河南省六市2018屆高三第一次聯考（一模）數學（理）試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】,,所以,選C.2.已知為虛數單位，若，則（）A.0B.1C.D.2【答案】B3.現有5人參加抽獎活動，每人依次從裝有5張獎票（其中3張為中獎票）的箱子中不放回地隨機抽取一張，直到3張中獎票都被抽出時活動結束，則活動恰好在第4人抽完后結束的概率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】試題分析：將張獎票不放回地依次取出共有種不同的取法，若獲恰好在第四次抽獎結束，則前三次共抽到張中獎票，第四次抽的最后一張獎票，共有種取法，所以概率為，故選C.考點：古典概型及其概率的計算.4.汽車以作變速運動時，在第1s至2s之間的1s內經過的路程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】,選D.5.為考察兩種藥物預防某疾病的效果，進行動物實驗，分別得到如下等高條形圖：根據圖中信息，在下列各項中，說法最佳的一項是（）A.藥物的預防效果優于藥物的預防效果B.藥物的預防效果優于藥物的預防效果C.藥物、對該疾病均有顯著的預防效果D.藥物、對該疾病均沒有預防效果【答案】B【解析】由A、B兩種藥物預防某疾病的效果，進行動物試驗，分別得到的等高條形圖，知：

藥物A的預防效果優于藥物B的預防效果．

故選B．6.一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的各個表面中，最大面的面積為（）A.B.C.2D.4【答案】B【解析】幾何體如圖，，所以最大面ＳＡＢ的面積為，選Ｂ．7.已知數列滿足：，則其前100項和為（）A.250B.200C.150D.100【答案】D【解析】因為,所以選D.8.已知銳角中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因為為銳角三角形,所以,選D.9.設是數列的一個排列，觀察如圖所示的程序框圖，則輸出的的值為（）A.2015B.2016C.2017D.2018【答案】D【解析】試題分析：此題的程序框圖的功能就是先求這個數的最大值，然后進行計算,，因為，所以，故選D．考點：程序框圖.【方法點睛】本題考查的是程序框圖.對于算法與流程圖的考查，一般會側重于對流程圖循環結構的考查.先明晰算法及流程圖的相關概念，包括選擇結構、循環結構、偽代碼，其次要重視循環起點條件、循環次數、循環終止條件，更要通過循環規律，明確流程圖研究的數學問題，是求和還是求項.10.在三棱錐中，，，，，，且三棱錐的體積為，則該三棱錐的外接球半徑是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】取SC中點O，則OA=OB=OC=OS,即O為三棱錐的外接球球心，設半徑為r,則選C.點睛：涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解.11.橢圓與函數的圖象交于點，若函數的圖象在處的切線過橢圓的左焦點，則橢圓的離心率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】設因此，所以，,,選B.點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.12.若關于的方程有3個不相等的實數解，且，其中，，則的值為（）A.1B.C.D.【答案】A【解析】令，則方程化為有兩個不等的實根，所以，選A.點睛：利用函數零點的情況求參數值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構建不等式求解.(2)分離參數后轉化為函數的值域(最值)問題求解.(3)轉化為兩熟悉的函數圖象的上、下關系問題，從而構建不等式求解.二、填空題（每題4分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知，，則______.【答案】5【解析】14.已知二項式的展開式的二項式系數之和為32，則展開式中含項的系數是_______（用數字作答）.【答案】10【解析】試題分析：由題意可得：，所以，令，所以展開式中含項的系數是10.考點：二項式定理.15.已知是雙曲線：右支上一點，直線是雙曲線的一條漸近線，在上的射影為，是雙曲線的左焦點，則的最小值是_______.【答案】【解析】16.已知動點滿足，則的最小值是_______.【答案】【解析】因此可行域為一個三角形ABC及其內部，其中,所以點睛：線性規劃問題，首先明確可行域對應的是封閉區域還是開放區域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結合圖形確定目標函數最值取法、值域范圍.三、解答題（本大題共6題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知數列中，，其前項的和為，且滿足.（1）求證：數列是等差數列；（2）證明：當時，.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】試題分析：（1）根據數列的遞推關系進行化簡結合等差數列的定義即可證明數列是等差數列；（2）求出的通項公式，利用放縮法進行證明不等式.試題解析：（1）當時，，，從而構成以1為首項，2為公差的等差數列.6分（2）由（1）可知，，當時，從而.考點：1.裂項求和；2.放縮法；3.推理能力.【方法點睛】本題主要考查的是裂項求和，放縮法，等差數列的通項公式，考查了變形能力，推理能力與計算能力，屬于中檔題，首先根據可求出數列的通項公式，（2）問中根據（1）中條件進行裂項求和，可發現中間部分項被消掉，因此可適當利用放縮的方法對前項和進行放大或縮小，即可證明結論，因此根據數列的遞推關系結合等差數列的定義是解決問題的關鍵.18.我們國家正處于老齡化社會中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有戶籍人口400萬，其中老人（年齡60歲及以上）人數約有66萬，為了了解老人們的健康狀況，政府從老人中隨機抽取600人并委托醫療機構免費為他們進行健康評估，健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個等級，并以80歲為界限分成兩個群體進行統計，樣本分布制作成如下圖表：（1）若采用分層抽樣的方法從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進一步了解他們的生活狀況，則兩個群體中各應抽取多少人？（2）估算該市80歲及以上長者占全市戶籍人口的百分比；（3）據統計該市大約有五分之一的戶籍老人無固定收入，政府計劃為這部分老人每月發放生活補貼，標準如下：①80歲及以上長者每人每月發放生活補貼200元；②80歲以下老人每人每月發放生活補貼120元；③不能自理的老人每人每月額外發放生活補貼100元.利用樣本估計總體，試估計政府執行此計劃的年度預算.（單位：億元，結果保留兩位小數）【答案】（1）3，5（2）（3）2.22【解析】試題分析：（Ⅰ）從圖表中求出不能自理的80歲及以上長者占比，由此能求出抽取16人中不能自理的80歲及以上長者人數為．

