專題17解三角形（解答題壓軸）目錄TOC\o"1-1"\h\u一、三角形中線問題 1二、三角形角平分線問題 3三、三角形周長（邊長）（定值） 5四、三角形周長（邊長）（最值，范圍問題） 8五、三角形面積（定值） 10六、三角形面積（最值，范圍問題） 13一、三角形中線問題1．（23-24高三上·廣東中山·階段練習）已知為的外心，，當最大時，邊上的中線長為．2．（23-24高一·全國·課后作業）已知向量，，，且A為的內角.（1）求角A的大小；（2）若中，角，，的對邊分別為，，，，，求邊BC上的中線AD的長.3．（2024高三·全國·專題練習）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若的面積為，求a的最小值；(2)若，BC邊上的中線長為，且的外接圓半徑為，求的周長．4．（2024·四川）在中，角所對的邊分別為，且滿足（1）求角;（2）若外接圓的半徑為，且邊上的中線長為，求的面積二、三角形角平分線問題1．（23-24高一下·上海·階段練習）在中，，，．點為所在平面上一點，滿足（、且）．(1)若，用，表示；(2)若點為的外心，求、的值；(3)若點在的角平分線上，當時，求的取值范圍．2．（23-24高一上·湖北咸寧·自主招生）如圖所示，在中，點在邊上，點在線段上．(1)若．①如圖1，若，，過作于點，直接寫出的值為；②如圖2，若，求的值．(2)如圖3，已知為的角平分線，，，直接寫出線段的長度．3．（23-24高一下·河南周口·期末）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(1)求C；(2)若△ABC的三條角平分線相交于點O，AB＝7，OAB的面積為，求OC．4．（23-24高一下·安徽蕪湖·期中）已知的內角的對邊為，且.(1)求；(2)若的面積為；（i）已知為的中點，求底邊上中線長的最小值；（ii）求內角的角平分線長的最大值.5．（23-24高一下·重慶·期末）在中，內角所對的邊分別為，且.(1)求；(2)若，，求邊上的角平分線長；(3)若為銳角三角形，點為的垂心，，求的取值范圍.三、三角形周長（邊長）（定值）1．（23-24高一下·河南漯河·期末）已知三角形的內角所對的邊分別為，若，且.(1)若，求；(2)點在邊上且平分，若，求三角形的周長.2．（23-24高一下·福建南平·期末）已知的三個內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若，且的面積為，求的周長．3．（23-24高二下·四川涼山·期末）在中，角的對邊分別為．(1)求；(2)若的面積邊上的中線，求的周長．4．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，角所對的邊分別為，的外接圓半徑為，且．(1)證明：；(2)若，的面積為，求的周長．5．（23-24高一下·廣東深圳·期中）已知在中，角所對的邊分別為，，，且(1)求角的大??；(2)若，的面積為，求的周長．四、三角形周長（邊長）（最值，范圍問題）1．（23-24高一下·北京大興·期末）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求；(2)若．（i）再從條件①，條件②，條件③中選擇一個條件作為已知，使其能夠確定唯一的三角形，并求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．（ii）求周長的取值范圍．2．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）如圖，已知是邊長為的正三角形，點在邊上，且，點為線段上一點.(1)若，求實數的值；(2)求的最小值；(3)求周長的取值范圍.3．（2024·云南曲靖·二模）在中，角的對邊分別為，且.(1)求角的取值范圍；(2)已知內切圓的半徑等于，求周長的取值范圍.4．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，的角平分線AD交BC于點D．(1)若，，求AD的長度；(2)若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍．5．（23-24高一下·江蘇泰州·期末）在中，角的對邊分別為，，，已知.(1)當時，求的值；(2)當時，求周長的最大值.6．（2024·湖南長沙·一模）在銳角中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知．(1)求角B的值；(2)若，求的周長的取值范圍．