3.2-3.3勾股定理的逆定理與簡單應用【推本溯源】1.上節課我們學習了勾股定理，回顧一下勾股定理的內容。2.如果一個三角形的兩條邊的平方和等于第三步的平方，那么這個三角形是直角三角形嗎？如圖，在▲ABC中a2+b2=c2，▲ABC是否為直角三角形？因此，如果三角形的三邊長分別為a、b、c，且a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形，這個稱為勾股定理的。根據三邊長度，判斷下面的三角形形狀。（1）3，4，3；

（2）3，4，5；（3）3，4，6；

（4）5，12，13．銳角三角形：直角三角形：鈍角三角形：滿足a2+b2=c2的三個正整數，稱為.4.根據勾股定理填寫表格。a369…b4816…4nc51520…5n所以在求勾股定理的時候，還可以用比例解。5.若△ABC的兩邊長為3和4，則能使△ABC為直角三角形的第三邊的平方是（）A，5；B．7；C．5或7；D．8．6.勾股定理的簡單應用一株荷葉高出水面米，一陣風吹來，荷葉被吹得貼著水面，這時它偏離原來的位置有米遠，如圖所示，求荷葉的高度和水面的深度．解決應用的方法：?！窘饣蟆坷?：下列長度的四組線段中，可以構成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．，2， C．4，5，6 D．8，15，19例2：如圖，小賢家的矩形木門左下角有一點受潮，他想檢測門是否變形，準備采用如下方法：先測量門的邊和的長，再測量點A和點C間的距離，由此可推斷是否為直角，這樣做的依據是（

）A．勾股定理的逆定理 B．兩銳角互余的三角形是直角三角形C．三個角都是直角的四邊形是矩形 D．對角線相等的四邊形是矩形例3：如圖，一個梯子長米，頂端A靠在墻上，這時梯子下端B與墻角C距離為米，梯子滑動后停在的位置上，測得長為米，求梯子頂端A下落了（

）A．米 B．米 C．米 D．米例4：如圖，某中學有一塊四邊形的空地，學校計劃在空地上種植草皮，經測量，，，，，則這塊四邊形空地的面積為_________．例5：若的三邊滿足條件，試判斷的形狀．【摩拳擦掌】1．（2023·廣西南寧·統考二模）如圖，一架長為的梯子斜靠在豎直的墻上，梯子的底端（點A）距墻角（點C）為．若梯子的底端水平向外滑動，梯子的頂端（點B）向下滑動多少米？若設梯子的頂端向下滑動x米，則根據題意可列方程為（

）

A． B．C． D．2．（2023春·新疆阿勒泰·八年級統考期中）如圖，一棵大樹被大風刮斷后，折斷處離地面，樹的頂端離樹根，則這棵樹在折斷之前的高度是（）A．18 B．16 C．14 D．243．（2023春·湖北黃岡·八年級統考期中）中，、、的對邊分別為、、，下列條件中，不能判斷是直角三角形的是（）A． B． C．，， D．4.（2023春·北京海淀·八年級北京二十中?？计谥校┮桓褡痈?尺，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處．則折斷處離地面的高度是__________尺．5．（2023春·廣東廣州·八年級?？计谥校┰谥?，，則的面積等于___________．6．（2023春·河南鄭州·八年級?？计谥校┤鐖D，在筆直的鐵路上A，B兩點相距，C、D為兩村莊，，，于點A，于B，現要在AB上建一個中轉站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，求______km．7．（2023春·內蒙古通遼·八年級?？计谥校┤鐖D，將一根長的筷子，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，設筷子露在杯子外面的長度是，則h的取值范圍是________．8．（2023春·廣東云浮·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，長為5，點D是上的一點，，．(1)求證：為直角三角形；(2)求出線段的長．9．（2023春·安徽合肥·八年級合肥38中校考期中）如圖，《九章算術》中記載：今有立木，系索其末，委地三尺，引素卻行，去本八尺而索盡，問素長幾何?譯文：今有一整直著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱的上端順木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（繩子比木柱長3尺），牽著繩索退行，在距木柱底部8尺處時而繩索用盡，求木柱的長．10．（2023春·河南濮陽·八年級統考期中）如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在右墻上，測得梯子頂端距離地面2米，即米，梯子底端距右墻底端米，即米，梯子底端位置不動，將梯子斜靠在左墻時，頂端距離地面米，即米，則小巷的寬度為多少米？【知不足】1．（2023春·廣東深圳·八年級校聯考期中）三角形的三邊長分別為a、b、c，則下面四種情況中，不能判斷此三角形為直角三角形的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（2022秋·山西呂梁·八年級統考期末）如圖，在中，，，，將三角形紙片沿折疊，使點C落在邊上的點E處，則的周長為（

