冀教版八年級(jí)上第十六章軸對(duì)稱和中心對(duì)稱集訓(xùn)課堂練素養(yǎng)1.旋轉(zhuǎn)在解幾何題中的常用技巧

圖形的旋轉(zhuǎn)是只改變圖形位置的全等變換，在這個(gè)變換

過(guò)程中有對(duì)應(yīng)線段相等、對(duì)應(yīng)角相等等一些等量關(guān)系，利用

這些等量關(guān)系可以解決線段、角、面積的計(jì)算等有關(guān)問(wèn)題.技巧1旋轉(zhuǎn)在求角度中的巧用1.

[2024·北京二中教育集團(tuán)開(kāi)學(xué)考試]如圖，將△

ABC

繞點(diǎn)

B

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△

DBE

，點(diǎn)

C

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

E

恰

好落在

AB

上.(1)若

BC

＝6，

BD

＝9，求線段

AE

的長(zhǎng).1234567【解】∵將△

ABC

繞點(diǎn)

B

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得

到△

DBE

，點(diǎn)

C

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

E

落在

AB

上，∴

BA

＝

BD

＝9，

BE

＝

BC

＝6，∴

AE

＝

AB

－

BE

＝9－6＝3.

(2)連接

AD

，若∠

C

＝110°，∠

BAC

＝40°，求∠

EDA

的度數(shù).1234567技巧2旋轉(zhuǎn)在求線段長(zhǎng)中的巧用2.

如圖，已知△

ABC

，以

BC

為邊向外作等邊三角形

BCD

，連接

AD

，把△

ABD

繞著點(diǎn)

D

按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°到

△

ECD

的位置，且點(diǎn)

A

，

C

，

E

恰好在一條直線上，若

AB

＝5，

AC

＝2.求∠

BAC

的度數(shù)和

AD

的長(zhǎng).1234567

1234567技巧3旋轉(zhuǎn)在證明線段不等關(guān)系中的巧用3.

如圖，在△

ABC

中，

M

是

BC

的中點(diǎn)，

E

，

F

分別在

AC

，

AB

上，且

ME

⊥

MF

.

求證：

EF

＜

BF

＋

CE

.

【證明】由題意可知

BM

＝

MC

，∴可將△

BFM

繞點(diǎn)

M

旋轉(zhuǎn)180°得到△

CNM

，連接

EN

.

∴

BF

＝

CN

，

FM

＝

MN

，點(diǎn)

F

，

M

，

N

共線.又∵

ME

⊥

MF

，∴

EM

垂直平分

FN

.

∴

EN

＝

EF

.

∵

EN

＜

NC

＋

CE

，∴

EF

＜

BF

＋

CE

.

1234567技巧4旋轉(zhuǎn)在求面積中的巧用4.

如圖，點(diǎn)

O

是等邊三角形

ABC

內(nèi)的一點(diǎn)，∠

BOC

＝

150°，將三角形

BOC

繞點(diǎn)

C

按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△

ADC

，連接

OD

，

OA

.

(1)求∠

ODC

的度數(shù)；1234567

1234567(2)若

OB

＝2，

OC

＝3，求△

ADO

的面積.

1234567技巧5旋轉(zhuǎn)在探究面積變化中的巧用5.

如圖①，把兩個(gè)全等的等腰直角三角尺

ABC

和

EFG

(其直

角邊長(zhǎng)均為4)疊放在一起，且使三角尺

EFG

的直角頂點(diǎn)

G

與三角尺

ABC

的斜邊中點(diǎn)

O

重合.現(xiàn)將三角尺

EFG

繞點(diǎn)

O

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α(旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°＜α＜90°)，四邊

形

CHGK

是旋轉(zhuǎn)過(guò)程中兩個(gè)三角尺的重疊部分(如圖②).

在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四

邊形

CHGK

的面積有何

變化？1234567

∵∠

KGC

與∠

HGB

都是旋轉(zhuǎn)角，∴∠

KGC

＝∠

HGB

＝α.又∵∠

GBH

＝∠

GCK

＝45°，∴△

GCK

≌△

GBH

(ASA).∴

S△

GCK

＝

S△

GBH

.

∴四邊形

CHGK

的面積始終不變.1234567技巧6旋轉(zhuǎn)在探究面積關(guān)系中的巧用

1234567當(dāng)∠

EDF

繞點(diǎn)

D

旋轉(zhuǎn)到

DE

和

AC

不垂直時(shí)，在圖②和圖

③這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證

明；若不成立，

S△

DEF

，

S△

CEF

，

S△

ABC

又有怎樣的數(shù)量

關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明.1234567【解】題圖②成立.證明如下：如圖，過(guò)點(diǎn)

D

作

DM

⊥

AC

于點(diǎn)

M

，

DN

⊥

BC

于點(diǎn)

N

，

則∠

DMA

＝∠

DME

＝∠

DNF

＝∠

MDN

＝90°.∵

AC

＝

BC

，∴∠

A

＝∠

B

＝45°.∵

D

為

AB

的中點(diǎn)，∴

AD

＝

BD

.

∴△

ADM

≌△

BDN

(AAS).∴

DM

＝

DN

.

由題意易證∠

MDE

＝∠

NDF

，∴△

DME

≌△

DNF

(ASA).1234567

1234567【點(diǎn)撥】通過(guò)旋轉(zhuǎn)圖形改變圖形的位置來(lái)探究解決是否成立問(wèn)

題，動(dòng)態(tài)中無(wú)法判斷結(jié)論是否成立，可以通過(guò)尋找運(yùn)動(dòng)范

圍的某一固定時(shí)刻，探究其結(jié)論的正確性，這就是“動(dòng)中

求靜”的思想.1234567技巧7旋轉(zhuǎn)在證明線段關(guān)系中的巧用7.

如圖①，在△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

E

是邊

AC

上任意一點(diǎn)(點(diǎn)

E

與點(diǎn)

A

，

C

不重合)，以

CE

為一直角邊作△

ECD

，

∠

ECD

＝90°，連接

BE

，

AD

.

若△

ABC

和△

ECD

都是等腰直角三角形.(1)猜想線段

BE

，

AD

之間的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，直接

寫(xiě)出結(jié)論.【解】

BE

＝

AD

，

BE

⊥

AD

.

1234567(2)現(xiàn)將圖①中的△

ECD

繞著點(diǎn)

C

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

n

°，得到

圖②，請(qǐng)判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)

證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.1234567【解】

BE

＝

AD

，

BE

⊥

AD

仍然成立.證明：設(shè)

BE

與

AC

的交點(diǎn)為點(diǎn)

F

，

BE

與

AD

的交點(diǎn)為

點(diǎn)

G

，如圖所示.∵△

ABC

和△

ECD

都是等腰直角三角形，∴

AC

＝

BC

，

CD

＝

CE

，∠

ACB

＝∠

ECD

＝90°.∴∠

ECD

＋∠

ACE

＝∠

ACB

＋∠

ACE

，即∠

ACD