五、三角形面積（定值）1．（23-24高一下·山東棗莊·期末）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，為內一點.(1)證明：為等腰三角形；(2)若，，，求的最小值；(3)若，，，求的面積.2．（23-24高一下·重慶·期末）平面四邊形中，，，，．(1)求；(2)求四邊形周長的取值范圍；(3)若為邊上一點，且滿足，，求的面積．3．（23-24高一下·浙江溫州·期末）在中，，，.(1)求A；(2)D為邊的中點，E為邊上一點，交于P.（i）若E為的中點，求的余弦值；（ii）當時，求的面積.4．（23-24高三上·山東青島·期中）在，中，記角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知(1)求角B；(2)已知點D在AC邊上，且，求的面積.六、三角形面積（最值，范圍問題）1．（2024·四川達州·二模）在中，角、、所對的邊分別為、、，.(1)求；(2)若，求面積的最小值.2．（23-24高二上·云南玉溪·期中）為響應國家“鄉村振興”號召，農民老王擬將自家一塊直角三角形地按如圖規劃成3個功能區：區域為荔枝林和放養走地雞，區域規劃為“民宿”供游客住宿及餐飲，區域規劃為小型魚塘養魚供休閑垂釣．為安全起見，在魚塘周圍筑起護欄．已知，，，．(1)若，求護欄的長度（的周長）；(2)若魚塘的面積是“民宿”的面積的倍，求；(3)當為何值時，魚塘的面積最小，最小面積是多少？3．（23-24高二上·云南玉溪·期中）為響應國家“鄉村振興”號召，農民老王擬將自家一塊直角三角形地按如圖規劃成3個功能區：區域為荔枝林和放養雞地，區域規劃為“民宿”供游客住宿及餐飲，區域規劃為小型魚塘養魚供休閑垂釣．為安全起見，在魚塘周圍筑起護欄．已知m，m，，﹒(1)若m，求護欄的長度(的周長)；(2)若魚塘的面積是“民宿”的面積的倍，求AM的長；(3)魚塘的面積是否有最小值？若有，請求出其最小值；若沒有，請說明理由．4．（23-24高二上·江西景德鎮·期中）在銳角三角形ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求A的大??；（2）若，求面積的取值范圍.5．（2024高三上·全國·專題練習）中，的面積為.（1）求（2）若為的中點，分別為邊上的點（不包括端點），且，求面積的最小值.備戰2025年高考數學壓軸題訓練（新高考版）專題17解三角形（解答題壓軸）目錄TOC\o"1-1"\h\u一、三角形中線問題 1二、三角形角平分線問題 5三、三角形周長（邊長）（定值） 13四、三角形周長（邊長）（最值，范圍問題） 18五、三角形面積（定值） 29六、三角形面積（最值，范圍問題） 38一、三角形中線問題1．（23-24高三上·廣東中山·階段練習）已知O為△ABC的外心，BC=6,BO?AC=4，當【答案】15【分析】作出圖形，利用平面向量的運算得到a2?c2=8【詳解】取AC中點D，連接OD、BD，則DO⊥則BO?所以BC2?BA2=8，即a2?則cosC當且僅當b2=8，即b=22同時a2=b所以AB邊上中線長為CE=A故答案為：15.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是利用面向量的運算轉化BO?AC，得到2．（23-24高一·全國·課后作業）已知向量a=?3,sinA，b=（1）求角A的大??；（2）若ΔABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=14，b=10，求邊BC上的中線AD的長.【答案】（1）A=2π3【解析】（1）根據向量共線坐標所滿足的關系可得?3cosA=sin（2）根據A=2π3，可以求得sinA=32，根據題中所給的三角形的邊長，以及正弦定理可得sinB=b【詳解】（1）因為a//b，所以?3因為0<A<π，所以A=2π（2）因為A=2π3，所以sinA=3所以在ΔABC中，由正弦定理，可得sinB=b所以在ΔABC中，cosC在ΔABC中，由余弦定理，可得c2=b在ΔABD中，由余弦定理，得AD所以AD=19【點睛】該題考查的是有關解三角形的問題，涉及到的知識點有向量共線坐標所滿足的條件，正弦定理，同角三角函數關系式，余弦定理，屬于較難題目.3．（2024高三·全國·專題練習）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知acos(1)若△ABC的面積為，求a的最小值；(2)若A=π3，BC邊上的中線長為52，且△ABC的外接圓半徑為，求【答案】(1)1(2)3+33【分析】（1）由acosC+3asinC?b?c=0和（2）由△ABC的外接圓半徑為，結合正弦定理可得a=3.