§2.7函數的圖像最新考綱考情考向分析1.在實際情境中，會根據不同的需要選擇圖象法、列表法、解析法表示函數．2.會運用函數圖象理解和研究函數的性質，解決方程解的個數與不等式解的問題.函數圖象的辨析；函數圖象和函數性質的綜合應用；利用圖象解方程或不等式，題型以選擇題為主，中檔難度.1．描點法作圖方法步驟：(1)確定函數的定義域；(2)化簡函數的解析式；(3)討論函數的性質即奇偶性、周期性、單調性、最值(甚至變化趨勢)；(4)描點連線，畫出函數的圖像．2．圖像變換(1)平移變換(2)對稱變換①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關于x軸對稱))y＝－f(x)；②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關于y軸對稱))y＝f(－x)；③y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關于原點對稱))y＝－f(－x)；④y＝ax(a>0且a≠1)eq\o(→,\s\up7(關于y＝x對稱))y＝logax(a>0且a≠1)．(3)伸縮變換①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>1，橫坐標縮短為原來的\f(1,a)\s\do5()倍，縱坐標不變,0<a<1，橫坐標伸長為原來的\f(1,a)倍，縱坐標不變))y＝f(ax)．②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>1，縱坐標伸長為原來的a倍，橫坐標不變),\s\do5(0<a<1，縱坐標縮短為原來的a倍，橫坐標不變))y＝af(x)．(4)翻折變換①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x軸上方圖像),\s\do5(將x軸下方圖像翻折上去))y＝|f(x)|.②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留y軸右邊圖像，并作其),\s\do5(關于y軸對稱的圖像))y＝f(|x|)．知識拓展1．關于對稱的三個重要結論(1)函數y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖像關于直線x＝a對稱．(2)函數y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖像關于點(a，b)中心對稱．(3)若函數y＝f(x)的定義域內任意自變量x滿足：f(a＋x)＝f(a－x)，則函數y＝f(x)的圖像關于直線x＝a對稱．2．函數圖像平移變換八字方針(1)“左加右減”，要注意加減指的是自變量．(2)“上加下減”，要注意加減指的是函數值．題組一思考辨析1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)當x∈(0，＋∞)時，函數y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖像相同．(×)(2)函數y＝af(x)與y＝f(ax)(a>0且a≠1)的圖像相同．(×)(3)函數y＝f(x)與y＝－f(x)的圖像關于原點對稱．(×)(4)若函數y＝f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，則函數f(x)的圖像關于直線x＝1對稱．(√)題組二教材改編2．函數f(x)＝x＋eq\f(1,x)的圖像關于()A．y軸對稱 B．x軸對稱C．原點對稱 D．直線y＝x對稱答案C解析函數f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函數f(x)為奇函數，故選C.3．小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速度行駛，與以上事件吻合得最好的圖像是()答案C解析小明勻速運動時，所得圖像為一條直線，且距離學校越來越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段時間，與學校的距離不變，故排除D.后來為了趕時間加快速度行駛，故排除B.故選C.4．如圖，函數f(x)的圖像為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是__________．答案(－1,1]解析在同一坐標系內作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的圖像(如圖)．由圖像知不等式的解集是(－1,1]．題組三易錯自糾5．下列圖像是函數y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x<0，,x－1，x≥0))的圖像的是()答案C6．將函數y＝f(－x)的圖像向右平移1個單位長度得到函數__________的圖像．答案f(－x＋1)解析圖像向右平移1個單位長度，是將f(－x)中的x變成x－1.7．設f(x)＝|lg(x－1)|，若0<a<b且f(a)＝f(b)，則ab的取值范圍是________．答案(4，＋∞)解析畫出函數f(x)＝|lg(x－1)|的圖像如圖所示．由f(a)＝f(b)可得－lg(a－1)＝lg(b－1)，解得ab＝a＋b>2eq\r(ab)(由于a<b，故取不到等號)，所以ab>4.題型一作函數的圖像作出下列函數的圖像：(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝x2－2|x|－1.