市采荷中學校考期中）已知關于x的一元二次方程．(1)判別方程根的情況，并說明理由．(2)設該一元二次方程的兩根為a，b，且a，b是矩形兩條對角線的長，求矩形對角線的長．【答案】(1)有兩個實數根，見解析(2)5【分析】（1）根據一元二次方程根的判別式，即可進行解答；（2）根據矩形對角線相等的性質可得，則該方程有兩個相等的實數根，即可求出m的值，最后將m的值代入原方程，即可求解．【詳解】（1）解：這個一元二次方程一定有兩個實數根理由：，∵，∴，∴這個一元二次方程一定有兩個實數根；（2）解：∵a，b是矩形兩條對角線的長，∴，∵該一元二次方程的兩根為a，b，∴有兩個相等的實數根，∴，解得，∴這個一元二次方程為，解得．∴這個矩形對角線的長是5．【點睛】本題主要考查了已知一元二次方程根的情況求參數的取值范圍，解題的關鍵是熟練掌握當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根．【考點五一元二次方程根與系數的關系】例題：（2023·四川瀘州·統考一模）已知是一元二次方程的兩根，則的值是______．【答案】【分析】根據一元二次方程根與系數的關系，可以得到，的值，即可求得．【詳解】∵，是一元二次方程的兩個實數根∴，則原式故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，掌握韋達定理是解題的關鍵．【變式訓練】1.（2023·全國·九年級假期作業）若、為的兩根，則的值為______．【答案】0【分析】由已知中α，β是方程的兩個實數根，結合根與系數的關系轉化求解即可．【詳解】解：α，β是方程的兩個實數根，可得，∴．∴的值為0．故答案為：0．【點睛】本題考查的知識點是一元二次方程根與關系，若α，β是一元二次方程的兩根時，，．2.（2023春·安徽淮北·八年級淮北一中校聯考階段練習）已知a，b滿足，，且，則的值為___．【答案】7【分析】根據題意得出a、b是關于x的方程的兩個實數根，故，，把所求式子變形再整體代入可算得答案．【詳解】解：∵a，b滿足，，且，∴a、b是關于x的方程的兩個實數根，∴，，∴，故答案為：7．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數的關系，解題的關鍵是掌握一元二次方程根與系數的關系式．3.（2023春·全國·八年級專題練習）已知，是方程的兩根，則的值為__________．【答案】【分析】先根據一元二次方程解的定義得到，即，代入得到，再根據根與系數的關系得到，然后利用整體代入的方法計算即可．【詳解】解：∵是方程的根∴∴∴∵，是方程的兩根∴∴故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程解的定義，一元二次工程根與系數的關系：若，是一元二次方程的兩根時，，．【考點六利用一元二次方程根與系數的關系求參數】例題：（2023·湖北襄陽·統考二模）關于的一元二次方程有兩個不相等實數根和．(1)求實數的取值范圍；(2)當時，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式進行求解即可；（2）根據根與系數的關系得到，進而得到，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：∵于的一元二次方程有兩個不相等實數根和，∴，解得；（2）解：∵關于的一元二次方程有兩個不相等實數根和，∴，∵，∴，∴，解得或（舍去）．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數的關系，解一元二次方程等等，熟知一元二次方程的相關知識是解題的關鍵．【變式訓練】1.（2023春·安徽合肥·八年級校考期中）已知關于x的一元二次方程．(1)求證：無論k取何值，此方程總有兩個不相等的實數根；(2)若方程有兩個實數根，且，求k的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用根的判別式判斷即可；（2）利用根與系數的關系式得到，代入計算即可．【詳解】（1）證明：∵∴無論k取何值，此方程總有兩個不相等的實數根；（2）解：由根與系數的關系得出：，由得：解得：．【點睛】此題考查了一元二次方程的根的判別式，根與系數的關系，正確掌握根的判別式的三種情況及根與系數的關系式是解題的關鍵．2.（2023春·浙江·八年級期末）已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根．(1)若為正整數，求的值；(2)若滿足，求的值．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根據關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，得到，于是得到結論；（2）根據，，代入，解方程即可得到結論．【詳解】（1）解：關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，，解得：，為正整數，；（2）解：，，，，，解得：，，，．【點睛】本題主要考查了一元二次方程中根的判別式以及根與系數的關系，熟練掌握根與系數的關系是解題的關鍵．【過關檢測】一、選擇題1．（2023·甘肅隴南·統考一模）用公式法解方程時，Δ＝（）A． B． C． D．【答案】D【分析】Δ＝，給賦值并代入求值即可．【詳解】解：，∵，∴Δ＝．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法——公式法，理解一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．2．（2023春·安徽安慶·八年級安慶市第四中學校考期末）下列一元二次方程中，沒有實數根的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別找出一元二次方程中的二次項系數a，一次項系數b、常數項c，再利用一元二次方程根的判別式判斷方程的根的情況．【詳解】解：A、，有兩個不相等的實數根，故此選項錯誤；B、，有兩個不相等的實數根，故此選項錯誤；C、，沒有實數根，故此選項正確；D、，有兩個相等的實數根，故此選項錯誤；故選：C．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是掌握，方程有實數根，否則，無實數根．3．（2023春·廣東廣州·八年級統考期末）若，是一元二次方程的兩個根，則的值是（