由BC的中點為E，可得c2【詳解】（1）a?a又12bcsin又A∈0,π，則A=π3又cosA=b則1=b2+c2?a2≥2bc?（2）由正弦定理得a=23設BC的中點為E，則AE=12即52由余弦定理得a2①－②得bc=8，又a2=(b+c)故△ABC的周長為．4．（2024·四川）在△ABC中，角所對的邊分別為a,b,c，且滿足cosC（1）求角B;（2）若△ABC外接圓的半徑為，且AC邊上的中線長為172，求△ABC【答案】（1）π3；（2）.【分析】（1）利用正弦定理，結合兩角和的正弦公式即可得解；（2）由正弦定理得b=3，利用D為中點，結合向量的加法法則得2BD=BA+BC【詳解】（1）由cosC=a利用正弦定理得：，即2sinBcos∵C∈0,π，∴sinC≠0，∴又∵B∈0,π，∴（2）由正弦定理得bsin設D為AC邊上的中點，則AD=3利用向量加法法則得：2兩邊平方得：4BD2由余弦定理b2=c兩式相減得8=2ac，即ac=4.由三角形面積公式得：S△【點睛】方法點睛：在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有sinx（2）若式子含有a,b,c的齊次式，優先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有cosx（4）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理使用；（5）同時出現兩個自由角（或三個自由角）時，要用到A+B+C=π.二、三角形角平分線問題1．（23-24高一下·上?！るA段練習）在△ABC中，AC=2，BC=6，∠ACB=60°．點O為△ABC所在平面上一點，滿足OC=mOA+nOB（(1)若m=n=?1，用CA，CB表示OC；(2)若點O為△ABC的外心，求m、n的值；(3)若點O在∠ACB的角平分線上，當?12≤n≤?【答案】(1)OC=?(2)m=37，(3)3【分析】（1）OC=mOA+nOB可化簡OC=m(OC+CA)+n(.（2）由點O為△ABC的外心，可得OCCA=?12CA（3）設CD為∠ACB的平分線，則|CA||CB|=|AD||BD|=26=13，利用平面向量基本定理和共線向量定理可得：【詳解】（1）因為OC=mOA+n化簡后可得(1?m?n)OC=mCA若m=n=?1，則OC=?（2）如圖，設CA,CB的中點分別為E,F，連接，則OE⊥又OCCA=CA又OC·即?12×4=整理得到m+2n=?12m?3n=3，解得m=（3）如圖，CD為∠ACB的平分線，則|CA||CB|所以CD=設CO=λ故λ(3因為CA,CB不共線，故mm+n?1因為?12≤n≤?14又CO2所以|CO|=3故OC的取值范圍為[3【點睛】本題考查平面向量基本定理、向量的數量積，解題時注意根據外心、角平分線等幾何性質實現向量計算時的轉化，本題屬于難題.2．（23-24高一上·湖北咸寧·自主招生）如圖所示，在△ABC中，點D在BC邊上，點E在線段AD上．(1)若∠BED=①如圖1，若α=90°，AB=AC，過C作于點F，直接寫出BECF的值為②如圖2，若，求的值．(2)如圖3，已知AD為△ABC的角平分線，AE=DE=2，AC=5,tan∠BED=2【答案】(1)2；13?1(2)EB=4【分析】（1）根據等腰直角三角形的性質及全等三角形的判定計算即可；構造平行，根據相似三角形的判定與性質計算即可；（2）構造平行線利用等腰三角形的判定與性質結合已知推出AG，根據勾股定理計算FG、CG，再由平行線分線段成比例即可即可.【詳解】（1）①若α=90°，AB=AC，則因為，所以∠ABE=90所以△BAE?△ACF，即BE=AF,AE=CF，易知△EFC為等腰直角三角形，則CF=EF=AE=1②如圖所示，過C作CF//BE交AD于F點，取G點滿足CF=CG，根據題意有∠ABE=所以∠AEB=則△AEB～△CGA，所以CGAE又CF//BE，所以有△DEB～△DFC，即BECF設CF=x,AE=y，則BE=3x,CG=x=EG,故yx=3x又yx>0，所以故AE（2）

