高中數學精選資源2/211.3.2學習目標核心素養1.掌握直線與平面平行的判定定理和性質定理，并能利用這兩個定理解決空間中的平行關系問題．(重點)2.利用直線與平面平行的判定定理和性質定理證明空間平行問題．(難點)1.通過空間直線與平面位置關系的學習，培養直觀想象的數學核心素養.2.借助直線與平面平行的判定與性質的學習，提升數學抽象、邏輯推理的數學核心素養.1．直線與平面的平行位置關系直線a在平面α內直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點有無數個公共點有且只有一個公共點沒有公共點符號表示aαa∩α＝Aa∥α圖形表示2.直線與平面平行的判定定理及性質定理定理條件結論圖形語言符號語言判定定理平面外的一條直線與平面內的一條直線平行這條直線與這個平面平行________leq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(lα，,m?α，,l∥m))?l∥α性質定理一條直線與一個平面平行，且經過這條直線的平面與這個平面相交這條直線與兩平面的交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α，,l?β，,α∩β＝m))?l∥m1．下列條件中能確定直線a與平面α平行的是()A．aα，bα，a∥bB．bα，a∥bC．bα，cα，a∥b，a∥cD．bα，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BDA[由直線與平面平行的判定定理知選A．]2．下列說法正確的是()A．若直線a∥平面α，直線b∥平面α，則直線a∥直線bB．若直線a∥平面α，直線a與直線b相交，則直線b與平面α相交C．若直線a∥平面α，直線a∥直線b，則直線b∥平面αD．若直線a∥平面α，則直線a與平面α內任意一條直線都無公共點D[A中直線a與直線b也可能異面、相交，所以不正確；B中，直線b也可能與平面α平行，所以不正確；C中，直線b也可能在平面α內，所以不正確；根據直線與平面平行的定義知D正確．]3．若a，b是異面直線，a∥α，則b與α的關系()A．b∥α或bα B．b與α相交或bα或b∥αC．b與α相交或b∥α D．b與α相交或bαB[如圖，長方體ABCD-A′B′C′D′中，①A′D′與AB異面，A′D′∥平面BC′，而AB與平面BC′相交；②A′D′與BB′異面，A′D′∥平面BC′，而BB′在平面BC′內；③分別取AB，A′B′中點E，F，EF與A′D′異面，A′D′∥平面BC′，而EF與平面BC′平行．]4．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，則MN與平面BDC的位置關系是________．平行[因為在△ABD中eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，所以MN∥BD，又因為MN平面BCD，BD平面BCD，所以MN∥平面BCD.]直線與平面平行的判定定理【例1】如圖，在三棱臺DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點．求證：BD∥平面FGH.[思路探究]要證明BD∥平面FGH，需在平面FGH內找到一條直線平行于BD，進而轉化為線線平行的證明．[證明]在三棱臺DEF-ABC中，AB＝2DE，G為AC的中點，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四邊形DFCG為平行四邊形，連接CD、FG.設CD∩FG＝O，則O為CD的中點．又H為BC的中點，所以OH∥BD.又OH平面FGH，BD平面FGH，所以BD∥平面FGH.應用判定定理證明線面平行的步驟上面的第一步“找”是證題的關鍵，其常用方法有：①空間直線平行關系的傳遞性法；②三角形中位線法；③平行四邊形法；④成比例線段法．提醒：線面平行判定定理應用的誤區(1)條件羅列不全，最易忘記的條件是“直線在平面外”．(2)不能利用題目條件順利地找到兩平行直線．1．如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()A[A項，作如圖①所示的輔助線，其中D為BC的中點，則QD∥AB.因為QD∩平面MNQ＝Q，所以QD與平面MNQ相交，所以直線AB與平面MNQ相交．B項，作如圖②所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.C項，作如圖③所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，所以AB∥MQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.D項，作如圖④所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥NQ，所以AB∥NQ.又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.故選A．]