響水縣清源高級中學2023年秋學期高二年級期中考試數學試卷（本試卷滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規定的位置，否則不給分.2．答題前務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.一、單選題（本題共8小題，每題5分，共40分）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據傾斜角和斜率的關系即可求得傾斜角.【詳解】由已知，故，設直線傾斜角為所以，又因為所以故選：D2.拋物線的焦點到原點的距離為（

）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根據拋物線方程得出焦點坐標后即可得．【詳解】由題意，，所以焦點為，其到原點距離為．故選：B．3.已知函數（是導函數），則（

）A. B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】先對函數求導，代入，求出的值，進而求解的值即可.【詳解】因為所以定義域為.所以當時，，，則故選：A4.已知數列中，，，則等于（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意代入計算可得數列是周期為3的周期數列，即可得.【詳解】根據并利用可得，，，，…所以可得數列是周期為3的周期數列，即.故選：D5.若雙曲線（，）的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的離心率為（

）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據雙曲線的漸近線、離心率公式以及兩直線的垂直與斜率的關系求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，直線的斜率為，所以由題可知，，所以雙曲線的離心率為，故選:C.6.已知數列與數列，其中.它們的公共項由小到大組成新的數列，則的前項的和為（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定公共項為為等差數列，求出首項和公差后即可求和.【詳解】明顯數列和數列均為等差數列令，可得，則，則數列為等差數列，且，公差為，所以的前項的和為.故選：C.7.已知，，動點滿足，則點的軌跡與圓相交的弦長等于（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設，根據題設整理可得點P的軌跡方程為圓，由兩圓方程消去二次項可得公共弦所在直線方程，然后由點到直線的距離公式和圓的弦長公式可得.【詳解】設，則，整理得，聯立消去二次項得公共弦所在直線方程，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為1，所以公共弦長為.故選：A8.已知橢圓的左?右焦點分別為，點在橢圓上，若離心率，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知，結合橢圓的定義解得，再由求解.【詳解】因為，所以，由橢圓的定義得：，解得，因為，所以，兩邊同除以a得，解得，因為，所以，所以該離心率的取值范圍是故選：D.二、多選題（本題共4小題，每題5分，共20分，全部選對的得5分，部分選的對得2分，選錯的得0分）9.已知是等差數列的前n項和，且，則下列選項正確的是（）A.數列為遞減數列 B.C.的最大值為 D.【答案】AC【解析】【分析】根據等差數列的性質得出，從而可判斷數列的單調性，再結合等差數列的前項和公式判斷各選項．【詳解】是等差數列，則，又，∴，所以，是遞減數列，從而中最大，，故選：AC．10.已知圓，直線．則（

）A.直線恒過定點B.直線與圓有兩個交點C.當時，圓上恰有四個點到直線的距離等于1D.若，則圓與圓恰有三條公切線【答案】BD【解析】【分析】直線方程整理成關于的方程，由恒等式知識可得定點坐標，判斷A，由定點在圓得直線與圓位置關系，判斷B，求出圓心到直線的距離得距離為1的平行直線與圓的位置關系判斷C，由圓心距離判斷兩圓位置關系后判斷D．【詳解】直線的方程整理為，由得，所以直線過定點，A錯；又，即定點在圓內，因此直線與圓相交，有兩個交點，B正確；時直線方程為，圓心到直線的距離為，圓半徑為2，，因此與直線平行且距離為1的兩條直線只有一條與圓相交，另一條與圓相離，因此只有2個點到直線的距離等于1，C錯；時，圓的標準方程為，圓心為，半徑為3，兩圓圓心距為，兩圓外切，因此它們有三條公切線，D正確，故選：BD．11.在直角坐標系中，已知拋物線：的焦點為，過點的傾斜角為的直線與相交于，兩點，且點在第一象限，的面積是，則（

）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】聯立直線與拋物線方程，利用根與系數的關系和焦半徑公式求出弦長，由點到直線的距離公式結合的面積求解，從而利用焦半徑公式求解，逐項判斷即可.【詳解】拋物線的焦點為，準線為，設過焦點的直線方程為設直線：，，，聯立直線與拋物線方程得消元得，由韋達定理可得，，所以，又點到直線的距離是，所以，得，所以，故選項A錯誤，B正確；由知，解得，所以，故選項C正確；，故選項D正確；故選：BCD.12.已知數列滿足，則（