如圖過C作CF//AD交BA延長線于F，延長交FC于G，連接AG，則∠BAD=又AD平分∠BAC，則∠BAD=所以AF=AC=5，又AE=ED，所以CG=FG，所以AG⊥因為tan∠所以tan∠GF=A因為DE//CG，所以BEBG【點睛】思路點睛：解三角形線段比值問題，通常需要構造相似三角形來轉化線段關系，本題第一問第二小問通過構造平行線借助“X”型相似及構造倍角關系求線段比值；第二問通過構造平行線借助平行線分線段成比例及勾股定理計算線段長度.3．（23-24高一下·河南周口·期末）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a(1)求C；(2)若△ABC的三條角平分線相交于點O，AB＝7，OAB的面積為1534，求【答案】(1)(2)OC=【分析】（1）由正余弦定理及兩角和的正弦公式化簡可得，據此求解；（2）由三角形面積公式及余弦定理求出，再由定理及正弦定理求解即可.【詳解】（1）由a2+b有acos又由正弦定理，有sinA有sinA+BsinC=3又由C∈0,π，可得（2）由，有∠OAB+∠可得∠AOB=π?在△OAB中，由△OAB的面積為1534，有可得AO×OB=15，又由余弦定理及AB＝7，有AO有AO+BO2代入AO×OB=15，有AO＋BO＝8，聯立AO+BO=8,AO×OB=15,解得AO=3,BO=5,由對稱性不妨設AO=3,在△OAB中，有cos∠OAB=3又由OA為角A的角平分線，有sin∠在△OAC中，由正弦定理有OAsin∠ACO可得OC=154．（23-24高一下·安徽蕪湖·期中）已知△ABC的內角的對邊為a,b,c，且3sinA(1)求sinA(2)若△ABC的面積為43（i）已知E為BC的中點，求△ABC底邊BC上中線AE長的最小值；（ii）求內角A的角平分線AD長的最大值.【答案】(1)2(2)（i）263【分析】（1）由正弦定理將角的關系轉化為邊的關系，再用余弦定理求出cosA，進而求出sin（2）由三角形的面積公式12bcsinA=43（3）由于S△ADB+S△ADC=S△ABC，可得AD【詳解】（1）由正弦定理，得3a?bc=故cosA=c2+所以sinA（2）（i）由（1）知sinA=223由三角形的面積公式得：12bcsin由于E為BC的中點，則AE=AE由基本不等式可得：14c2所以AE2≥83?（ii）因為AD為角A的角平分線，所以sin∠由于S△所以12由于sinA2≠0由于cosA又bc=4，所以ADc+b由于b+c≥2bc=4（當且僅當故86故AD≤263，即角平分線5．（23-24高一下·重慶·期末）在△ABC中，內角所對的邊分別為a,b,c，且sin2A(1)求C；(2)若c=3，a+b=6，求邊AB上的角平分線(3)若△ABC為銳角三角形，點F為△ABC的垂心，CF=6，求3CF?AF【答案】(1)π(2)2(3)1【分析】（1）先根據平方關系及正弦定理化角為邊，再利用余弦定理即可得解；（2）利用余弦定理求出ab，再由等面積法計算可得；（3）延長交BC于M，延長交AC于E，設∠BCF=θ，θ∈0,π3，分別求出、，再根據三角恒等變換化一，結合正切函數的性質即可得解.【詳解】（1）因為sin所以sin由正弦定理得a2則cosC因為C∈0,π，所以（2）因為c=3，a+b=6，即32=6設邊AB上的角平分線CD長為x，則S△ABC=1即32=62x，解得x=22（3）延長交BC于M，延長交AC于E，設∠BCF=θ，θ∈0,π3在Rt△CMF中在△CEB中∠ECB=π3，∠BEC=π在Rt△BMF中BF=MF所以3=，因為θ∈0,π3，所以θ2∈即3CF?AFBF的取值范圍為【點睛】方法點睛：解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理實現“邊化角”；（2）利用余弦定理實現“角化邊”.求三角形有關代數式的取值范圍也是一種常見的類型，主要方法有兩類：（1）找到邊與邊之間的關系，利用基本不等式來求解；（2）利用正弦定理，轉化為關于某個角的三角函數，利用函數思想求解.三、三角形周長（邊長）（定值）1．（23-24高一下·河南漯河·期末）已知三角形ABC的內角所對的邊分別為a,b,c，若sinA+CsinA+(1)若B=π6，求(2)點D在邊BC上且AD平分∠BAC，若AD=3，求三角形ABC【答案】(1)(2)6【分析】（1）利用正、余弦定理進行邊角轉化，即可求B，進而可得結果；（2）利用面積關系可得bc=b+c，結合b2【詳解】（1）由正弦定理可知asin則sinA+C可得bb?c=a+c由余弦定理知cosA且A∈0,π，可得A=由B=π6知可知△ABC為直角三角形，所以c=a（2）點D在邊BC上且AD平分∠BAC，可知S△則12即12bcsin6又因為b2+c2?a①代入②得到(b+c)2?3b+c?4=0所以△ABC的周長為a+b+c=2+4=6.2．