泰安市2024年年初中學業水平考試數學試題一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確選項選出來，每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個，均記零分）1.的相反數是（）A. B. C. D.2.下列運算正確的是（）A. B.C. D.3.下面圖形中，中心對稱圖形的個數有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個4.據泰山景區2024年1月4日消息，2023年泰山景區累計接待進山游客超860萬人次，同比增長301.36%，刷新了歷年游客量最高記錄，數據860萬用科學記數法表示為（）A. B. C. D.5.如圖，直線，等邊三角形的兩個頂點B，C分別落在直線l，m上，若，則的度數是（）A. B. C. D.6.如圖，是直徑，，是上兩點，平分，若，則的度數為（）A. B. C. D.7.關于的一元二次方程有實數根，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.8.我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題，其內容如下：九百九十九文錢，甜果苦果買一千，…，…，試問甜苦果幾個，又問各該幾個錢？若設買甜果x個，買苦果y個，列出符合題意的二元一次方程組：．根據已有信息，題中用“…，…”表示的缺失的條件應為（）A.甜果九個十一文，苦果七個四文錢 B.甜果七個四文錢，苦果九個十一文C.甜果十一個九文，苦果四個七文錢 D.甜果四個七文錢，苦果十一個九文9.如圖，中，，分別以頂點A，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點和點，作直線分別與，交于點和點；以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點和點，再分別以點，點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線，若射線恰好經過點，則下列四個結論：①；②垂直平分線段；③；④．其中，正確結論的個數有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個10.兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓的一個直徑端點與半圓的圓心重合，若半圓的半徑為2，則陰影部分的面積是（）A. B. C. D.11.如圖所示是二次函數的部分圖象，該函數圖象的對稱軸是直線，圖象與軸交點的縱坐標是2，則下列結論：①；②方程一定有一個根在和之間；③方程一定有兩個不相等的實數根；④．其中，正確結論的個數有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個12.如圖，菱形中，，點是邊上的點，，，點是上的一點，是以點為直角頂點，為角的直角三角形，連結．當點在直線上運動時，線段的最小值是（）A.2 B. C. D.4二、填空題（本大題共6小題，滿分24分．只要求填寫最后結果，每小題填對得4分）13.單項式的次數是________．14.某學校在4月23日世界讀書日舉行“書香校園，全員閱讀”活動．小明和小穎去學校圖書室借閱書籍，小明準備從《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》中隨機選擇一本，小潁準備從《西游記》、《駱駝祥子》、《朝花夕拾》中隨機選擇一本，小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率是__________．15.在綜合實踐課上，數學興趣小組用所學數學知識測量大汶河某河段的寬度，他們在河岸一側的瞭望臺上放飛一只無人機，如圖，無人機在河上方距水面高60米的點處測得瞭望臺正對岸A處的俯角為，測得瞭望臺頂端處的俯角為，已知瞭望臺高12米（圖中點，，，在同一平面內），那么大汶河此河段的寬為__________米．（參考數據：，，，）16.如圖，小明的父親想用長為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個矩形的菜園，已知房屋外墻長40米，則可圍成的菜園的最大面積是__________平方米．17.如圖，是的直徑，是的切線，點為上任意一點，點為的中點，連接交于點，延長與相交于點，若，，則的長為__________．18.