2025屆安徽省六安市金安區第一中學高二數學第一學期期末質量跟蹤監視模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數列，，則公差d等于（）A. B.C.3 D.-32．橢圓（）的右頂點是拋物線的焦點，且短軸長為2，則該橢圓方程為（）A. B.C. D.3．已知函數，，若對任意的，，都有成立，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知雙曲線右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若，則的離心率為（）A.2 B.C. D.5．已知雙曲線的離心率為2，則C的漸近線方程為（）A. B.C. D.6．設、是向量，命題“若，則”的逆否命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則7．若函數在上為增函數，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.8．已知等差數列的前n項和為Sn，首項a1=1，若，則公差d的取值范圍為（）A. B.C. D.9．已知正三棱柱中，，點為中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.10．如圖，在正方體中，點，分別是面對角線與的中點，若，，，則（）A. B.C. D.11．某家庭準備晚上在餐館吃飯，他們查看了兩個網站關于四家餐館的好評率，如下表所示，考慮每家餐館的總好評率，他們應選擇（）網站①評價人數網站①好評率網站②評價人數網站②好評率餐館甲100095%100085%餐館乙1000100%200080%餐館丙100090%100090%餐館丁200095%100085%A.餐館甲 B.餐館乙C.餐館丙 D.餐館丁12．等比數列的第4項與第6項分別為12和48，則公比的值為（）A. B.2C.或2 D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．中國的西氣東輸工程把西部地區的資源優勢變為經濟優勢，實現了天然氣能源需求與供給的東西部銜接，工程建設也加快了西部及沿線地區的經濟發展.輸氣管道工程建設中，某段管道鋪設要經過一處峽谷，峽谷內恰好有一處直角拐角，水平橫向移動輸氣管經過此拐角，從寬為的峽谷拐入寬為的峽谷，如圖所示，位于峽谷懸崖壁上兩點，的連線恰好經過拐角內側頂點(點，，在同一水平面內)，設與較寬側峽谷懸崖壁所成的角為，則的長為______(用表示).要使輸氣管順利通過拐角，其長度不能低于______.14．設函數，若存在實數使得成立，則的取值范圍是__________.15．方程的曲線的一條對稱軸是_______，的取值范圍是______.16．已知拋物線上一橫坐標為5的點到焦點的距離為6，且該拋物線的準線與雙曲線：的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則雙曲線的離心率為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題在中，內角A，，的對邊分別為，，，且滿足______________（1）求；（2）若的面積為，在邊上，且，求的最小值注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分18．（12分）如圖所示，圓錐的高，底面圓的半徑為，延長直徑到點，使得，分別過點、作底面圓的切線，兩切線相交于點，點是切線與圓的切點（1）證明：平面；（2）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求該圓錐的體積19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，底面ABCD，E為BP的中點，，（1）證明：平面PAD；（2）求平面EAC與平面PAC夾角的余弦值20．（12分）在中，角的對邊分別為，已知，,且.（1）求角的大小；（2）若，面積為，試判斷的形狀，并說明理由.21．（12分）男子10米氣步槍比賽規則如下：在資格賽中，射手在距離靶子10米處，采用立姿，在105分鐘內射擊60發子彈，總環數排名前8名的射手進入決賽；在決賽中，每位射手僅射擊10發子彈．已知甲乙兩名運動員均進入了決賽，資格賽中的環數情況整理得下表：環數頻數678910甲2352327乙5502525以各人這60發子彈環數的頻率作為決賽中各發子彈環數發生的概率，甲乙兩人射擊互不影響（1）求甲運動員在決賽中前2發子彈共打出1次10環的概率；（2）決賽打完第9發子彈后，甲比乙落后2環，求最終甲能戰勝乙（甲環數大于乙環數）的概率22．