（23-24高一下·福建南平·期末）已知△ABC的三個內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，且acos(1)求A；(2)若a=3，且△ABC的面積為3164【答案】(1)A=(2)3+【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結合三角公式即可求解；（2）根據三角形的面積公式可得4b【詳解】（1）由正弦定理可得sinA所以sinA即sinB因為0<B<π，所以sin所以3sinA?cosA又由0<A<π，可得?故A?π6=（2）由已知可得，S=1可得4b2?4bc+c2又由余弦定理可得a2=3聯立解得b=1,c=2，所以△ABC的周長為3．（23-24高二下·四川涼山·期末）在△ABC中，角的對邊分別為．(1)求C；(2)若△ABC的面積邊上的中線CD=7，求△ABC【答案】(1)(2)6+2【分析】（1）根據題意利用正弦定理可得sinB（2）利用面積公式可得ab=8，根據中線性質結合數量積可得a2【詳解】（1）因為，整理可得bcosC由正弦定理可得sinB又因為sinB即sinA=2sinAcosC，且即cosC=12，且（2）因為△ABC的面積S=12ab又因為CD為AB邊上的中線，則2AD可得4CD則28=a2+可得a+b2=a由余弦定理可得：c2=a所以△ABC的周長為a+b+c=6+234．（23-24高一下·四川成都·期末）在△ABC中，角所對的邊分別為a,b,c，△ABC的外接圓半徑為，且abc?2cb(1)證明：A?B=π(2)若B=π6，△ABC的面積為2+3【答案】(1)證明見解析(2)2+2【分析】（1）由余弦定理、正弦定理、兩角差的正弦展開式得sinA?（2）令a=6+2k,b=2k，再利用【詳解】（1）由abc?2可得abc?2cb又由正弦定理asinA=即sinA?cos可得A?π4=B或A?π4所以A?B=π（2）因為B=π6，所以A=5π12，C=π?A?B=5πsin=2所以ab令a=6+2S=2+解得k=1，因此△ABCa+b+c=(65．（23-24高一下·廣東深圳·期中）已知在△ABC中，角所對的邊分別為a，b，c，且c?acos(1)求角A的大?。?2)若a=23，△ABC的面積為，求△ABC【答案】(1)π(2)2【分析】（1）根據題意，利用正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡得cosAsinB=3（2）由（1）和余弦定理，得到b+c2?3bc=12，再由△ABC的面積為，求得bc=4，得到b+c=26，進而求得【詳解】（1）解：因為c?acosB=又因為C=π?(A+B)，可得，所以cosA因為B∈(0,π)，可得sinB>0，所以cosA又因為A∈(0,π)，所以A=π（2）解：由（1）知A=π3，且根據余弦定理得a2=b又因為△ABC的面積為，可得S△ABC=12所以b+c2=24，可得b+c=26，所以△ABC四、三角形周長（邊長）（最值，范圍問題）1．（23-24高一下·北京大興·期末）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求∠B(2)若b=3（i）再從條件①，條件②，條件③中選擇一個條件作為已知，使其能夠確定唯一的三角形，并求△ABC條件①：a=6；條件②：a=2c；條件③：sin（ii）求△ABC【答案】(1)π(2)答案見解析【分析】（1）利用正弦定理邊化角化簡得tanB（2）（i）選擇條件①利用正弦定理計算判斷三角形不唯一；，選擇條件②，利用余弦定理及三角形面積公式計算求解；選擇條件③，利用正弦定理計算判斷，再求出三角形面積；（ii）利用余弦定理及基本不等式計算即可.【詳解】（1）由可得,因為在△ABC中，所以sinB=即tanB=3，因為B∈（2）（i）若選條件①a=6，結合（1）∠B=π3由正弦定理asinA=則滿足條件的三角形不存在，故不能選條件①，若選條件②：a=2c，結合（1）∠B=π3及由余弦定理b2=a2+易知a=2c=2，故此時滿足條件的三角形唯一.所以.若選條件③：sinC=13，結合（1）因為sinC=1由,可得cosC=因為在△ABC中A+B=π?C所以sinA易知滿足條件的三角形唯一.由正弦定理asinA=所以S△（ii）由余弦定理b2可得3=a結合基本不等式ac≤a+c22解得：a+c≤23,當且僅當a=c=又在△ABC中易得a+c>b=3所以△ABC周長C△△ABC周長的取值范圍為23【點睛】方法點睛：在求解對邊對角模型問題中的周長或面積范圍時常見有2種方法：（1）借助余弦定理、基本不等式及三角形的性質，進行適當放縮；（2）利用正弦定理邊化角，轉化為三角函數求值域問題.2．