第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年江蘇省無錫一中高二（上）質檢數學試卷（10月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知點A(2,3)，B(3,?1)，若直線l過點P(0,1)且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是(

)A.k≤?23或k≥1 B.k≤?23或0≤k≤1

C.?22.已知空間向量a=(2,?2,1)，b=(3,0,4)，則向量b在向量a上的投影向量是(

)A.109b B.25b C.3.已知直線l1：ax+y?2=0，l2：2x+(a+1)y+2=0，若l1//lA.?1或2 B.1 C.1或?2 D.?24.已知直線l：ax+by+1=0過點(2,3)，則(

)A.點(a,b)一定在直線x+y+1=0上 B.點(a,b)一定在直線x2+y3=1上

C.點(a,b)一定在直線2x+3y+1=0上 D.5.已知兩平行直線分別過點A(1,7)和B(4,3)，并且各自繞點A，B旋轉，但始終保持平行，則平行直線間的距離的取值范圍是(

)A.(0,5] B.(0,5) C.[0,5] D.(0,+∞)6.如圖，在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中，AB=5，AD=3，AA′=7，∠BAD=60°，∠BAA′=∠DAA′=45°，則AC′的長為(

)A.98+562

B.98?5627.正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，MNA.[?12,0] B.[0,12]8.教材44頁第17題：在空間直角坐標系中，已知向量u=(a,b,c)(abc≠0)，點P0(x0,y0,z0)，點P(x,y,z)．

(1)若直線l經過點P0，且以u為方向向量，P是直線l上的任意一點，求證：x?x0a=y?y0b=z?z0c；

(2)若平面α經過點P0，且以A.39 B.75 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列關于空間向量的命題中，錯誤的是(

)A.若向量n是平面α的法向量，則λn(λ∈R)也是平面α的法向量

B.若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于130°，則直線l與平面α所成角為50°

C.已知a=e1?2e2+e3，b=?e1+3e2+2e3，10.下列結論錯誤的是(

)A.過(x1,y1)，(x2,y2)兩點的所有直線，其方程均可寫為y?y1y2?y1=x?x1x2?x1

B.已知點A(3,1)，B(2,3)，則過點A11.“曼哈頓距離”是十九世紀的赫爾曼?閔可夫斯基所創詞匯，用以標明兩個點在標準坐標系上的絕對軸距總和，其定義如下：在直角坐標平面上任意兩點A(x1,y1)，B(A.若點P(2,4)，Q(?2,1)，則d(P,Q)=7

B.若點M(?1,0)，N(1,0)，則在x軸上存在點P，使得d(P,M)+d(P,N)=1

C.若點M在y=x2上，點N在直線3x?y+12=0上，則d(M,N)的值可以是4

D.若點M(2,1)，點P在直線x?3y+7=0上，則d(P,M)的最小值是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.以v=(2,?6)為方向向量，且過點(?3,2)的直線方程為______．13.如圖，已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1中點，AF=13AD,AG=2GA114.著名數學家華羅庚曾說“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休.”事實上，很多代數問題可以都轉化為幾何問題加以解決.已知0<x<2，0<y<1，則x2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知空間中三點A(0,2,3)，B(?2,1,6)，C(1,1,5)．

(1)已知向量AB?kAC與AC互相垂直，求k的值；

(2)求以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積．16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=5．

(1)求直線PB與平面PCD所成角的余弦值；

(2)求點B到平面PCD的距離．17.(本小題15分)

已知直線l1：(m+2)x?my?8=0與直線l2：mx+y?4=0，m∈R．

(1)若l1⊥l2，求m的值；

(2)若點P(1,m)在直線l2上，直線l過點P，且在兩坐標軸上的截距之和為0，求直線l的方程．

(3)△ABC中，A為直線l1過的定點，AB邊上的高CD所在直線的方程為x+2y?14=0，AC18.(本小題17分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=3．

(1)若AD⊥PB．

①求證：AD⊥平面PAB；

②求向量CP在向量DA上的投影向量的模．

(2)是否存在點D，使得AD⊥DC，且二面角A?CP?D的正弦值為63；若存在，求出19.(本小題17分)

如圖，∠AOx=∠BOx，設射線OA所在直線的斜率為k(k>0)，點P在∠AOB內，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．