（Ⅱ）求出在600人中80歲及以上長者在老人中占比，用樣本估計總體，能求出80歲及以上長者占戶籍人口的百分比．

（Ⅲ）用樣本估計總體，設任一戶籍老人每月享受的生活補助為X元，則Xr可能取值為0，120，200，220，300，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量X的分布列、EX，從而能估計政府執行此計劃的年度預算．試題解析：(1)數據整理如下表：從圖表中知不能自理的歲及以上長者比為：故抽取人中不能自理的歲及以上長者人數為歲以下長者人數為人(2)在人中歲及以上長者在老人中占比為：用樣本估計總體，歲及以上長者共有萬，歲及以上長者占戶籍人口的百分比為％=％，(3)用樣本估計總體，設任一戶籍老人每月享受的生活補助為元，則隨機變量的分布列為：全市老人的總預算為元，政府執行此計劃的年度預算約為億元.求解離散型隨機變量的數學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合，枚舉法，概率公式（常見的有古典概型公式、幾何概率公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積，以及對立事件的概率公式等），求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此，應熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.19.如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，為與的交點，為上任意一點.（1）證明：平面平面；（2）若平面，并且二面角的大小為，求的值.【答案】（1）見解析（2）【解析】試題分析：（1）解決立體幾何的有關問題，空間想象能力是非常重要的，但新舊知識的遷移融合也很重要，在平面幾何的基礎上，把某些空間問題轉化為平面問題來解決，有時很方便；（2）證明兩個平面垂直，首先考慮直線與平面垂直，也可以簡單記為“證面面垂直，找線面垂直”，是化歸思想的體現，這種思想方法與空間中的平行關系的證明類似，掌握化歸與轉化思想方法是解決這類題的關鍵；（3）空間向量將空間位置關系轉化為向量運算，應用的核心是要充分認識形體特征，建立恰當的坐標系，實施幾何問題代數化．同時注意兩點：一是正確寫出點、向量的坐標，準確運算；二是空間位置關系中判定定理與性質定理條件要完備．試題解析：（1）因為，，又是菱形，，故平面平面平面4分（2）連結，因為平面，所以，所以平面又是的中點，故此時為的中點，以為坐標原點，射線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系．．6分設則，向量為平面的一個法向量．8分設平面的一個法向量，則且，即，取，則，則12分解得故14分考點：1、平面與平面垂直的判定；2、平面與平面所成角余弦值的應用．20.已知拋物線：的焦點為，過的直線交拋物線于點，當直線的傾斜角是時，的中垂線交軸于點.（1）求的值；（2）以為直徑的圓交軸于點，記劣弧的長度為，當直線繞點旋轉時，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）設出直線的方程為，設，聯立直線與拋物線方程，利用韋達定理求出中點坐標，推出中垂線方程，結合的中垂線交軸于點，求出即可；（2）設方程為，代入，求出的距離以及中點為，令，求出的表達式，推出關系式，利用到軸的距離，求出，分離常數即可求得的最大值.試題解析：（1）當的傾斜角為時，的方程為設得得中點為中垂線為代入得（2）設的方程為，代入得中點為令到軸的距離當時取最小值的最大值為故的最大值為.21.已知函數.（1）討論的單調性；（2）若有兩個極值點，且，證明：.【答案】（1）見解析（2）見解析.....................試題解析：（1），所以（1）當時，，所以在上單調遞增（2）當時，令，當即時，恒成立，即恒成立所以在上單調遞增當，即時，，兩根所以，，,故當時，在上單調遞增當時，在和上單調遞增在上單調遞減.（2）由（1）知時，上單調遞增，此時無極值當時，由得，設兩根，則，其中在上遞增，在上遞減，在上遞增令，所以在上單調遞減，且故.點睛：利用導數證明不等式常見類型及解題策略(1)構造差函數.根據差函數導函數符號，確定差函數單調性，利用單調性得不等量關系，進而證明不等式.（2）根據條件，尋找目標函數.一般思路為利用條件將求和問題轉化為對應項之間大小關系，或利用放縮、等量代換將多元函數轉化為一元函數.請考生在22、23二題中任選一題作答，如果都做，則按所做的第一題記分.22.選修44：坐標系與參數方程以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，直線的參數方程為（為參數），圓的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程與圓的執直角坐標方程；（2）設曲線與直線交于兩點，若點的直角坐標為，求的值.【答案】（1），（2）【解析】試題分析：（１）根據加減消元法將直線的參數方程化為普通方程，根據將圓的極坐標方程化為直角坐標方程，（２）先化直線參數方程標準形式，代入圓的直角坐標方程，根據參數幾何意義得，再根據韋達定理求值.試題解析：解：（1）直線的普通方程為，，所以所以曲線的直角坐標方程為.（2）點在直線上，且在圓內，由已知直線的參數方程是（為參數）代入，得，設兩個實根為，則，即異號所以.點睛：直線的參數方程的標準形式的應用過點M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數方程是.(t是參數，t可正、可負、可為0)若M1，M2是l上的兩點，其對應參數分別為t1，t2，則(1)M1