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）如圖，已知△ABC是邊長為2的正三角形，點P在邊BC上，且3BP=BC，點Q(1)若AQ=λAB+(2)求QA?(3)求△QPC【答案】(1)3(2)?(3)8【分析】（1）結合圖形，利用平面向量基本定理，以及向量的線性運算，即可求解；（2）首先用基底向量AB,AC表示向量和QC（3）首先在△QPC中，設∠PCQ=α，∠PQC=β，∠QPC=θ，再根據正弦定理，利用三角函數表示△QPC【詳解】（1）由題意BP=13BC，即AP?AB=設AQ=m又∵BC=AC即23mAB所以23m=λ?1131（2）因為AB?由（1）知AP=23QC=所以QA=?=?2設fm當m=37時，所以QA?QC的最小值為（3）在△ABP中，AP2=4+在△QPC中，設∠PCQ=α，∠PQC=β，∠QPC=θ在△ABP中，ABsin(π?θ)=APsinπ在△QPC中，PQsinα=∴PQ=所以△QPC?的周長l=PQ+CQ+PC=4∵sinα=令f(β)=cosf(β)=cosβ+1在中，，AC=2，，∠ACB=π3，∴APsin∠ACB=又∵sintan∠CAP=32，設即3x2+4x?3=0，x>0tanθ=33，設tan即33t2+2t?33=0，?2+7?1+27所以?1+27因此△QPC?的周長的取值范圍是83【點睛】關鍵點點睛：本題考查平面向量的表示即運算，以及三角函數的性質和解三角形的綜合應用問題，第三問是本題的難點，關鍵是將周長表示為關于β的三角函數.3．（2024·云南曲靖·二模）在△ABC中，角的對邊分別為a,b,c，且acosC(1)求角B的取值范圍；(2)已知△ABC內切圓的半徑等于32，求△【答案】(1)0,(2)答案見解析【分析】（1）由正弦定理可得sinAcosC+3（2）由三角形的面積可求得a=?b?c+bc，結合余弦定理可得(bc)2?2bc(b+c)+(b+c)2△ABC的周長L=a+b+c=b2+c2?2bccosA+b+c【詳解】（1）∵由正弦定理得：sinA∴sinAcos∴3∵sin∵?π6<A?π6∴角B的取值范圍是0,2π（2）∵S=∴a+b+c=bc，即a=?b?c+bc，由余弦定理得：a2∴(bc∴bc=2b+c?3.∵bc≤b+c22∴2(b+c)?3≤(b+c)24,設△ABC與圓內切于點D,E,F，則AD=AF=rtan∴b+c=AC+AB>AD+AF=3∴b+c≥6（當且僅當b=c=3時取等號）.△ABC的周長L=a+b+c=b==32(b+c)≥9∴L∵c=AB>DB=∴B→0時，c→+∞，L→+∞,∴△ABC的周長的取值范圍是.4．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c=2，∠BAC的角平分線AD交BC于點D(1)若b=1，，求AD的長度；(2)若△ABC為銳角三角形，且，求△ABC周長的取值范圍．【答案】(1)AD=(2)(2+2【分析】（1）方法一：由關系S△方法二：由角平分線性質和三角形面積公式證明ABAC=BDCD，再由向量線性運算可得（2）由正弦定理化邊為角，結合三角恒等變換化簡求C，結合正弦定理利用角A表示a+b，結合正弦型函數的性質求a+b的范圍，由此可得結論.【詳解】（1）方法一：因為AD為∠BAC的角平分線，∠BAC=6所以∠BAD=因為S所以12×2×1×所以AD=23法二：設三角形△ABC的邊BC上的高為，因為AD為∠BAC所以S△所以BD=2DC，所以所以AD=1因為b=1，c=2，所以AD2所以AD=2（2）在△ABC中，由正弦定理得，2a所以2sinA又sin(C+B)=sin又sin所以cosC=12，又C在△ABC中，由正弦定理得，，所以

因為△ABC是銳角三角形，所以，于是π6<A<所以A+π所以sin(A+π6所以三角形△ABC周長的取值范圍為2+235．（23-24高一下·江蘇泰州·期末）在△ABC中，角的對邊分別為a，b，c，已知1+cosA(1)當C=π2時，求(2)當a=1時，求△ABC【答案】(1)tan(2)5【分析】（1）根據題意借助于倍角公式整理得，再結合兩角和差公式運算求解；（2）以內切圓為基礎，設，進而可得AD=OBsinθ+cos【詳解】（1）因為1+cosAsin可得，又因為C=π2，則所以1tan解得tanA（2）設△ABC的內切圓的圓心為O，圓O與邊AB切于點D，連接OA,OB,OD，設△ABC周長為l，∠OBD=θ可得OD=OBsin由（1）可知：，即1ODAD整理得AD=BD+OD=OBsin可得AB=AD+BD=OBsin根據等面積法可得12即12整理得l=sin其中tanφ當2θ+φ=π2，即tan2θ=tan所以△ABC周長的最大值為5+2