(1)若k=1，P(32,12)，求|OM|的值；

(2)若P(2,1)，求△OMP面積的最大值，并求出相應的k值；

(3)已知k為常數，M，N的中點為T，且S△MON

參考答案1.D

2.C

3.B

4.C

5.A

6.A

7.A

8.A

9.ABC

10.ABD

11.ACD

12.3x+y+7=0

13.21314.215.解：(1)空間中三點A(0,2,3)，B(?2,1,6)，C(1,1,5)，

∴AB=(?2,?1,3)，AC=(1,?1,2)，

?AB?kAC=(?2?k,k?1,3?2k)，

∵向量?AB?kAC與AC互相垂直，

∴(?AB?kAC)?AC=?2?k?k+1+6?4k=0，

解得k=56；

(2)cos<AB,16.解：(1)取AD的中點O，連接OP，OC，

因為PA=PD，所以AD⊥OP，

因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OP?平面PAD，

所以OP⊥平面ABCD，

又AC=CD=5，所以OC⊥AD，

故以O為原點，以OC、OA、OP的正方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則P(0,0,1)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0,?1,0)，

所以PC=(2,0,?1)，CD=(?2,?1,0)，PB=(1,1,?1)，

設平面PCD的法向量為n=(x,y,z)，則n?PC=0n?CD=0，即2x?z=0?2x?y=0，

令x=1，得n=(1,?2,2)，

設直線PB與平面PCD所成角為θ，θ∈[0,π2]，

則sinθ=|cos<PB，n>|=|PB?n||PB|?|n|=|1?2?2|17.解：(1)若l1⊥l2，則(m+2)m?m=0，

解得m=0或m=?1．

(2)若點P(1,m)在直線l2上，則m×1+m?4=0，即m=2，

所以P(1,2)，

當直線l經過原點時，直線l的方程為y=2x，即2x?y=0；

當直線l不經過原點時，設直線l的方程為xa?ya=1，

代入點P(1,2)，有1a?2a=1，解得a=?1，

所以直線l的方程為x?1?y?1=1，即x?y+1=0，

綜上，直線l的方程為2x?y=0或x?y+1=0．

(3)將直線l1：(m+2)x?my?8=0整理得m(x?y)+2x?8=0，

令x?y=02x?8=0，得x=4y=4，所以直線l1恒過定點(4,4)，即A(4,4)，

因為AB邊上的高CD所在直線的方程為x+2y?14=0，

所以直線AB的斜率為2，

所以直線AB的方程為y?4=2(x?4)，即y=2x?4，

又中線BE所在直線的方程為2x+y?14=0，

聯立y=2x?42x+y?14=0，解得x=92y=?5，即B(92,?5)，

設C(m,n)，

代入高線CD所在直線的方程x+2y?14=0，有m+2n?14=0，

由A(4,4)，知AC的中點18.解：(1)①證明：由PA⊥底面ABCD，AD?底面ABCD，

可得PA⊥AD，又AD⊥PB，

PA∩PB=P，PA，PB?平面PAB，

所以AD⊥平面PAB；

②由AD⊥平面PAB，可得AD⊥AB，

又AC=2，BC=1，AB=3，則有AB2+BC2=AC2，

故BC⊥AB，且∠BAC=30°，

則CP在DA上的投影向量的模為：

|CP?DA||DA|=|(AP?AC)?DA||DA|=|AP?DA?AC?DA||DA|

=|AC|cos∠DAC=2×cos60°=1；

(2)如圖，以A為坐標原點，AP方向為z軸正方向，AC方向為y軸正方向，

垂直于AC方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系，

由(1)知，∠BAC=30°，又AB=3，故B(32,32,0)，

由題意可得A(0,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，

設D(a,b,0)，則AD=(a,b,0)，CD=(a,b?2,0)，CP=(0,?2,2)，

由AD⊥DC，可得AD?CD=0，即a2+b2?2b=0，①

設平面CPD的一個法向量為m=(x,y,z)，

則有m?CD=019.解：(1)因為P(32,12)，所以|OP|=102，

當k=1時，OA的方程為y=x，即x?y=0，

所以點P到直線OA的距離為|PM|=|32?12|12+12=2