第24章解直角三角形

復習和小結知識架構直角三角形兩個銳角互余斜邊上的中線等于斜邊的一半30°角所對的直角邊等于斜邊的一半勾股定理邊角關系：銳角三角函數解直角三角形應用銳角三角函數（兩邊之比）特殊角的三角函數2130°1145°2160°解直角三角形∠A

＋∠B＝90°a2

+b2

=

c2三角函數關系式計算器由銳角求三角函數值由三角函數值求銳角解直角三角形簡單實際問題數學模型梯形組合圖形三角形構建作高轉化為直角三角形考點分類(1)∠A的正弦：∠A的對邊斜邊sinA=(2)∠A的余弦：cosA＝

＝

；(3)∠A的正切：tanA＝

＝

.∠A的鄰邊斜邊∠A的鄰邊∠A的對邊如圖所示，在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，a，b，c

分別是∠A，∠B，∠C

的對邊．[易錯點]忽視用邊的比表示銳角的正弦、余弦和正切的前提是在直角三角形中．2．30°，45°，60°角的三角函數值sin30°＝

，sin45°＝

，sin60°＝

；cos30°＝

，cos45°＝

，cos60°＝

；tan30°＝

，tan45°＝

，tan60°＝

.13.解直角三角形(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊．三邊關系：

；三角關系：__________________；邊角關系：sinA＝cosB＝____，cosA＝sinB＝___，tanA＝tanB＝a2＋b2＝c2∠A＝90°－∠B

__________，___________.(2)直角三角形可解的條件和解法?條件：解直角三角形時知道其中的

2個元素（至少有一個是邊）,就可以求出其余的

3個未知元素．?解法：①一邊一銳角，先由兩銳角互余關系求出另一銳角；知斜邊，再用正弦（或余弦）求另兩邊；知直角邊用正切求另一直角邊，再用正弦或勾股定理求斜邊；②知兩邊：先用勾股定理求另一邊，再用邊角關系求銳角；③斜三角形問題可通過添加適當的輔助線轉化為解直角三角形問題．隨堂練習分析：題中給出了兩個直角三角形，DC和sinB可分別在Rt△ACD和Rt△ABC中求得，由

AD＝BC，圖中

CD＝BC－BD，由此可列方程求出

CD．ABCD1.如圖，在

△ABC中，∠C＝90°，點

D在

BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC=.求：(1)DC的長；（2）sinB的值．又

BC－CD＝BD，解得

x=6.∴CD=6.ABCD解：（1）設

CD＝x，在Rt△ACD中，cos∠ADC=，(2)BC=BD+CD=4+6=10=AD在Rt△ACD中，

在Rt△ABC中，

ABCD2.如圖所示，在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，AC＝

.點

D

為

BC

邊上一點，且

BD＝2AD，∠ADC＝60°.求

△ABC

的周長(結果保留根號).[解析]要求△ABC的周長，先通過解Rt△ADC求出

CD和

AD的長，然后根據勾股定理求出

AB的長．解：在

Rt△ADC

中，∴BD＝2AD＝4.∴BC＝BD＋DC＝5.在

Rt△ABC

中，∴△ABC

的周長為AB＋BC＋AC解：由題意，AC＝AB＝610（米）.3.目前世界上最高的電視塔是廣州新電視塔．如圖所示，新電視塔高

AB為

610米，遠處有一棟大樓，某人在樓底

C處測得塔頂B的仰角為

45°，在樓頂

D處測得塔頂

B的仰角為

39°．（tan39°≈0.81）(1)求大樓與電視塔之間的距離AC；解：DE＝AC＝610（米），在Rt△BDE中，tan∠BDE＝.故

BE＝DE·tan39°．∴CD＝AE＝AB－BE＝AB-DE·tan39°＝610－610×tan39°≈116（米）.（2）

求大樓的高度

CD（精確到

1米）.課堂小結ABCbac∠A的對邊斜邊sinA=cosA＝

＝

；∠A的鄰邊斜邊tanA＝

＝.∠A的鄰邊∠A的對邊解直角三角形的一般思路是：有斜(斜邊)用弦(正弦、余弦)，無斜用切(正切)，寧乘勿除，取原避中．對于較復雜的圖形，要善于將其分解成簡單的圖形，并借助橋梁(相等的邊、公共邊、相等