北京市2023-2024學年高一上學期數學期中試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1．已知集合A={3，4，A．{3，4，C．{x∣4≤x≤5} D．{x∣3≤x≤7}2．命題：?x>0，A．?x≤0，x2C．?x>0，x23．下列函數中，既是奇函數又在區間(0，A．y=x12 B．y=2?x 4．已知函數y=f(x)的對應關系如下表所示，函數y=g(x)的圖象如圖所示，則f(g(3))的值為（）x036f(x)306A．9 B．6 C．3 D．05．有限集合M中元素的個數記作card(M)，若A，B都為有限集合，則“A∩B=A”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．設函數y=x2+2ax在區間(2A．{a∣a≥2} B．{a∣a≤2}C．{a∣a≥?2} D．{a∣a≤?2}7．下列命題中正確的是（）A．若ac2>bc2，則|a|>|b|C．若a>b，則1a<1b 8．向體積相同且高為H的花瓶中，注水注滿為止.如果注水量V與水深h的函數關系式如圖所示，那么花瓶的形狀是（）A． B．C． D．9．我們知道函數y=f(x)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f(x)為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：函數y=f(x)的圖像關于點H(a，b)成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f(x+a)?b為奇函數，則函數A．(?1，?1) B．(1，1) C．10．公園內常設有如圖所示的護欄，柱與柱之間是一條均勻懸鏈.數學中把這種兩端固定的一條(粗細與質量分布)均勻、柔軟的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀稱為懸鏈線.在恰當的坐標系中，這類函數的表達式可以為f(x)=aex+be?x(其中aA．若a=b，則y=f(x)為奇函數B．若ab=1，則函數y=f(x)的最小值為2C．若ab>0，則方程f(x)=0沒有實數根D．若ab<0，則函數y=f(x)為單調遞增函數二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11．函數f(x)=x?2的定義域是12．不等式x?1x<013．能說明“?x∈R，ax2?ax?1≥014．設函數f(x)=2x?3，x≤aax，x>a，若當a=5時，存在實數m，使得f(m)=0，則215．狄利克雷函數D(x)定義為：當自變量取有理數時，函數值為1當自變量取無理數時，函數值為0.以下關于狄利克雷函數D(x)的性質：①D(x)的值域為{0，②若x，y∈R③函數D(x)的圖象關于y軸對稱；④不存在A(x1，其中表述正確的是.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16．已知全集U=R，集合A={（1）求A∩B和(?（2）設集合C={x∣a?1<x<a+1}，若C∩B=?17．已知指數函數y=f(x)的圖象過點(?2，（1）求函數f(x)的解析式（2）試比較f(?0.（3）若f(?m2+m+1)<118．已知函數f(x)=2|x|+2（1）證明：f(x)為偶函數；（2）用定義證明：f(x)在區間(1，19．剛剛結束的2023年杭州亞運會給人們留下了深刻印象，也帶火了很多杭州特色產品.某小組通過對一款杭州特產龍井茶的某官網銷售情況的調查發現：該商品在過去30天內，銷售單價P(x)(單位：百元)與時間x(單位：天)的函數關系近似滿足P(x)=1+kx(k為常數)，日銷售量Q(x)(單位：件)與時間x51015202530Q(x)180310390420400330已知第5天的日銷售收入為216百元.（1）求k的值；（2）給出以下三種函數模型(1)Q(x)=ax+b；(2)Q(x)=ax2+bx請根據上表中的數據，選擇你認為最合適的一種函數來描述Q(x)與x的變化關系，并求出函數Q(x)的解析式；（3）記該商品在這30天內的日銷售收入為H(x)(單位：百元)，求H(x)的最大值.20．設函數f(x)=x2+2mx+m，函數g(x)=2x+2.?x∈R，用條件（1）：f(?3)=f(1)條件（2）：?x∈R，（1）求不等式f(x)>g(x)的解集；（2）當x∈[1，4]時，關于x的不等式M(x)>m(g(x)?2)恒成立，求實數21．已知正整數集合S={a1，a2，?，an}(n≥2，n∈N)，0<a1<a（1）判斷集合A={1，2，3}和集合（2）若集合S具有性質F4，求證：d(S)≥（3）若集合S具有性質Fk，求n

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由題意得A∩B=4，5故答案為：B.