如圖所示，是用圖形“○”和“●”按一定規律擺成的“小屋子”．按照此規律繼續擺下去，第__________個“小屋子”中圖形“○”個數是圖形“●”個數的3倍．三、解答題（本大題共7小題，滿分8分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）19.（1）計算：；（2）化簡：．20.某超市打算購進一批蘋果，現從甲、乙兩個供應商供應的蘋果中各隨機抽取10個，測得它們的直徑（單位：mm），并制作統計圖如下：根據以上信息，解答下列問題：（1）統計量供應商平均數中位數眾數甲8080乙76則__________，__________，__________．（2）蘋果直徑的方差越小，蘋果的大小越整齊，據此判斷，__________供應商供應的蘋果大小更為整齊．（填“甲”或“乙”）（3）超市規定直徑（含）以上的蘋果為大果，超市打算購進甲供應商的蘋果2000個，其中，大果約有多少個？21.直線與反比例函數的圖象相交于點，，與軸交于點．（1）求直線的表達式；（2）若，請直接寫出滿足條件的的取值范圍；（3）過點作軸的平行線交反比例函數的圖象于點，求的面積．22.隨著快遞行業的快速發展，全國各地的農產品有了更廣闊的銷售空間，某農產品加工企業有甲、乙兩個組共名工人．甲組每天加工件農產品，乙組每天加工件農產品，已知乙組每人每天平均加工的農產品數量是甲組每人每天平均加工農產品數量的倍，求甲、乙兩組各有多少名工人？23.綜合與實踐為了研究折紙過程蘊含的數學知識，某校九年級數學興趣小組的同學進行了數學折紙探究活動．【探究發現】（1）同學們對一張矩形紙片進行折疊，如圖1，把矩形紙片翻折，使矩形頂點的對應點恰好落在矩形的一邊上，折痕為，將紙片展平，連結，與相交于點．同學們發現圖形中四條線段成比例，即，請你判斷同學們的發現是否正確，并說明理由．【拓展延伸】（2）同學們對老師給出的一張平行四邊形紙片進行研究，如圖2，是平行四邊形紙片的一條對角線，同學們將該平行四邊形紙片翻折，使點的對應點，點的對應點都落在對角線上，折痕分別是和，將紙片展平，連結，，，同學們探究后發現，若，那么點恰好是對角線的一個“黃金分劇點”，即．請你判斷同學們的發現是否正確，并說明理由．24.如圖1，在等腰中，，，點，分別在，上，，連接，，取中點，連接．（1）求證：，；（2）將繞點順時針旋轉到圖2的位置．①請直接寫出與的位置關系：___________________；②求證：．25.如圖，拋物線的圖象經過點，與軸交于點A，點．（1）求拋物線的表達式；（2）將拋物線向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線，求拋物線的表達式，并判斷點是否在拋物線上；（3）在軸上方的拋物線上，是否存在點，使是等腰直角三角形．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確選項選出來，每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個，均記零分）1.【答案】D【解析】解：的相反數是．故選：D．2.【答案】D【解析】解：A、與不是同類項，不能合并同類項，故不符合題意；B、，故不符合題意；C、，故不符合題意；D、，故符合題意；故選：D．3.【答案】C【解析】解：第一個是中心對稱圖形，符合題意；第二個是是中心對稱圖形，符合題意；第三個是是中心對稱圖形，符合題意；第四個不是中心對稱圖形，不符合題意；所以符合題意的有3個．故選：C．4.【答案】D【解析】解：860萬．故選：D．5.【答案】B【解析】解：∵，∴，即，∵是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，故選：B．6.【答案】A【解析】解：∵平分，∴，∵是的直徑，，∴，，則，∴，故選：A．7.【答案】B【解析】解：∵關于的一元二次方程有實數根，∴，解得．故選B．8.【答案】A【解析】解：根據，可得甜果九個十一文，苦果七個四文錢，故選A9.【答案】D【解析】解：由作圖可知垂直平分線段，∴，∴，由作圖可知平分，∴，∵，∴，故①正確，∴，∵，∴，∴垂直平分線段，故②正確，∵，∴，故③正確，∴，∵，∴，∴，故④正確．故選：D．10.【答案】A【解析】解：如圖：連接，作于點B，∵，∴三角形是等邊三角形，∴，∴∴,∴．故選：A．11.【答案】B【解析】解：∵拋物線的對稱軸為直線，∴，∴,∴，故①正確；∵拋物線的對稱軸為直線，與x軸的一個交點在2、3之間，∴與x軸的另一個交點在、0之間，∴方程一定有一個根在和0之間，故②錯誤；∵拋物線與直線有兩個交點，∴方程一定有兩個不相等的實數根，故③正確；∵拋物線與x軸的另一個交點在，0之間，∴，∵圖象與y軸交點的縱坐標是2，∴，∴，∴．