臺州市2023學年第二學期高一年級期末質量評估試卷數學2024.6命題：葉挺（三門縣教師發展中心）王莎莎（臺州一中）審題：范偉峰（天臺中學）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數，則的實部為（）A.2 B.1 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】利用復數實部的定義可求解.【詳解】復數的實部為.故選：B.2.已知，若，則（）A.6 B.4 C.2 D.6【答案】A【解析】【分析】根據條件，利用向量共線的坐標運算即可求解.【詳解】因為，，所以，解得故選：A.3.用斜二測畫法畫水平放置的邊長為1的正方形，所得直觀圖的周長為（）A.4 B.3 C. D.2【答案】B【解析】【分析】畫出直觀圖，結合斜二測畫法線段關系得到直觀圖中相關的線段長度，即可得解.【詳解】如圖平面正方形邊長為，則直觀圖如下所示：則，，，所以直觀圖的周長為.故選：B4.在下列四組數中，方差最大的一組是（）①；②；③；④.A.① B.② C.③ D.④【答案】D【解析】【分析】只需按照樣本數據的方差公式進行計算即可.【詳解】易知四組數據的平均數均為4；對選項A，方差；對選項B，方差;對選項C，方差;對選項D，方差.故選：D.5.一條河的兩岸平行，河寬，一艘船從河岸邊的某處出發到河對岸.設船在靜水中行駛的速度的大小為，水流速度的大小為.當船以最短距離到對岸時，船行駛所用的時間（保留兩位小數）為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】要使航程最短，需使船的速度與水流速度的合成速度必須垂直于對岸，利用勾股定理求出合速度，從而可求出航行時間.【詳解】設一艘船從岸邊A處出發到河的正對岸，設船的速度，水流速度，要使航程最短，需使船的速度與水流速度的合成速度必須垂直于對岸，如圖指：，所以.故選：A.6.拋擲兩枚質地均勻的骰子1次，記“出現點數之和為偶數”，“出現點數之積為偶數”，則（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】根據題意利用列表法結合古典概型求，結合概率的性質逐項分析判斷.【詳解】由題意可知：基本事件的總數為，對于事件A，列表如下：

1234561√╳√╳√╳2╳√╳√╳√3√╳√╳√╳4╳√╳√╳√5√╳√╳√╳6╳√╳√╳√可知，則；對于事件B，列表如下：

1234561╳√╳√╳√2√√√√√√3╳√╳√╳√4√√√√√√5╳√╳√╳√6√√√√√√可知，則；對于事件，列表如下：

1234561╳╳╳╳╳╳2╳√╳√╳√3╳╳╳╳╳╳4╳√╳√╳√5╳╳╳╳╳╳6╳√╳√╳√可知，則；對于選項A：，故A錯誤；對于選項B：，故B錯誤；對于選項C：，故C正確；對于選項D：，故D錯誤；故選：C.7.如圖所示，在同一個鉛垂面，在山腳測得山頂仰角為，斜坡長為，在處測得山頂的仰角為，則山的高度為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】在中，由正弦定理得，，得，在直角三角形中，，即可求解.【詳解】解：如圖所示：因為，，所以，則，在中，由正弦定理得，，則，得，在直角三角形中，，得.故選：D8.設是樣本空間中三個概率大于0的隨機事件，則下列選項錯誤的是（）A.互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件B.事件相互獨立與互斥不能同時成立C.若成立，則事件與相互獨立D.若成立，則事件一定兩兩獨立【答案】D【解析】【分析】利用互斥事件與對立事件的概念可判斷A；利用互斥事件的概念及獨立事件的概念可判斷BCD.【詳解】對于A，互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件，故A正確；對于B，因為，若事件相互獨立，則，故事件不互斥，若事件互斥，則，故事件不獨立，所以事件相互獨立與互斥不能同時成立，故B正確；對于C，若成立，則事件與相互獨立，故C正確；對于D，若成立，不一定能得出，，，則事件不一定兩兩獨立，故D錯誤.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在復平面內，滿足下列條件的復數所對應的點與點在同一個圓上的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由復數幾何意義，計算它們的模，得這4個點在以原點為圓心，為半徑的圓上.，根據各個選項提供的條件進行判斷.【詳解】因為，所以，因此這4個點在以原點為圓心，為半徑的圓上.