）A.當且時，為等比數列B.當時，為等比數列C.當時，為等差數列D.當，且時，的前n項和為【答案】ACD【解析】【分析】利用等差數列，等比數列的定義判斷ABC，利用裂項求和來計算D.【詳解】對于A：當且時，，數列是公比為2的等比數列，A正確；對于B：當，即時，數列不為等比數列，B錯誤；對于C：當時，，等式兩邊同除得，數列是公差為的等差數列，C正確；對于D：當，，得，則數列是首項為，公比為2的等比數列，所以，所以，的前n項和為，D正確.故選：ACD.三、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分）13.若直線與直線平行，則___________．【答案】【解析】【分析】利用兩直線平行，通過分類討論即可得出的值.【詳解】由題意，直線與直線平行，當時，直線與直線不平行，舍去，當時，，解得：，綜上，.故答案為：.14.圓在點處切線的一般式方程為____________．【答案】2【解析】【分析】由切線與過切點的半徑垂直求得切線斜率后可得切線方程．【詳解】圓心坐標為，圓心與切點連線斜率為，所以切線的斜率為2，切線方程為，即．故答案為：．15.兩個等比數列，的前n項和分別為和，已知，則__________．【答案】##【解析】【分析】設數列，的公比分別為，在已知式中令得，再令,得的關系，進而聯立方程組解得，進而求解即可．【詳解】設數列，的公比分別為，則時，，即，當時，，即，當時，，即，聯立，解得或，當時，，符合題意；當時，，不符合題意.所以.故答案為：.16.已知點，點P是雙曲線左支上的動點，點為雙曲線右焦點，N是圓的動點，則的最小值為_______________．【答案】【解析】【分析】利用，當且僅當是的延長線與圓的交點時取等號，及，當且僅當三點共線時取等號，再結合雙曲線的定義可得．【詳解】由已知，是雙曲線的左焦點，它也是圓的圓心，，圓半徑為，，當且僅當是的延長線與圓的交點時取等號，，當且僅當三點共線時取等號，所以，又由雙曲線的定義，，所以，即的最小值為，故答案為：．四、解答題(第17題10分，其余每題12分，共70分)17.已知圓經過，兩點，且圓的圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）若直線過點與圓相交截得的弦為，且，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設圓的方程為，利用待定系數法求出即可；（2）根據圓的弦長公式求出圓心到直線的距離，再分直線斜率是否存在兩種情況討論即可.【小問1詳解】設圓的方程為，則，解得，所以圓的方程為；【小問2詳解】圓的標準方程為，圓心，半徑，設圓心到直線的距離為，則，解得，當直線的斜率不存在時，方程為，圓心到直線的距離為，符合題意，當直線的斜率存在時，設直線方程為，即，則，解得，所以直線的方程為，綜上所述，直線的方程為或.18.已知數列的前項和為，且.（1）求通項公式（2）若，求的前項和.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）利用與的關系式進行通項公式的求解；（2）由通項公式可知，當時，其和為負數，則當求絕對值之和時，可直接添加負號即可，當時，可通過前8項的變號來進行計算即可.【小問1詳解】由，當時，可得，當時，，適合上式，所以數列的通項公式為.【小問2詳解】由，可得，則，令，可得，當時，可得，當時，可得，因為，所以，所以.注意：分類標準和，都可以.19.已知橢圓，左右焦點分別為，，直線與橢圓交于A，兩點，弦被點平分．（1）求直線的一般式方程；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設，代入雙曲線方程相減，利用弦中點坐標可得直線斜率，從而得直線方程，檢驗直線與雙曲線是否相交．（2）由韋達定理得，代入的坐標表示中計算即得．【小問1詳解】因為弦被點平分，所以設交點坐標，則，兩式相減得：），所以直線的斜率，故直線的一般式方程為聯立橢圓與直線方程得，直線與雙曲線相交，滿足題意．所以直線方程為，【小問2詳解】由（1）知：，由（1）得，，所以．20.記為數列的前項和，為數列的前項和，若且.（1）證明：數列是等比數列；（2）若成立，求的最小值.【答案】（1）證明見解析（2）5【解析】【分析】（1）利用得出關于的遞推關系，從而根據等比數列的定義得證；（2）由分組求和法求得后，解不等式得結論．【小問1詳解】由可得，即，即，而，所以是以3為首項，3為公比的等比數列.【小問2詳解】由（1）知，即，由可得，整理可得，解得，因為，所以的最小值為5．21.已知橢圓焦距為，離心率為.（1）求曲線方程；（2）過點作直線交曲線于、兩個不同的點，記的面積為，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知條件可得出關于、、的方程組，求出這三個量的值，即可得出橢圓的方程；（2）分析可知，直線直線與軸不重合，設直線的方程為，設點、，將該直線方程與橢圓方程聯立，列出韋達定理，利用基本不等式可求出的最大值.【小問1詳解】解：由題意可得，解得，所以，橢圓的方程為.【小問2詳解】解：當直線與軸重合時，、、三點重合，不符合題意，易知點，設直線的方程為，設點、，聯立可得，則，由韋達定理可得，，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最大值為.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數或三角函數的最值問題，然后利用基本不等式、函數的單調性或三角函數的有界性等求最值．22.從雙曲線上一點向軸作垂線，垂足恰為左焦點，點分別是雙曲線的左、右頂點，點，且，.（1）求雙曲線的方程；（2）過點作直線分別交雙曲線左右兩支于兩點，直線與直線交于點，證明：點在定直線上.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由可得，再由可得，解方程即可求出，即可得出答案.（2）設，，直線，聯立直線與雙曲線的方程可求出的范圍，再根據根與系數的關系可得③，設直線方程結合③求解，即可證明點在定直線上.【小問1詳解】令，代入雙曲線方程可得，所以設，，因為，所以，即，所