故④錯誤．綜上，①③正確，共2個．故選：B．12.【答案】C【解析】解：如圖，過E作于點M，作于點H，作于點I，∵，∴點E、M、F、G四點共圓，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴最小值是．故選：C．二、填空題（本大題共6小題，滿分24分．只要求填寫最后結果，每小題填對得4分）13.【答案】【解析】解：單項式中，的指數是，的指數是，∴此單項式的次數為：．故答案為：．14.【答案】【解析】解：將《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》、《朝花夕拾》分別記為A，B，C，D，列表如下：

ABDA（A，A）（A，B）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）共有9種等可能的結果，其中小明和小穎恰好選中書名相同的書的結果有2種，∴小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率為．故答案為：．15.【答案】74【解析】解：由題知,∴,在，∴,∴,在中，,∴,∴．故答案為：74．16.【答案】450【解析】解：由題意，設垂直于墻的邊長為x米，則平行于墻的邊長為米，又墻長為40米，∴．∴．菜園的面積，∴當時，可圍成的菜園的最大面積是450，即垂直于墻的邊長為15米時，可圍成的菜園的最大面積是450平方米．故答案為：450．17.【答案】【解析】解：∵是的直徑，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵點為的中點，∴，∴，∵，∴，即，∴．故答案為：．18.【答案】12【解析】解：由所給圖形可知，第1個“小屋子”中圖形“〇”的個數為：，“●”的個數為：；第2個“小屋子”中圖形“〇”的個數為：，“●”的個數為：；第3個“小屋子”中圖形“〇”的個數為：，“●”的個數為：；第4個“小屋子”中圖形“〇”的個數為：，“●”的個數為：；…，所以第n個“小屋子”中圖形“〇”的個數為：，“●”的個數為：；由題知，解得，又n為正整數，則，即第12個“小屋子”中圖形“〇”個數是圖形“●”個數的3倍．故答案為：12．三、解答題（本大題共7小題，滿分8分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）19.【答案】（1）7；（2）【解析】解：（1）；；（2）．20.【答案】（1）80，，（2）甲（3）600【解析】【小問1詳解】解：由題意得：；把乙的10個蘋果的直徑從小到大排列，排在中間的兩個數分別是79，80，故中位數；甲10個蘋果的直徑中，83出現的次數最多，故眾數．故答案為：80，，．【小問2詳解】解：甲的方差為：；乙的方差為：，因為，所以甲供應商供應的蘋果大小更為整齊．故答案為：甲．【小問3詳解】解：（個）．答：大果約有600個．21.【答案】（1）（2）或（3）【解析】【小問1詳解】解：分別將點、點代入中，可得：，，解得：，，點坐標為，點坐標為，把A點坐標，點坐標分別代入,可得，解得：，一次函數表達式為．【小問2詳解】解：∵直線與反比例函數的圖象相交于點，∴由圖象可知，當時，或．【小問3詳解】解：把時代入中，得，點坐標為，即，．22.【答案】甲組有名工人，乙組有名工人【解析】解：設甲組有名工人，則乙組有名工人．根據題意得：，解答：，經檢驗，是所列方程的解，且符合題意，．答：甲組有名工人，乙組有名工人．23.【答案】（1）正確，理由見解析；（2）正確，理由見解析【解析】解：（1）正確，理由如下，作于點，，，，，，，又，．∴．是矩形，，四邊形是矩形．，．（2）同學們的發現說法正確，理由如下，，，，由折疊知，，，，由平行四邊形及折疊知，，，，即點為的一個黃金分割點．24.【答案】（1）見解析（2）①；②見解析【解析】【小問1詳解】證明：在和中，，，，，，．是斜邊的中點，，，，．，，．；【小問2詳解】解：①；理由如下：延長到點，使，連結，延長到，使，連接并延長交于點．證明（具體證法過程跟②一樣）．，是中點，是中點，是中位線，，，，，，．故答案為：；②證明：延長到點，使，連接．，，，，，，，，，，．，．在和中，，，，，，，．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質、直角三角形斜邊中線性質、等腰三角形的判定與性質、三角形的中位線性質、平行線的判定與性質等知識，涉及知識點較多，綜合性強，熟練掌握相關知識的聯系與運用，靈活添加輔助線構造全等三角形是解答的