所以；對于A，，故A錯誤；對于B，故B正確；對于C，設，故C正確；對于D，解得，所以，故D錯誤；故選：BC.10.為了實現綠色發展，避免浪費能源，某市政府計劃對居民用電采用階梯收費方法.為此，相關部門在該市隨機調查了戶居民六月份的用電量（單位：），以了解這個城市家庭用電量的情況.通過收集?整理數據，得到如下頻率分布直方圖.則下列選項正確的是（）A.直方圖中B.在被調查的用戶中，用電量不超過的戶數為C.這戶居民六月份用電量的平均數小于中位數D.估計該市居民六月份用電量的第百分位數約為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，由頻率分布直方圖矩形面積之和為即可解得；對于B，計算前三組的頻率即可；對于C，計算平均數和中位數作比較即可；對于D，設第百分位數為，則在第三組，由計算即可.【詳解】對于A，由頻率分布直方圖矩形面積之和為得，解得，故A正確；對于B，用電量不超過的頻率為，所以戶數為，故B正確；對于C，平均數為設中位數為，則在第三組，即，解得，故平均數大于中位數，故C錯誤；對于D，設第百分位數為，則在第三組，，解得，故D正確.故選：ABD.11.在棱長為2的正方體中，為棱的中點，為線段上的動點（含端點），則下列選項正確的是（）A.若直線與直線所成角為，則的最大值為B.若直線與平面所成角為，則的最大值為C.若點到平面的距離為，則的最小值為D.若過三點的平面截正方體所得截面面積為，則的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】對于選項A，根據點運動情況，求得即可判斷；對于選項B，根據點運動情況找到使角最大的位置即可求解；對于選項C，根據動點到面和點到線的距離轉化求解即可；對于選項D，當截面為經過的中點，的中點時，面積最小.【詳解】對A，當點N運動到與M點重合時，求得，故A錯誤；對B，因為，所以當線段最小時，最大，分析知，當點運動到滿足時，最小，此時根據勾股定理，也最小.又因為平面，所以，又，，所以平面，所以.在中，由勾股定理得，由得，在中，由勾股定理得.在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，所以中，，故B正確；對C，過作，再作，又，易證平面，所以點到平面等于點到平面，所以，將平面和平面展開放在同一平面內（如圖所示），取的中點，則有，所以，所以為等腰直角三角形，所以，又因為為等腰直角三角形，所以，所以，所以，設，，則，，在中，，所以，所以，，所以，下面求其最小值，令，則，由輔助角公式可得，，其中取，所以，所以存在角使得，即存在，化簡得，，又由方程解得，所以或，又因為，所以，所以的最小值為，故C正確；對D，分析知，經過，，三點的平面截正方體得到的截面經過的中點，的中點時，截面面積最小，此時截面為四邊形，由于，，，都全等，所以，所以四邊形為菱形，易求，，所以，故D正確.，故選：BCD.【點睛】關鍵點點睛：（1）本題關鍵是把動點問題進行轉化，找到符合條件的特殊位置，從而判斷角度變化情況；（2）動點到面和動點到線的距離通過平面幾何知識（將軍飲馬）轉化求解，也可以采用代數方法求解，但是求三角函數的值域是一個難點，要注意轉化求解；（3）要分析出截面為經過的中點，的中點時，面積最小.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某學校有高二學生600人，其中男生360人，女生240人.有人為了獲得該校全體高二學生的身高信息，采用分層抽樣的方法抽取了容量為100的總樣本（觀測數據單位：），若已知男生樣本的平均數為172，女生樣本的平均數為162，則總樣本的平均數是__________.【答案】168【解析】【分析】根據分層抽樣求各層人數，結合平均數公式分析求解.【詳解】由題意可知：男、女生所占的頻率分別為、，則抽取的男、女生人數分別為、，所以總樣本的平均數.故答案為：168.13.已知正四棱臺，下底面邊長為，側面與下底面所成二面角的大小為，則該正四棱臺的體積可能為__________（寫出一個即可）【答案】（介于區間內都可以，答案不唯一）.【解析】【分析】根據二面角的平面角的大小計算出高，然后利用柱體、錐體和臺體之間的關系求解.【詳解】如下圖，延長棱臺母線交于點，過作平面ABCD于G，連接S，G與AB中點F，則.又，所以，.又棱臺的高度不確定，所以.故答案為：（介于區間內都可以，答案不唯一）.14.已知線段為的兩條內角平分線，若，且，則的值為__________.【答案】##【解析】【分析】可以先利用數量積定義得到角A，然后利用數量積定義和正弦定理轉化條件，再綜合利用三角變換知識得到結果.【詳解】由，所以.因為，所以，即，則.