【點睛】關鍵點睛：本題注意到，故借助于內切球的性質建立邊角關系，進而運算求解.6．（2024·湖南長沙·一模）在銳角△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知sinA(1)求角B的值；(2)若a=2，求△ABC【答案】(1)π(2)3+【分析】（1）根據正弦定理得到a2+c（2）根據正弦定理得到b=1sinA,c=3sinA+cos【詳解】（1）sinA?sin即a2由余弦定理得：cosB因為B∈所以B=π（2）銳角△ABC中，a=2，B=π由正弦定理得：2sin故b=1則b+c==3因為銳角△ABC中，B=π則A∈0,π2解得：A∈故tanA∈3則1tan故b+c∈1+3所以三角形周長的取值范圍是3+3【點睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關的范圍問題，與面積有關的范圍問題，或與角度有關的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結合基本不等式構造不等關系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實現邊化角，進而轉化為正弦或余弦函數求出最值五、三角形面積（定值）1．（23-24高一下·山東棗莊·期末）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bcosC=ccosB(1)證明：△ABC(2)若A=60°，a=1，∠BPC=150°，求PA的最小值；(3)若cos∠BAC=35，∠PAB=∠PBC=∠PCA，【答案】(1)證明見解析(2)3(3)4【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角差的正弦公式計算可得；（2）設，0<α<π6，在△PBC中利用正弦定理表示出PC，再在中利用余弦定理表示出，利用三角恒等變換公式化為α的三角函數，結合正弦函數的性質計算可得；（3）設∠BAC=θ，即可求出，sinθ，由余弦定理得到BC=2ABsinθ2，再由三角形相似得到PB=2PA【詳解】（1）因為bcos由正弦定理可得sinBcosC又B,C∈0,π，所以B?C∈?π,π，所以B?C=0，即B=C，則所以△ABC（2）依題意可得△ABC是邊長為1的等邊三角形，在△PBC中，設，0<α<π由正弦定理PCsin∠PBC在中∠PCA=π由余弦定理P==4=6=31?因為0<α<π6，所以π3<2α+π3<此時PA2min（3）設∠BAC=θ，則cosθ=1?2sin所以sinθ2=在△ABC中，由余弦定理及AB=AC可得B=2AB所以BC=2ABsin由∠ABC=∠ACB=π?θ2=所以∠PBA=∠PCB，又∠PAB=所以△PAB所以PAPB所以PB=2PAsinθ2而∠BPC=π?∠PBC?∠PCB=π?∠所以S=4PA【點睛】關鍵點點睛：本題第二問解答的關鍵是轉化為α的三角函數，第三問關鍵是利用整體思想轉化為θ2、θ2．（23-24高一下·重慶·期末）平面四邊形ABCD中，AB=1，AD=2，∠ABC+∠ADC=π，∠BCD=(1)求BD；(2)求四邊形ABCD周長的取值范圍；(3)若E為邊BD上一點，且滿足CE=BE，S△BCE=2S【答案】(1)7(2)3+(3)7【分析】（1）首先求出∠BAD（2）在△BCD中利用余弦定理及基本不等式求出CB?CD的取值范圍，即可求出CB+CD的范圍，即可求出四邊形ABCD周長的取值范圍；（3）依題意可得BE=2ED，即可求出、CE、ED，再由余弦定理求出CB=2CD，最后由面積公式計算可得.【詳解】（1）因為∠ABC+∠ADC=π，∠BCD=π3，所以在△BCD中由余弦定理BD==1（2）在△BCD中BD即7=CB所以CB2+CD2又CB+CD2則7<7+3CB?CD≤28，即7<CB+CD2≤28所以CABCD即四邊形ABCD周長的取值范圍為3+7（3）因為S△BCE=2S△CDE，所以所以BE=23BC=273，在△BCE中由余弦定理CB即C在△DCE中由余弦定理CD即CD又∠CEB+∠CED=π，所以cos∠所以CB又7=CB2+C即CB2=2CB?CD所以CD2=所以S△.【點睛】關鍵點點睛：本題第3小問的解決關鍵是利用余弦定理得到CB3．（23-24高一下·浙江溫州·期末）在△ABC中，AB=4，AC=2，sin2(1)求A；(2)D為邊AC的中點，E為邊BC上一點，AE交BD于P.