湖北省重點高中智學聯盟2024年春季高二年級5月聯考數學試題命題學校：鄂南高級中學命題人：范裕龍張文瑜審題人：昜紅艷張俊勇一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．的展開式中的系數為（）A．50 B．100 C． D．2．若集合，，則（）A． B． C． D．3．若函數在上的平均變化率與它在處的瞬時變化率相等，則（）A．1 B．2 C．3 D．44．用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的三位數，其中能被5整除的數共有（）個A．48 B．36 C．32 D．245．已知數列的前項和為，且滿足，，則數列的最大項為（）A． B． C． D．6．已知直線是曲線與的公切線，則（）A． B．1 C． D．27．高二年級舉行“誦讀中國”經典誦讀大賽，高二（1）班至高二（4）班每班有1名男生和1名女生參選，現從這8名同學中隨機選出2名，下列結果錯誤的是（）A．“選出的同學都是男生”的選法有6種B．“選出的同學不是同班同學”的選法有24種C．“正好選出了一個男生和一個女生”的選法有16種D．“選出了一個男生和一個女生，且兩人不是同班同學”的選法有10種8．已知函數滿足，且為偶函數，當時，，若關于的不等式在上有且只有26個整數解，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．高二年級早讀時間是7時10分，甲同學每天早上上學有三種方式：步行，騎自行車或乘出租車，概率分別為0.2，0.5，0.3；并且知道他步行，騎自行車或乘出租車時，遲到的概率分別為，，，那么以下正確的是（）A．甲同學今天早上步行上學與騎自行車上學是互斥事件B．甲同學今天早上步行上學與騎自行車上學相互獨立C．甲同學遲到的概率是D．若已經知道他今早遲到了，則他今早是步行上學的概率為10．在一個有窮數列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數列，我們把這樣的操作稱為該數列的一次“和擴充”．如數列1，3，第1次“和擴充”后得到數列1，4，3；第2次“和擴充”后得到數列1，5，4，7，3；依次擴充，記第次“和擴充”后所得數列的項數記為，所有項的和記為，數列的前項為，則（）A． B．滿足的的最小值為11C． D．11．定義在上的函數，其中，記為的從小到大的第個極值點，則以下正確的是（）A．當時，在處的切線方程為B．C．在區間存在唯一極大值點D．為等比數列三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．12．等比數列的前項和為，且數列的公比為32，則______．13．設隨機變量，若，則______．14．如圖所示：在一個無限延展的平面上，鋪滿了邊長為1的正方形網格．已知某質點從出發，只能沿著網格線走，每次走一格，且每次向右走的概率為，向上走的概率為，向左走的概率為，向下走的概率為，且每一步之間相互獨立．設按最短路徑從到達的概率記為，則當取得最大值的時候的取值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知數列的前項和為，其中為正整數．（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和．16．（15分）一個盒子里有大小相同的5個小球，其中2個白球和3個紅球．（1）一次性從盒子中抽3個小球，抽出來的是1個白球和2個紅球的概率；（2）有放回地抽3次小球，每次抽1個，求抽出白球次數的分布列和均值．17．（15分）已知二項式，且其二項式系數之和為64．（1）求和；（2）求；（3）求．18．（17分）已知雙曲線的漸近線上一點與右焦點的最短距離為．（1）求雙曲線的方程；（2）為坐標原點，直線與雙曲線的右支交于、兩點，與漸近線交于、兩點，與在軸的上方，與在軸的下方．（?。┣髮崝档娜≈捣秶áⅲ┰O、分別為的面積和的面積，求的最大值．19．（17分）已知函數，（1）討論的單調性；（2）當時，以為切點，作直線交的圖像于異于的點，再以為切點，作直線交的圖像于異于的點，…，依此類推，以為切點，作直線交的圖像于異于的點，其中．求的通項公式．（3）在（2）的條件下，證明：湖北省重點高中智學聯盟2024年春季高二年級5月聯考數學參考答案一、選擇題：題號12345678答案CAABCBDB1．【詳解】，故選：C．2．【詳解】由，則，解得，所以，由，解得，所以，所以．故選：A．3．【詳解】在上的平均變化率為，令；則；故選：A．4．【詳解】分成兩類：①個位是0，有；②個位是5，先填百位再填個位，有種，故一共有36種；故選：B．5．【詳解】因為，所以是以1為公差的等差數列，又，所以，則，因為，當且僅當時等號成立，所以當時，，當時，，故數列的最大項為．6．【詳解】設直線與曲線相切于點，與曲線相切于點，由于，，所以，，，，所以由點在切線上，得切線方程為，由點在切線上，得切線方程為，故解得，．．故選：B．7．【詳解】“選出了一個男生和一個女生，且兩人不是同班同學”的選法有種，故選：D．8．【詳解】函數是以4為周期的周期函數，當時，，所以，當時，，函數遞增；當時，，函數遞減；當時，函數取得極大值，作出函數在上的圖象，因為，，所以，因為不等式在上有且只有26個整數解，所以不等式在上有且只有1個整數解，當時，不符合題意，故不等式在上有且只有1個整數解為3，又因為共有25個周期，整數解個數為個，則；故選：B．二、選擇題：題號91011答案ADBDBCD9．【詳解】由互斥的定義知，A項正確，由事件相互獨立的定義知，B項錯誤；設“甲同學遲到”；“步行”；“騎自行車”；“乘出租車”，則，，，，，由全概率公式得：．C項錯誤；由題意可知所求概率為，由貝葉斯公式得：；D項正確．10．【詳解】數列1，3第次拓展后的項數為，則，，根據拓展規則可知，，即，數列是等比數列，首項為2，公比為2，，即；故A項錯誤；由，即，解得，故B項正確；根據拓展規則可知，，，又，數列是等比數列，首項為6，公比為3，，所以；故C項錯誤；，故D項正確．11．【詳解】，其中，，；當時，在處的切線斜率為，故A項錯誤；令，由得，當，，；當，，；因此，當，時，取得極值，所以，，，故B項正確；當，，則在單調遞減，唯一，使；，；，；故在區間存在唯一極大值點；故C項正確；；是常數；故D項正確．三、填空題：12．【詳解】設的公比為，則的公比為，則的公比為2，則．13．【詳解】．14．【詳解】設，則當時，，單調遞增；當時，，單調遞減．故當時，取得最大值．四、解答題：15．解：（1）當時，，而當時，滿足．故，．（2）．故．16．解：（1）設抽出來的是1個白球和2個紅球的事件為，則總體事件數為：，滿足條件的為：，．（2）每一次抽出白球的概率為．的所有可能取值為0，1，2，3，則，的分布列為：0123故．17．解：（1）二項式系數之和，則，展開式的通項，其中為前面的系數，令，則．（2），則．（3）對二項式兩邊求導，．令，則，故．18．解：（1）設雙曲線的焦距為，且，因為到直線的距離為，故，則．故雙曲線的方程為：．（2）（ⅰ）設，，聯立直線與雙曲線的方程，則因為直線與雙曲線右支交于兩點，故，則，故的取值范圍為．（3）（ⅱ）由（ⅰ）知，原點到直線的距離設，，聯立，則，，，，則，而，令，則，當即時取到等號．綜上所述，的最大值為．19．解：（1）①若，當時，；當時，故在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增②若，則，則在上單調遞增③若，當時，；當時，故在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增綜上所述：①當時，在上單