）

A．3 B．4 C．5 D．63．（2023春·廣東廣州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，，，則的值為（

）

A． B． C． D．44．（2022春·八年級單元測試）在筆直的鐵路上、兩點相距，、為兩村莊，，，于，于，現要在上建一個中轉站，使得、兩村到站的距離相等．則應建在距________？5．（2023春·全國·八年級專題練習）勾股定理是人類早期發現并證明的重要數學定理之一，是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應用廣泛而使人入迷．如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度，將它往前推至處時（即水平距離），踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，則繩索的長是

_______．6．（2022春·廣東中山·八年級中山一中校考期中）如圖，有一個長方體池子，底面是邊長為丈（1丈＝10尺）的正方形，中間有蘆葦，把高出水面2尺的蘆葦拉向池邊（蘆葦沒有折斷），剛好貼在池邊上，則蘆葦長_____________尺．

7．（2023春·廣東惠州·八年級校考期中）一架方梯長米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻長米，如果梯子的頂端下滑米至，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？

8．（2023春·廣東廣州·八年級?？计谥校┤鐖D所示的一塊地，已知，求陰影部分的面積．

9．（2023春·廣東惠州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，于D，，

(1)求的值．(2)判斷的形狀，并說明理由．【一覽眾山小】1．（2023春·廣東湛江·八年級?？计谥校┧膫€三角形的邊長分別是①2，3，4；②3，4，5；③5，6，7；④5，12，13．其中直角三角形是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④2．（2023·江蘇南通·統考二模）《九章算術》是我國古代數學名著，記載著“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何?”意思是：一根筆直生長的竹子，高一丈（一丈=10尺），因蟲害有病，一陣風吹來將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠，求折斷處離地面的高度是多少尺?設折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（

）A． B．C． D．3．（2023春·山西呂梁·八年級統考期中）如圖是樓梯的示意圖，樓梯的寬為5米，米，米，若在樓梯上鋪設防滑材料，則所需防滑材料的面積至少為（

）A．65 B．85 C．90 D．1504．（2023春·廣東河源·八年級統考開學考試）一個圓柱形的高是，底面圓的周長，螞蟻想從處爬到處，則螞蟻爬行最短距離是___________．5．（2022秋·七年級單元測試）已知兩條線段的長為5和4，當第三條線段的長的平方為________時，這三條線段能組成一個直角三角形．6．（2022春·八年級單元測試）如圖，以的兩邊、分別向外作正方形，它們的面積分別是，，若，，，則的形狀是________三角形．7．（2023春·廣東佛山·八年級校考階段練習）如圖，的頂點均在正方形網格的格點上，則的度數等于___________．

8．（2023春·湖北武漢·八年級校考階段練習）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時分別航行12海里和16海里，1小時后兩船分別位于點A，B處，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，則乙船沿______方向航行．9．（2023·江西九江·?？寄M預測）我國古代數學名著《九章算術》中有這樣一道題目，大致意思是：有一豎立著的木桿，在木桿的上端系有繩索，繩索從木桿上端順著木桿下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牽著繩索頭（繩索頭與地面接觸）退行，在離木桿底部8尺處時，繩索用盡．問繩索長為多少．繩索長為_______尺．10．（2023春·湖北武漢·八年級統考期中）如圖，鐵路和公路在點處交匯，，公路上處距離點240米，如果火車行駛時，火車頭周圍150米以內會受到噪音的影響，那么火車在鐵路上沿方向以72千米/小時的速度行駛時，處受到噪音影響的時間為________秒.11．（2023·四川廣安·統考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長為，在杯內壁離杯底的點處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對的點處，則螞蟻從外壁處到內壁處所走的最短路程為___________．（杯壁厚度不計）

12．（2022秋·廣東茂名·八年級?？计谥校┤鐖D，已知等腰三角形的底邊，D是腰長延長線上一點，連接，且．

(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)求的周長．13．（2023春·廣東佛山·八年級?？茧A段練習）閱讀材料：利用公式法，可以將一些形如的多項式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項式的配方法，運用多項式的配方法及平方差公式