第13章全等三角形13.3等腰三角形1.等腰三角形的性質(zhì)目

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等腰三角形的性質(zhì)1∶等邊對(duì)等角1.

【知識(shí)初練】在△

ABC

中，∵

AB

＝

AC

，∴∠

B

＝∠

C

，理由是

?.等邊對(duì)等角2345678910111213141512.

【教材改編題】如果等腰三角形的一個(gè)底角為50°，那么

它的頂角的度數(shù)為(

D

)A.50°B.60°C.70°D.80°D2345678910111213141513.

[中考·眉山]如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，∠

A

＝

40°，則∠

ACD

的度數(shù)為(

C

)A.70°B.100°C.110°D.140°C2345678910111213141514.

[長(zhǎng)春三模]如圖，

AB

∥

CD

，點(diǎn)

E

在線段

BC

上，

CD

＝

CE

，若∠

D

＝74°，則∠

B

的度數(shù)為(

B

)A.16°B.32°C.74°D.30°B2345678910111213141515.

如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

.

求證：∠

B

＝∠

C

.

證明：過(guò)點(diǎn)

A

作

AD

⊥

BC

于點(diǎn)

D

，則∠

ADB

＝∠

ADC

＝90°.在Rt△

ADB

和Rt△

ADC

中，∵

AB

＝

AC

，

AD

＝

AD

，∴Rt△

ADB

≌Rt△

ADC

(H.L.).∴∠

B

＝∠

C

.

234567891011121314151

等腰三角形的性質(zhì)2：三線合一6.

【知識(shí)初練】在△

ABC

中，

AB

＝

AC

.

(1)若

AD

⊥

BC

，則

AD

平分∠

BAC

，

?；(2)若

AD

平分∠

BAC

，則

，

BD

＝

DC

；(3)若

BD

＝

DC

，則

AD

⊥

BC

，

?.BD

＝

DC

AD

⊥

BC

AD

平分∠

BAC

2345678910111213141517.

如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

D

是

BC

的中點(diǎn)，

DE

⊥

AC

，垂足為

E

.

若∠

BAC

＝50°，求∠

ADE

的度數(shù).解：∵

AB

＝

AC

，

D

是

BC

的中點(diǎn)，∴∠

BAD

＝∠

CAD

.

∵∠

BAC

＝50°，∴∠

DAC

＝25°.∵

DE

⊥

AC

，∴∠

ADE

＝90°－25°＝65°.234567891011121314151

等邊三角形的性質(zhì)8.

【知識(shí)初練】∵△

ABC

是等邊三角形，∴∠

A

＝∠

B

＝

∠

C

＝

°，理由是

?.60

等邊三角形每個(gè)角都等于60°

2345678910111213141519.

如圖，△

ABC

是等邊三角形.若∠

ABC

的平分線與∠

ACB

的平分線相交于點(diǎn)

D

，則∠

ABD

＋∠

ACD

的度數(shù)是

(

C

)A.36°B.50°C.60°D.70°C23456789101112131415110.

[長(zhǎng)春校級(jí)月考]如圖，在等邊三角形

ABC

中，

D

、

E

分

別為

AC

、

AB

上的點(diǎn)，且

AD

＝

BE

，

CE

與

BD

交于點(diǎn)

P

.

求∠

BPE

的度數(shù).234567891011121314151解：∵△

ABC

是等邊三角形，∴

AB

＝

AC

＝

BC

，∠

A

＝∠

ACB

＝60°.∵

AD

＝

BE

，∴

AE

＝

CD

.

在△

CAE

和△

BCD

中，∵

AC

＝

CB

，∠

A

＝∠

DCB

，

AE

＝

CD

，∴△

CAE

≌△

BCD

(S.A.S.).∴∠

ACE

＝∠

CBD

.

∴∠

BPE

＝∠

CBD

＋∠

BCP

＝∠

ACE

＋∠

BCP

＝∠

ACB

＝60°.23456789101112131415111.