【分析】根據交集的定義直接求解.2．【答案】D【解析】【解答】解：命題：?x>0，x2故答案為：D.

【分析】根據命題的否定判斷選項.3．【答案】D【解析】【解答】解：A、y=x12的定義域為[0，+∞)，不關于原點對稱，不是奇函數，A不符合題意；

B、y=2?x在區間R上單調遞減，且不是奇函數，B不符合題意；

C、y=x+1x在區間(0，1)故答案為：D.

【分析】根據函數單調性和奇偶性逐一判斷選項.4．【答案】B【解析】【解答】解：由圖象知g(3)=6，∴f(g(3))=f(6)=6.故答案為：B.

【分析】由圖象得g(3)=6，進而根據表格找f(g(3))=f(6)的值.5．【答案】A【解析】【解答】解：充分性：若A∩B=A，則A?B，∴card(A)≤card(B)，充分性成立；

必要性：若card(A)≤card(B)，假設A=1，B=2，此時card(A)=card(B)=1，滿足card(A)≤card(B)，但A∩B=?≠A，必要性不成立，∴“A∩B=A”是“故答案為：A.

【分析】根據集合之間的關系分別判斷充分性和必要性.6．【答案】C【解析】【解答】解：∵函數y=x2+2ax在區間(2，+∞)上是增函數，二次函數y=x2故答案為：C.

【分析】根據二次函數性質求解實數a的取值范圍.7．【答案】D【解析】【解答】解：A、∵ac2>bc2，所以c2>0，∴a>b，A錯誤；

B、若a>b，c>d，假設a=c，b=d，則a?c=b?d=0，B錯誤；

C、若a>0>b，則1a>0>1b，C錯誤；

故答案為：D.

【分析】根據不等式性質逐一分析選項.8．【答案】B【解析】【解答】解：根據函數圖象知：開始階段相同的高度下體積增加得快，結束階段相同的高度下體積增加得慢，∴花瓶形狀為下寬上窄的形狀，滿足題意的選項為B.故答案為：B.

【分析】由函數圖象知花瓶形狀為下寬上窄的形狀，對比選項得到答案.9．【答案】A【解析】【解答】解：∵f(x-1)--1=x-1+1x-1+1+1=x+1x故答案為：A.

【分析】由f(x-1)--110．【答案】C【解析】【解答】解：函數f(x)=aex+be?x的定義域為R，

A，當a=b時，f(x)=aex+ae?x，f(-x)=ae-x+aex=aex+ae?x=f(x)，∴函數f(x)是偶函數，A錯誤；

B，當a=b=-1，滿足ab=1，f(x)=-ex-e?x<0，B錯誤；

C，∵ab>0，∴a，b>0或a，b<0，當a，b>0故答案為：C.

【分析】根據選項的條件，結合函數的相關概念逐一判斷.11．【答案】[2【解析】【解答】解：由題意得x-2≥0，求得x≥2，∴函數f(x)=x?2的定義域是[2故答案為：[2，

【分析】由題意得x-2≥0，求出x的取值范圍即可.12．【答案】(0，1)【解析】【解答】解：由題意得x?1x<0等價于x(x-1)<0，解得0<x<1，故所求解集為(0，1).

故答案為：(0，1).13．【答案】0【解析】【解答】解：若“?x∈R，ax2?ax?1≥0”為假命題，則“?x∈R，ax2?ax?1<0”為真命題，

當a=0時，-1<0，滿足；當a≠0時，則a<0?=a2+4a<0，求得-4<a<0故答案為：0.