解(1)作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖像，保留y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖像中x≥0的部分，再作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖像中x>0部分關于y軸的對稱部分，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|的圖像，如圖①實線部分．(2)將函數y＝log2x的圖像向左平移1個單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數y＝|log2(x＋1)|的圖像，如圖②實線部分．(3)∵y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0，))且函數為偶函數，先用描點法作出[0，＋∞)上的圖像，再根據對稱性作出(－∞，0)上的圖像，如圖③實線部分．思維升華圖像變換法作函數的圖像(1)熟練掌握幾種基本函數的圖像，如二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數、形如y＝x＋eq\f(1,x)的函數．(2)若函數圖像可由某個基本函數的圖像經過平移、翻折、對稱和伸縮得到，可利用圖像變換作出，但要注意變換順序．題型二函數圖像的辨識典例(1)(2018屆東莞外國語學校月考)已知函數f(x)對任意的x∈R有f(x)＋f(－x)＝0，且當x>0時，f(x)＝ln(x＋1)，則函數f(x)的大致圖像為()答案A解析f(x)為奇函數，圖像關于原點對稱，將y＝lnx(x>1)的圖像向左平移1個單位得到y＝ln(x＋1)(x>0)的圖像．(2)已知定義在區間[0,2]上的函數y＝f(x)的圖像如圖所示，則y＝－f(2－x)的圖像為()答案B解析方法一由y＝f(x)的圖像知，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，0≤x≤1，,1，1<x≤2.))當x∈[0,2]時，2－x∈[0,2]，所以f(2－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，0≤x<1，,2－x，1≤x≤2，))故y＝－f(2－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，0≤x<1，,x－2，1≤x≤2.))圖像應為B.方法二當x＝0時，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；當x＝1時，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.觀察各選項，可知應選B.思維升華函數圖像的辨識可從以下方面入手(1)從函數的定義域，判斷圖像的左右位置；從函數的值域，判斷圖像的上下位置；(2)從函數的單調性，判斷圖像的變化趨勢；(3)從函數的奇偶性，判斷圖像的對稱性；(4)從函數的周期性，判斷圖像的循環往復；(5)從函數的特征點，排除不合要求的圖像．跟蹤訓練(1)(2018屆全國名校聯考)函數y＝eq\f(|x|ax,x)(a>1)的圖像的大致形狀是()答案C解析y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x>0，,－ax，x<0))(a>1)，對照圖像選C.(2)(2017·安徽“江南十校”聯考)函數y＝log2(|x|＋1)的圖像大致是()答案B解析y＝log2(|x|＋1)是偶函數，當x≥0時，y＝log2(x＋1)是增函數，其圖像是由y＝log2x的圖像向左平移1個單位得到，且過點(0,0)，(1,1)，只有選項B滿足．題型三函數圖像的應用命題點1研究函數的性質典例(1)設函數y＝eq\f(2x－1,x－2)，關于該函數圖像的命題如下：①一定存在兩點，這兩點的連線平行于x軸；②任意兩點的連線都不平行于y軸；③關于直線y＝x對稱；④關于原點中心對稱．其中正確的是________．答案②③解析y＝eq\f(2x－1,x－2)＝eq\f(2x－2＋3,x－2)＝2＋eq\f(3,x－2)，圖像如圖所示，可知②③正確．(2)(2017·沈陽一模)已知函數f(x)＝|log3x|，實數m，n滿足0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值為2，則eq\f(n,m)＝________.答案9解析作出函數f(x)＝|log3x|的圖像，觀察可知0<m<1<n且mn＝1.若f(x)在[m2，n]上的最大值為2，從圖像分析應有f(m2)＝2，∴log3m2＝－2，∴m2＝eq\f(1,9).從而m＝eq\f(1,3)，n＝3，故eq\f(n,m)＝9.命題點2解不等式典例函數f(x)是定義在[－4,4]上的偶函數，其在[0,4]上的圖像如圖所示，那么不等式eq\f(fx,cosx)<0的解集為________________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))解析當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，y＝cosx>0.當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，4))時，y＝cosx<0.結合y＝f(x)，x∈[0,4]上的圖像知，當1<x<eq\f(π,2)時，eq\f(fx,cosx)<0.又函數y＝eq\f(fx,cosx)為偶函數，所以在[－4,0]上，eq\f(fx,cosx)<0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))，所以eq\f(fx,cosx)<0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))).