（10分）已知橢圓：，的左右焦點，是雙曲線的左右頂點，的離心率為，的離心率為，點在上，過點E和，分別作直線交橢圓于，和，點，如圖.（1）求，的方程；（2）求證：直線和的斜率之積為定值；（3）求證：為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據題意，利用公式，即可求解.【詳解】由題意，等差數列，，可得等差數列的公差.故選：B.2、A【解析】求得拋物線的焦點從而求得，再結合題意求得，即可寫出橢圓方程.【詳解】因為拋物線的焦點坐標為，故可得；又短軸長為2，故可得，即；故橢圓方程為：.故選：.3、B【解析】根據題意，將問題轉化為對任意的，，利用導數求得的最大值，再分離參數，構造函數，利用導數求其最大值，即可求得參數的取值范圍.【詳解】由題可知：對任意的，，都有恒成立，故可得對任意的，；又，則，故在單調遞減，在單調遞增，又，，則當時，,.對任意的，，即，恒成立.也即，不妨令，則，故在單調遞增，在單調遞減.故，則只需.故選：B.4、B【解析】，得出到漸近線的距離為，由此可得的關系，從而求得離心率【詳解】因為，而，所以是等邊三角形，到直線的距離為，又，漸近線方程取，即，所以，化簡得故選：B5、A【解析】根據離心率及a，b，c的關系，可求得，代入即可得答案.【詳解】因為離心率，所以，所以，，則，所以C的漸近線方程為.故選：A6、C【解析】利用原命題與逆否命題之間的關系可得結論.【詳解】由原命題與逆否命題之間的關系可知，命題“若，則”的逆否命題是“若，則”.故選：C.7、C【解析】求出函數的導數，要使函數在上為增函數，要保證導數在該區間上恒正即可，由此得到不等式,解得答案.詳解】由題意可知，若在遞增，則在恒成立，即有，則，故選：C.8、A【解析】該等差數列有最大值，可分析得，據此可求解.【詳解】，故，故有故d取值范圍為.故選：A9、A【解析】根據異面直線所成角的定義，取中點為，則為異面直線和所成角或其補角，再解三角形即可求出【詳解】如圖所示：設中點為，則在三角形中，為中點，為中位線，所以有，，所以為異面直線和所成角或其補角，在三角形中，，所以由余弦定理有，故選：A.10、D【解析】由空間向量運算法則得,利用向量的線性運算求出結果.【詳解】因為點，分別是面對角線與的中點，，，，所以故選:D.11、D【解析】根據給定條件求出各餐館總好評率，再比較大小作答.【詳解】餐館甲的總好評率為：，餐館乙的總好評率為：，餐館丙的好評率為：，餐館丁的好評率為：，顯然，所以餐館丁的總好評率最高.故選：D12、C【解析】根據等比數列的通項公式計算可得；詳解】解：依題意、，所以，即，所以；故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】(1)利用三角關系分別利用表示、即可求解；(2)利用導數求最小值的方法即可求解.【詳解】過點分別作，，垂足分別為，，則，在中，，則，同理可得，所以.令，則，令，，得，即，由，解得，當時，；當時，，所以當時，取得極小值，也是最小值，則，故輸氣管的長度不能低于m.故答案為：；.14、【解析】將變形為，令，，分別研究其單調性及值域，使問題轉化為即可.【詳解】由題，，令，則，由，得，由，得，所以在遞減，在遞增，所以，令，則，由，得，由，得，所以在遞增，在遞減，所以，若存在實數使得成立，即存在實數使得成立，即存在實數使得恒成立所以，即，解得，所以取值范圍為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵是將所求問題轉為存在實數使得恒成立，結合的值域進一步轉化為存在實數使得恒成立，再只需即可.15、①.x軸或直線②.【解析】根據給定條件分析方程的性質即可求得對稱軸及x的取值范圍作答.【詳解】方程中，因，則曲線關于x軸對稱，又，解得，此時曲線與都關于直線對稱，曲線的對稱軸是x軸或直線，的取值范圍是.故答案為：x軸或直線；16、3【解析】由題意求得拋物線的準線方程為，進而得到準線與雙曲線C的漸近線圍成的三角形面積，求得，再結合和離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意，拋物線上一橫坐標為5的點到焦點的距離為6，根據拋物線定義，可得，即，所以拋物線的準線方程為，又由雙曲線C的兩條漸近線方程為，則拋物線的準線與雙曲線C的兩條漸近線圍成的三角形面積為，解得，又由，可得，所以雙曲線C離心率.故答案為：3.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、選擇見解析；（1）；（2）【解析】（1）選條件①．