【分析】根據題意得“?x∈R，ax2?ax?1<0”為真命題，進而分當a=014．【答案】18；0【解析】【解答】解：第一空：當a=5時，f(x)=2x?3，x≤55x，x>5，要使f(m)=0，則m≤5，且f(m)=2m?3=0，∴m=log23，∴22m+1=22log23×2=2log29×2=9×2=18；

第二空：∵f(x)存在最大值，當a<0時，x≤a時，f(x)=2x?3≤2a?3<-2，x>a時，f(x)=ax在a，0和0，+∞單調遞增，沒有最大值，不滿足題意；

當a=0故答案為：0.

【分析】第一空：代入a=5，根據函數解析式求得m=log23，進而求22m+1的值；

第二空：分a<0，a=0和a>0討論15．【答案】①③④【解析】【解答】解：①由定義知狄利克雷函數D(x)的值域為{0，1}，①正確；

②當x，y為有理數時，x+y也為有理數，D(x+y)=1，D(x)=1，D(y)=1，D(x+y)<D(x)+D(y)，②錯誤；

③當x為有理數時，-x也為有理數，∴D(x)=D(-x)，當x為無理數時，-x也為無理數，∴D(x)=D(-x)，∴函數D(x)的圖象關于y軸對稱，③正確；

④設x1<x2<x3，假設存在A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC為等腰直角三角形，則故答案為：①③④.

【分析】根據狄利克雷函數的定義逐一分析.16．【答案】（1）解：依題意，A={x|?UA={（2）解：集合C={x∣a?1<x<a+1}因此a+1≤2或a?1≥5，解得a≤1或a≥6，所以實數a的取值范圍是a≤1或a≥6.【解析】【分析】(1)先求出結合A，再根據交集的定義求A∩B，補集的定義求(?UA)，并集的定義求(?U17．【答案】（1）解：設函數為f(x)=ax，則f(?2)=a?2=9（2）解：函數f(x)=(13)x故f(?0.3)>f(0)>f(0.（3）解：函數f(x)=(13)x在R故?m2+m+1>0，解得1?【解析】【分析】(1)設f(x)=ax，代入點(?2，9)求函數f(x)的解析式；

(2)利用指數函數的單調性比較大小；

(3)根據指數函數單性得到18．【答案】（1）解：因為f(x)=2對于任意x∈D，?x∈D，因為所以f(（2）解：當x∈(1，任取x1，x那么f(x因為1<x1<x2即f(x1)>f(x2【解析】【分析】(1)求出f(?x)判斷與f(x)關系，證明f(x)為偶函數；

(2)任取x119．【答案】（1）解：由題意得P(5)?Q(5)=(1+k5)×180=216（2）解：由表中的數據知，當時間變化時，該商品的日銷售量有增有減，并不單調，而①，③中的函數為單調函數，故只能選②，即Q(x)=ax由表中數據可得Q(5)=180，Q(10)=310，即25a+5b=180100a+10b=310，解得a=?1故Q(x)（3）解：由（1）可得P(x)=1+1依題意H(x)=P(x)Q(x)=(1+=?=?=?(x?20)2+441所以當x=20時H(x)取得最大值，即H(x)即H(x)的最大值為441.【解析】【分析】(1)由P(5)?Q(5)=216，代入計算；

(2)首先判斷Q(x)=ax2+bx，再代入數據計算求解a，b，

(3)由H(x)=P(x)Q(x)求出H(x)20．【答案】（1）解：若選擇條件①因為f(所以9?5m=1+3m，故m=1.所以f(因為f(x)解得x<?1或x>1，所以不等式解集為(?∞若選擇條件②?x∈R，f(x)所以對稱軸方程為x=?1，所以x=?m=?1，故m=1.以下同條件條件①.（2）解：不論是條件①或是條件②均可以得到m=1，因為?x∈R，根據（1）中條件①的同種方法即可得到當?1<x<1時，f(所以M(又因為當x∈[1，故當x∈[1，即2m<x+1x+2因為x+1當且僅當x=1時等號成立，故2m<4，即m<2.【解析】【分析】(1)選擇條件①：由f(?3)=f(1)求得m=1，進而根據一元二次不等式解法求不等式f(x)>g(x)的解集；選擇條件②根據二次函數的最值性質求m的值，進而根據一元二次不等式解法求不等式f(x)>g(x)21．【答案】（1）