命題點3求參數的取值范圍典例(1)已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log\f(1,2)x，x>0，,2x，x≤0，))若關于x的方程f(x)＝k有兩個不等的實數根，則實數k的取值范圍是________．答案(0,1]解析作出函數y＝f(x)與y＝k的圖像，如圖所示，由圖可知k∈(0,1]．(2)設函數f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，對于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，則實數a的取值范圍是__________．答案[－1，＋∞)解析如圖作出函數f(x)＝|x＋a|與g(x)＝x－1的圖像，觀察圖像可知，當且僅當－a≤1，即a≥－1時，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范圍是[－1，＋∞)．思維升華(1)注意函數圖像特征與性質的對應關系．(2)方程、不等式的求解可轉化為函數圖像的交點和上下關系問題．跟蹤訓練(1)已知函數f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有兩個不相等的實根，則實數k的取值范圍是__________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析先作出函數f(x)＝|x－2|＋1的圖像，如圖所示，當直線g(x)＝kx與直線AB平行時斜率為1，當直線g(x)＝kx過A點時斜率為eq\f(1,2)，故f(x)＝g(x)有兩個不相等的實根時，k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(2)已知函數y＝f(x)的圖像是圓x2＋y2＝2上的兩段弧，如圖所示，則不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是__________．答案(－1,0)∪(1，eq\r(2)]解析由圖像可知，函數f(x)為奇函數，故原不等式可等價轉化為f(x)>－x.在同一直角坐標系中分別畫出y＝f(x)與y＝－x的圖像，由圖像可知不等式的解集為(－1,0)∪(1，eq\r(2)]．高考中的函數圖像及應用問題考點分析高考中考查函數圖像問題主要有函數圖像的識別，函數圖像的變換及函數圖像的應用等，多以小題形式考查，難度不大，常利用特殊點法、排除法、數形結合法等解決．熟練掌握高中涉及的幾種基本初等函數是解決前提．一、函數的圖像和解析式問題典例1(1)(2017·太原二模)函數f(x)＝eq\f(ln|x－1|,|1－x|)的圖像大致為()(2)已知函數f(x)的圖像如圖所示，則f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝eq\f(ln|x|,x) B．f(x)＝eq\f(ex,x)C．f(x)＝eq\f(1,x2)－1 D．f(x)＝x－eq\f(1,x)解析(1)函數f(x)＝eq\f(ln|x－1|,|1－x|)的定義域為(－∞，1)∪(1，＋∞)，且圖像關于x＝1對稱，排除B，C.取特殊值，當x＝eq\f(1,2)時，f(x)＝2lneq\f(1,2)<0，故選D.(2)由函數圖像可知，函數f(x)為奇函數，應排除B，C.若函數為f(x)＝x－eq\f(1,x)，則x→＋∞時，f(x)→＋∞，排除D，故選A.答案(1)D(2)A二、函數圖像的變換問題典例2若函數y＝f(x)的圖像如圖所示，則函數y＝－f(x＋1)的圖像大致為()解析由y＝f(x)的圖像得到y＝－f(x＋1)的圖像，需要先將y＝f(x)的圖像關于x軸對稱得到y＝－f(x)的圖像，然后再向左平移一個單位得到y＝－f(x＋1)的圖像，根據上述步驟可知C正確．答案C三、函數圖像的應用典例3(1)若函數f(x)＝eq\f(2－mx,x2＋m)的圖像如圖所示，則m的取值范圍為()A．(－∞，－1) B．(－1,2)C．(0,2) D．(1,2)(2)已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπx，0≤x≤1，,log2018x，x>1，))若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則a＋b＋c的取值范圍是()A．(1,2018) B．[1,2018]C．(2,2019) D．[2,2019]解析(1)根據圖像可知，函數圖像過原點，即f(0)＝0，∴m≠0.當x>0時，f(x)>0，∴2－m>0，即m<2，函數f(x)在[－1,1]上是增加的，∴f′(x)>0在[－1,1]上恒成立，f′(x)＝eq\f(2－mx2＋m－2x2－mx,x2＋m2)＝eq\f(m－2x2－m,x2＋m2)>0，∵m－2<0，∴只需要x2－m<0在[－1,1]上恒成立，∴(x2－m)max<0，∴m>1，綜上所述，1<m<2，故選D.(2)函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπx，0≤x≤1，,log2018x，x>1))的圖像如圖所示，不妨令a<b<c，由正弦曲線的對稱性可知a＋b＝1，而1<c<2018，所以2<a＋b＋c<2019，故選C.答案(1)D(2)C1．(2018屆珠海二中月考)函數y＝2x－x2的圖像大致是()答案A解析易知x→＋∞時，y→＋∞，排除C；x→－∞時，y→－∞，排除D；又當x＝2和x＝4時，y＝0，故選A.2．