利用正弦定理邊角互化，結合兩角和的正弦公式可得，從而可得答案；選條件②．邊角互化、切化弦，結合兩角和的正弦公式可得，從而得答案；選條件③．邊角互化，利用余弦定理可得，從而可得答案；（2）由三角形面積公式可得得，再利用余弦定理與基本不等式可得答案.【詳解】（1）方案一：選條件①由可得，由正弦定理得，因為，所以，所以，故，又，于是，即，因為，所以方案二：選條件②因為，所以由正弦定理及同角三角函數的基本關系式，得，即，因為，所以，又，所以，因為，所以方案三：選條件③∵，∴，即，∴，∴又，所以（2）由題意知，得由余弦定理得，當且僅當且，即，時取等號，所以的最小值為18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由線面垂直、切線的性質可得、，再根據線面垂直的判定即可證結論.（2）若，構建為原點，、、為x、y、z軸的空間直角坐標系，求面、面的法向量，利用空間向量夾角的坐標表示及其對應的余弦值求R，最后由圓錐的體積公式求體積.【小問1詳解】由題設，底面圓，又是切線與圓的切點，∴底面圓，則，且，而，∴平面.【小問2詳解】由題設，若，可構建為原點，、、為x、y、z軸的空間直角坐標系，又，可得，∴，，，有，，若是面的一個法向量，則，令，則，又面的一個法向量為，∴，可得，∴該圓錐的體積19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）通過作輔助線，構造平行四邊形，在平面PAD找到線并證明，根據線面平行的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標系，求出相應點的坐標，進而求得相關的向量坐標，求出平面EAC與平面PAC的法向量，根據向量的夾角公式求得答案.【小問1詳解】證明：取PA的中點F，由E為PB的中點，則，，而，，所以且，則四邊形CDFE為平行四邊形，所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD【小問2詳解】∵平面ABCD，，∴AP，AB，AD兩兩垂直，以A為原點，，，向量方向分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，各點坐標如下：，，，，，設平面APC的法向量為，由，，有，取，則，，即，設平面EAC的法向量為，由，，有，取，則，，即，所以，由原圖可知平面EAC與平面PAC夾角為銳角，所以平面EAC與平面PAC夾角的余弦值為20、（1）；（2）為等邊三角形【解析】（1）由（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0及正弦定理，得sinB（2cosA﹣1）＝0，從而得角A；（2）由S△ABC＝bcsinA＝，可得bc＝3，①；再由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA可得b2+c2＝6，②；聯立①②可求得b＝c＝，從而可判斷△ABC的形狀【詳解】（1）由（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0及正弦定理，得（2sinB﹣sinC）cosA﹣sinAcosC＝0，∴2sinBcosA﹣sin（A+C）＝0，sinB（2cosA﹣1）＝0∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA＝．∵0＜A＜π，∴A＝（2）△ABC為等邊三角形，∵S△ABC＝bcsinA＝，即bcsin＝，∴bc＝3，①∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，A＝，a＝，∴b2+c2＝6，②由①②得b＝c＝，∴△ABC為等邊三角形【點睛】本題考查三角形形狀的判斷，著重考查正弦定理與余弦定理的應用，考查方程思想與運算求解能力，屬于中檔題21、（1）（2）【解析】（1）先求出甲運動員打中10環的概率，從而可求出甲運動員在決賽中前2發子彈共打出1次10環的概率；（2）由于甲比乙落后2環，所以甲要獲勝，則乙6環，甲9環或10環，或者乙7環，甲10環，再利用獨立事件和互斥事件的概率公式求解即可【小問1詳解】由表中的數據可得甲運動員打中10環的概率為，所以甲運動員在決賽中前2發子彈共打出1次10環的概率為【小問2詳解】因為甲比乙落后2環，所以甲要獲勝，則乙打中6環，甲打中9環或10環，或者乙打中7環，甲打中10環，因為由題意可得乙打中6環的概率和打中7環的概率均為，甲打中9環的概率為，打中10環的概率為，且甲乙兩人射擊互不影響所以最終甲