直線與平面平行的性質定理【例2】如圖，AB，CD為異面直線，且AB∥α，CD∥α，AC，BD分別交α于M，N兩點．求證：AM∶MC＝BN∶ND.[證明]連接AD交平面α于點E，連接ME和NE.如圖所示，因為平面ACD∩α＝ME，CD∥α，所以CD∥ME，所以eq\f(AM,MC)＝eq\f(AE,ED).同理可得EN∥AB，所以eq\f(AE,ED)＝eq\f(BN,ND).所以eq\f(AM,MC)＝eq\f(BN,ND)，即AM∶MC＝BN∶ND.利用線面平行的性質定理證明線線平行的四個步驟(1)在已知圖形中確定(或尋找)一條直線平行于一個平面．(2)作出(或尋找)過這條直線且與這個平面相交的平面．(3)得出交線．(4)根據線面平行的性質定理得出結論．2．求證：如果一條直線和兩個相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行．[解]已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求證：a∥l.證明：如圖，過a作平面γ交α于b.∵a∥α，∴a∥b.過a作平面ε交平面β于c.∵a∥β，∴a∥c，∴b∥c.又bβ且cβ，∴b∥β.又平面α過b交β于l，∴b∥l.∵a∥b，∴a∥l.線面平行判定定理與性質定理的綜合運用[探究問題]1．如圖，一塊矩形木板ABCD的一邊AB在平面α內，把這塊木板繞AB轉動，在轉動過程中，AB的對邊CD(不落在α內)是否都和平面α平行？[提示]平行．2．若直線l∥平面α，則l平行于平面α內的所有直線嗎？[提示]不是．3．若a∥α，過a與α相交的平面有多少個？這些平面與α的交線與直線a有什么關系？[提示]若a∥α，則過a且與α相交的平面有無數個．這些平面與α的交線與直線a之間相互平行．【例3】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點P∈BB1(P不與B，B1重合)，PA∩A1B＝M，PC∩BC1＝N.求證：MN∥平面ABCD[證明]連接AC，A1C1在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四邊形ACC1A1是平行四邊形，所以AC∥A1C1，因為AC平面A1BC1，A1C1平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1，因為AC平面PAC，平面A1BC1∩平面PAC＝MN，所以AC∥MN.因為MN平面ABCD，AC平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.利用線面平行的判定定理和性質定理的關鍵及思考方向關鍵：是過直線作平面與已知平面相交．思考方向：若條件中含有線線平行，可考慮線面平行的判定定理的條件；若條件中含有線面平行，可考慮線面平行的性質定理得線線平行．3．如圖，已知A，B，C，D四點不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，則四邊形EFHG的形狀是________．平行四邊形[因為平面ADC∩α＝EF，且CD∥α，所以EF∥CD；同理可證GH∥CD，EG∥AB，FH∥AB.所以GH∥EF，EG∥FH.所以四邊形EFHG是平行四邊形．]1．直線與平面平行的判定定理的理解判定直線l和平面α平行時，必須具備三個條件①直線l在平面α外，即lα；②直線m在平面α內，即mα；③兩直線l，m平行，即l∥m.這三個條件缺一不可．2．直線與平面平行的性質定理的理解應用性質定理時，必須具備的三個條件①直線l平行于平面α，即l∥α，②直線l在平面β內，即lβ，③兩平面α與β相交，即α∩β＝m，這三個條件缺一不可．3．證明線與線、線與面的平行關系的一般規律是：“由已知想性質，由求證想判定”，是分析和解決問題的一般思維方法，而作輔助線和輔助面往往是溝通已知和未知的有效手段．1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若直線與平面不相交，則直線與平面平行． ()(2)過一點有且只有一條直線與已知直線平行． ()(3)直線l上有無數多個點在平面α外，則l∥α. ()(4)過平面外一點有且只有一條直線與該平面平行． ()[解析](1)錯誤．若直線與平面不相交，則直線在平面內或直線與平面平行．(2)錯誤．當點在已知直線上時，不存在過該點的直線與已知直線平行，故(2)錯．(3)錯誤．直線l也可能與平面α相交．(4)錯誤．在棱柱的上底面內，過一點任意作一條直線都與棱柱的下底面平行，所以過平面外一點與已知平面平行的直線有無數條，故(4)錯．[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．M∈l，N∈l，Nα，M∈α，則有()A．l∥α B．lαC．l與α相交 D．以上都有可能C[由符號語言知，直線l上有一點在平面α內，另一點在α外，故l與α相交．]3．正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與過A，C，E平行[如圖所