在中應用正弦定理，，所以，又，所以，即，展開，整理可得，所以.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題為三角變換與解三角形綜合問題，其中向量可以看成給出條件的載體.首先我們需要把向量數量積關系轉化為三角形的邊角關系，然后利用三角變換，在方程思想的指導下解決問題.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.15.在四棱錐中，底面，為中點，為棱上任意一點.（1）求證：平面；（2）求證：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）取中點，連接，證明四邊形是平行四邊形，得，由線面平行的判定定理求解；（2）通過證明平面，求解即可.【小問1詳解】取中點，連接.則是的中位線，得，且.因為，且，所以，且，因此，四邊形是平行四邊形，得.又因為平面平面，所以平面.【小問2詳解】連接，不妨設，由，在直角梯形中，求得，因為，所以，因為底面，平面，所以，又，平面，所以平面，又因為平面，所以.16.在中，，設.（1）用表示；（2）若，則當時，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）結合圖形，利用向量加，減，數乘的運算法則，即可求解；（2）利用已知可得，進而可得，求解即可.【小問1詳解】因為，，，因為，所以，.【小問2詳解】當時，，即，所以，所以，因為，所以，故.17.某商店在“五一”期間舉辦促銷活動，設立了抽獎環節，在一個不透明的抽獎箱里放置6個大小質地完全相同的三種顏色的球，其中1個白球，2個紅球，3個黑球.凡在本店累計消費滿百元的顧客，可以持購物憑證參與一次抽獎活動.抽獎采用不放回方式從中依次隨機地取出2個球，若取到兩球同色，則稱為中獎，可以領取一張優惠券；若取到兩球異色，則稱為不中獎.一次抽獎結束后，取出的球放回抽獎箱，供下一位顧客抽獎.（1）若一位顧客參與一次抽獎活動，求這位顧客中獎的概率；（2）現有甲?乙兩位顧客各參與一次抽獎活動，求兩人中至少有一人中獎的概率.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）列舉法應用古典概型公式計算即可；（2）應用對立事件結合概率乘積公式計算即得.【小問1詳解】將白球編號為1，紅球編號為2，3，黑球編號為.記“取到兩球同色”，，，，因此，【小問2詳解】記“甲顧客中獎”，“乙顧客中獎”，相互獨立，則.18.在中，角所對的邊分別為，滿足.（1）求的值；（2）當與邊上的中線長均為2時，求的周長；（3）當內切圓半徑為1時，求面積的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再根據三角形內角和定理及兩角和得正弦公式化簡即可得解；（2）利用余弦定理及向量化求出，即可得解；（3）先利用等面積法求出與的關系，再結合余弦定理可求出與的關系，再結合基本不等式及三角形的面積公式即可得解.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，又由，得.因為，所以；【小問2詳解】由余弦定理得，即，①設的中點為，則，則，則，②由①②得，聯立，解得，所以，即的周長為；【小問3詳解】由（1）得，由內切圓半徑為1，得，即，由余弦定理得，所以，得，因為，所以，解得或，又因為的面積大于其內切圓面積，即，得，所以，當且僅當時，的面積取到最小值.【點睛】方法點睛：解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理實現“邊化角”；（2）利用余弦定理實現“角化邊”.求三角形有關代數式的取值范圍也是一種常見的類型，主要方法有兩類：（1）找到邊與邊之間的關系，利用基本不等式來求解；（2）利用正弦定理，轉化為關于某個角的三角函數，利用函數思想求解.19.據報道，2024年4月15日，正值全民國家安全教育日，田灣核電8號機組穹頂球冠吊裝成功（如圖（1）），標志著國內最重核電機組薄殼鋼襯里穹頂吊裝工作安全完成，有力推動了我國產業結構和能源結構的調整，助力“雙碳”目標順利實現.報道中提到的球冠是一個空間幾何概念，它是指球面被一個平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直徑被截得的部分是球冠的高.球冠面積等于截得它的球面上大圓（過球心的截面圓）周長與球冠的高的乘積.和球冠相對應的幾何體叫球缺，它是指球體被一個平面所截得的一部分，截面是球缺的底.當球缺的高小于球半徑時，我們把球缺與以球缺的底為底?以球心為頂點的圓錐所構成的體，稱作“球錐