（i）若E為BC的中點，求∠DPE（ii）當AE⊥BD時，求△PBC【答案】(1)A=(2)（i）?27【分析】（1）由正弦定理角化邊，在結合余弦定理即可求解；（2）（i）分解向量得AE=12AB+12AC，BD=?AB+【詳解】（1）因為sin2A?sin2所以cosA因為A∈所以A=2π（2）（i）若E為BC的中點，D為邊AC的中點，則AE=12從而AE=BD=AE=?1所以cos∠所以∠DPE的余弦值為?2（ii）由（2）（i）可知，BD=?因為B,C,E三點共線，所以可設AE=λ當AE⊥BD時，AE=?λ=?16λ?6λ+4+2?2λ=?24λ+6=0，所以λ=1所以AE=因為B,P,D三點共線，所以設AP=μ因為與AP是共線向量，且AC與AB不共線，所以3μ=1?μ2，解得所以AP=17所以點P到BC的距離與點A到BC的距離之比為3sin所以△PBC的面積為S【點睛】關鍵點點睛：第二問（ii）的關鍵是得出PEAE4．（23-24高三上·山東青島·期中）在△ABC，中，記角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos(1)求角B；(2)已知點D在AC邊上，且AD=2DC,AB=6,BD=27，求△【答案】(1)π(2)9【分析】（1）由正弦定理可得sinBcosC+3（2）在△ABC中由余弦定理建立等式，再利用cos∠ADB+cos【詳解】（1）因為cosC由正弦定理可得sinB因為A=π?B?C，所以sinA所以3sin因為0<C<π，則sinC>0，所以3sinB=又0<B<π，所以B?π6=（2）由題意設CD=x，AD=2x，BC=y，由（1）得B=π在△ABC中由余弦定理可得，cosB因為∠ADB+∠BDC=π，所以cos∠即27聯立①②，解得x=2y=6則AC=3x=6，BC=6，△ABC所以S△ABC=12AB?BC.5．（2024·吉林·模擬預測）△ABC的內角的對邊分別是a,b,c，且sinA?(1)求角B的大小；(2)若b=3，D為AC邊上一點，，且BD為∠B的平分線，求△ABC的面積．【答案】(1)B=π(2)33【分析】（1）先利用正弦定理，角化邊，再利用余弦定理求角B即可；（2）利用等面積法S△ABC=S△ABD+【詳解】（1）因為sinA?sin化簡得b2所以由余弦定理得cosB=a所以B=π（2）如圖所示因為S△ABC=S化簡得BA+BC=3又由余弦定理得AC2=B①②聯立解得BA×BC=?2（舍去）或6，所以S△6．（23-24高一下·甘肅定西·階段練習）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c．且2sin(1)求角B的大??；(2)求sinA(3)若C=π2，BC=2，O為BC中點，P為線段AO上一點，且滿足BP?CP=0．求AP【答案】(1)B=(2)sin(3)AP=13?1，△BPC的面積S【分析】（1）根據正弦定理與余弦定理求解即可；（2）根據（1）可得A+C=2π3，得到（3）先根據直角三角形中的關系求解得AP=13?1，再設∠OCP=α，推導可得S=sin【詳解】（1）由正弦定理及2sinA?即2ac?1=2a2又B∈0,π，故B=（2）由（1）知，A+C=2π故sin=3又0<A<2π3，則π6故sinA（3）∵BP?CP=0，∴PB⊥PC，∵BC=2，O為BC中點，∵a=2，∴AC=23，AB=4，∴AO=23設∠OCP=α，則∠COP=π?2α∴sinα=PB∴S=1在直角△ACO中，sin∠∴當AP=13?1時，△BPC的面積S為六、三角形面積（最值，范圍問題）1．（2024·四川達州·二模）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，bcos(1)求tanB(2)若bc=3，求△ABC面積S的最小值.【答案】(1)1(2)2【分析】（1）利用正弦定理結合兩角和的余弦公式化簡可得出2sinBsin（2）分析可知B、C均為銳角，利用兩角和的正切公式結合基本不等式可得出tanA≤?2，求出sin【詳解】（1）解：∵b∴b由正弦定理得sinB∴sin因為0<A<π，則sinA∵A+B+C=π，sinB+C則cosA所以，cosA=cos所以，2sin∴2sinBsin（2）解：由（1）得tanB若tanB<0tanC<0，則B所以，tanB>0，tanC>0，此時∴tan當且僅當tanB=tan∵tanA≤?22，則由，解得sinπ?A≥22當且僅當tanB∵bc=3，∴S=因此，△ABC面積的最小值為2.2．（23-24高二上·云南玉溪·期中）為響應國家“鄉村振興”號召，農民老王擬將自家一塊直角三角形地按如圖規劃成3個功能區：△BNC區域為荔枝林和放養