）A． B． C．1 D．7【答案】D【分析】利用兩根之和為，兩根之積為，計算即可．【詳解】解：∵、是一元二次方程的兩個根，∴，，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查了根與系數的關系，解題的關鍵是掌握根與系數的關系的公式．4．（2023·全國·九年級專題練習）若一個菱形的兩條對角線長分別是關于的一元二次方程的兩個實數根，且其面積為11，則該菱形的邊長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據一元二次方程根與系數的關系，得到，根據菱形的面積得到，利用勾股定理以及完全平方公式計算可得答案．【詳解】解：設方程的兩根分別為a，b，∴，∵a，b分別是一個菱形的兩條對角線長，已知菱形的面積為11，∴，即，∵菱形對角線垂直且互相平分，∴該菱形的邊長為，故C正確．故選：C．【點睛】本題考查了根與系數的關系以及菱形的性質，完全平方公式，利用根與系數的關系得出是解題的關鍵．5．（2023春·湖南郴州·八年級校考期末）已知關于x的方程有兩個實數解，求k的取值范圍（

）A． B．且 C． D．且【答案】D【分析】根據二次項系數非零及根的判別式以及二次根式有意義的條件，即可得出關于k的一元一次不等式組，然后求解即可解答．【詳解】解：∵關于x的方程有兩個實數解，∴且，解得：且．故選：D．【點睛】本題主要考查了根的判別式、一元二次方程的定義、二次根式有意義的條件等知識點，根據二次項系數非零及根的判別式，列出關于k的一元一次不等式組是解題的關鍵．二、填空題6．（2023·上海浦東新·校考三模）一元二次方程根的情況是．【答案】有兩個不相等的實數根【分析】先求根的判別式的值，然后根據根的判別式的意義判斷方程根的情況．【詳解】解：∵，∴方程有兩個不相等的實數根．故答案為：有兩個不相等的實數根．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．7．（2023春·福建福州·八年級福建省福州第十九中學校考期末）用公式法解關于的一元二次方程，得，則該一元二次方程是．【答案】【分析】根據公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各項系數的值，即可得出答案．【詳解】解：根據題意及求根公式，得，，，該一元二次方程為，故答案為：．【點睛】本題考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解題關鍵．8．（2023·貴州·統考中考真題）若一元二次方程有兩個相等的實數根，則的值是．【答案】【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根．9．（2023春·黑龍江大慶·九年級校考期末）若一元二次方程的兩根分別為，則．【答案】【分析】根據一元二次方程根與系數的關系可得，，代入代數式即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程的兩根分別為，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系：若是一元二次方程的兩根，，，掌握根與系數的關系是解題關鍵．10．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統考期末）已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是．【答案】/【分析】由題意可得，然后解不等式即可．【詳解】解：關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，整理得：故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根得判別式的應用，熟練掌握根的判別式是解題的關鍵．三、解答題11．（2023·上海·八年級假期作業）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)方程無實數解【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可；（2）用公式法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：，，則，∴，∴；（2）解：，，則，∴此方程無實數解．【點睛】本題主要考查了公式法解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程求根公式．12．（2023·上海·八年級假期作業）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)方程無解(2)方程無解【分析】先把原方程化為一般式，然后判斷的符號，如果，則用公式法求解即可，如果，則原方程無解．【詳解】（1）解：化為一般式得：，∴，∴，∴原方程無解；（2）解：，化為一般式得，∴，∴，∴原方程無解．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知公式法解一元二次方程是解題的關鍵．13．（2023·上海·八年級假期作業）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】利用公式法解方程即可．【詳解】（1）解：方程可化為：，∴，∴，∴，∴；（2）解：，整理得，即，∴，∴，∴，解得．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知公式法是解題的關鍵．14．（2023·上海·八年級假期作業）寫出下列一元二次方程（方程的根為）的兩實數根的和與兩實數根的積(1)，___________；___________；(2)，___________；___________．【答案】(1)3，1(2)，【分析】根據根與系數的關系即可求解．【詳解】（1）解：∵，，，∴，；故答案為：3，1；（2）解：∵，，，∴，；故答案為：，．【點睛】本題考查了根與系數的關系，要掌握根與系數的關系式：．15．（2023春·廣東惠州·八年級惠州一中校考期末）已知關于x的一元二次方程．(1)當時，判斷方程根的情況；(2)當時，求方程的根．【答案】(1)方程沒有實數根(2)【分析】（1）利用判別式的符號，來判斷方程根的情況；（2）利用因式分解法，解一元二次方程．【詳解】（1）解：當時：方程為：，，，方程沒有實數根；（2）解：當時，方程為：，，解得：．【點睛】本題考查一元二次方程根與判別式，以及解一元二次方程；熟練掌握判別式與根的個數的關系，以及因式分解法解一元二次方程是解題的關鍵．16．（2023春·北京門頭溝·八年級統考期末）閱讀材料，并回答問題：小明在學習一元二次方程時，解方程的過程如下：解：∵，，

①∴

②

③∴此方程無解問題：(1)上述過程中，從步開始出現了錯誤（填序號）；(2)發生錯誤的原因是：；(3)在下面的空白處，寫出正確的解答過程．【答案】(1)③(2)計算錯誤(3)見解析【分析】根據公式法的步驟判斷和求解即可．【詳解】（1）解：由題意可得：從③步開始出現了錯誤故答案為：③；（2）計算錯誤（負數乘以負數得負數）；（3）∵，，，∴，∴，解得：，．【點睛】本題考查了用公式法解一元二次方程，解題的關鍵是掌握公式法的計算步驟．17．（2023·全國·九年級假期作業）已知，關于的一元二次方程，(1)若，求證：方程有兩個不相等的實數根；(2)若，為整數，且方程有兩個整數根，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）對一元二次方程，先明確其各項系數，，的值，再利用判別式證明方程有兩個不相等的實數根；（2）方程有兩個整數根，即，由求出的范圍，且必須為能被開方的奇數，據此列出關系式，求解．【詳解】（1）證明：對關于的一元二次方程，其中，，，則，當時，，該方程有兩個不相等的實數根．（2）解：