在等腰三角形

ABC

中，

AB

＝

AC

，∠

BAC

＝100°，一

含30°角的三角尺如圖放置(一直角邊與

BC

邊重合，斜

邊經(jīng)過(guò)△

ABC

的頂點(diǎn)

A

)，則∠α的度數(shù)為(

B

)A.15°B.20°C.30°D.40°B23456789101112131415112.

[長(zhǎng)春校級(jí)期中]如圖，若△

ABC

和△

CDE

都是等邊三角

形，且∠

EBD

＝35°，則∠

AEB

的度數(shù)是(

C

)A.90°B.94°C.95°D.105°C23456789101112131415113.

如圖，直線

m

∥

n

，△

ABC

是等邊三角形，頂點(diǎn)

B

在直

線

n

上，直線

m

交

AB

于點(diǎn)

E

，交

AC

于點(diǎn)

F

，若∠1＝

140°，則∠2＝(

B

)A.80°B.100°C.120°D.140°B23456789101112131415114.

如圖，在等邊三角形

ABC

中，

BC

＝8，過(guò)邊

BC

上一點(diǎn)

P

，作∠

DPE

＝60°，分別與邊

AB

、

AC

相交于點(diǎn)

D

、

E

.

(1)在圖中找出與∠

EPC

始終相等的角，

并說(shuō)明理由；234567891011121314151解：(1)∠

BDP

＝∠

EPC

.

理由如下：∵△

ABC

為等邊三角形，∴∠

B

＝60°.∵∠

DPE

＝60°，∴∠

DPE

＝∠

B

.

∵∠

DPC

是△

BDP

的外角，∴∠

DPE

＋∠

EPC

＝∠

B

＋∠

BDP

，∴∠

EPC

＝∠

BDP

.

23456789101112131415114.

如圖，在等邊三角形

ABC

中，

BC

＝8，過(guò)邊

BC

上一點(diǎn)

P

，作∠

DPE

＝60°，分別與邊

AB

、

AC

相交于點(diǎn)

D

、

E

.

(2)若△

PDE

為等邊三角形，求

BD

＋

CE

的值.234567891011121314151

23456789101112131415115.

[推理能力]已知

a

、

b

是△

ABC

的兩邊，且｜

a

－3｜＋

(

b

－4)2＝0.(1)試求

a

、

b

的值，并求第三邊

c

的取值范圍；解：(1)∵｜

a

－3｜＋(

b

－4)2＝0，∴

a

－3＝0，

b

－4＝0，∴

a

＝3，

b

＝4.∵

b

－

a

＜

c

＜

b

＋

a

，∴1＜

c

＜7.23456789101112131415115.

[推理能力]已知

a

、

b

是△

ABC

的兩邊，且｜

a

－3｜＋

(

b

－4)2＝0.(2)若△

ABC

是等腰三角形，試求此三角形的周長(zhǎng)；解：(2)當(dāng)腰長(zhǎng)為3時(shí)，此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)為3、3、

4，滿足三角形三邊關(guān)系，周長(zhǎng)為10；

當(dāng)腰長(zhǎng)為4時(shí)，此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)為4、4、3，滿足

三角形三邊關(guān)系，周長(zhǎng)為11.

綜上可知，此三角形的周長(zhǎng)為10或11.234567891011121314151(3)若等腰三角形

DEF

其中一個(gè)內(nèi)角為

x

°，另一個(gè)內(nèi)角

為(2

x

－20)°，試求此三角形各內(nèi)角的度數(shù).15.

[推理能力]已知

a

、

b

是△

ABC

的兩邊，且｜

a

－3｜＋

(

b

－4)2＝0.解：(3)當(dāng)?shù)捉菫?/p>

x

°，頂角為(2

x

－20)°時(shí)，根據(jù)三角

形內(nèi)角和為180°，可得

x

＋

x

＋2

x

－20＝180，

解得

x

＝50，此時(shí)三個(gè)內(nèi)角分別為50°、50°、80°；

當(dāng)頂角為

x

°、底角為(2

x

－20)°時(shí)，根據(jù)三角形內(nèi)

角和為180°，可得

x

＋2

x

－20＋2

x

－20＝180，234567891011121314