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，x≤1，,logx，x>1，))則y＝f(1－x)的圖像是()答案C解析方法一畫出y＝f(x)的圖像，再作其關于y軸對稱的圖像，得到y＝f(－x)的圖像，再將所得圖像向右平移1個單位，得到y＝f(－(x－1))＝f(－x＋1)的圖像．方法二∵y＝f(1－x)過點(0,3)，可排除A；過點(1,1)，可排除B；又x＝－eq\f(1,2)時，f(1－x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<0，可排除D.故選C.3．(2018屆全國名校聯考)函數f(x)＝eq\f(e2x＋1,ex)(e是自然對數的底數)的圖像()A．關于x軸對稱 B．關于y軸對稱C．關于原點對稱 D．關于直線y＝x對稱答案B解析∵f(x)＝ex＋e－x，∴f(x)為偶函數，圖像關于y軸對稱．4．已知函數f(x)＝2lnx，g(x)＝x2－4x＋5，則方程f(x)＝g(x)的根的個數為()A．0B．1C．2D．3答案C解析在平面直角坐標系內作出f(x)，g(x)的圖像如圖所示，由已知g(x)＝(x－2)2＋1，得其頂點為(2,1)，又f(2)＝2ln2∈(1,2)，可知點(2,1)位于函數f(x)＝2lnx圖像的下方，故函數f(x)＝2lnx的圖像與函數g(x)＝x2－4x＋5的圖像有2個交點．

5．函數f(x)的圖像向右平移1個單位，所得圖像與曲線y＝ex關于y軸對稱，則f(x)的解析式為()A．f(x)＝ex＋1 B．f(x)＝ex－1C．f(x)＝e－x＋1 D．f(x)＝e－x－1答案D解析與y＝ex的圖像關于y軸對稱的函數為y＝e－x.依題意，f(x)的圖像向右平移一個單位，－1.6．對于函數f(x)＝lg(|x－2|＋1)，給出如下三個命題：①f(x＋2)是偶函數；②f(x)在區間(－∞，2)上是減函數，在區間(2，＋∞)上是增函數；③f(x)沒有最小值．其中正確的個數為()A．1B．2C．3D．0答案B解析作出f(x)的圖像，可知f(x)在(－∞，2)上是減函數，在(2，＋∞)上是增函數；由圖像可知函數存在最小值0.所以①②正確．7．函數f(x)＝|x|－cosx在(－∞，＋∞)內有____個零點．答案2解析在同一坐標系內畫出兩個函數y1＝|x|和y2＝cosx的圖像如圖所示．這兩個函數的圖像有且只有2個交點，即函數f(x)有2個零點．8．設函數y＝f(x＋1)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函數，在區間(－∞，0)上是減函數，且圖像過點(1,0)，則不等式(x－1)f(x)≤0的解集為______________．答案{x|x≤0或1<x≤2}解析畫出f(x)的大致圖像如圖所示．不等式(x－1)f(x)≤0可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1，,fx≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<1，,fx≥0.))由圖可知符合條件的解集為{x|x≤0或1<x≤2}．9．(2017·銀川調研)給定min{a，b}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，b<a，))已知函數f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4，若動直線y＝m與函數y＝f(x)的圖像有3個交點，則實數m的取值范圍為__________．答案(4,5)解析作出函數f(x)的圖像，函數f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4的圖像如圖所示，由于直線y＝m與函數y＝f(x)的圖像有3個交點，數形結合可得m的取值范圍為(4,5)．10．已知定義在R上的函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lg|x|，x≠0，,1，x＝0，))關于x的方程f(x)＝c(c為常數)恰有三個不同的實數根x1，x2，x3，則x1＋x2＋x3＝________.答案0解析方程f(x)＝c有三個不同的實數根等價于y＝f(x)與y＝c的圖像有三個交點，畫出函數f(x)的圖像(圖略)，易知c＝1，且方程f(x)＝c的一根為0，令lg|x|＝1，解得x＝－10或10，故方程f(x)＝c的另兩根為－10和10，所以x1＋x2＋x3＝0.11．函數y＝ln|x－1|的圖像與函數y＝－2cosπx(－2≤x≤4)的圖像所有交點的橫坐標之和等于________．答案6解析作出函數y＝ln|x－1|的圖像，又y＝－2cosπx的最小正周期為T＝2，如圖所示，兩圖像都關于直線x＝1對稱，且共有6個交點，由中點坐標公式可得所有交點的橫坐標之和為6.12．已知f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)作出函數f(x)的圖像；(2)求函數f(x)的單調區間，并指出其單調性；(3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四個不相等的實根}．解(1)當x2－4x＋3≥0時，x≤1或x≥3，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3，x≤1或x≥3，,－x2＋4x－3，1<x<3，))∴f(x)的圖像為：(2)由函數的圖像可知f(x)的單調區間是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是遞減區間；(1,2]，[3，＋∞)是遞增區間．(3)由f(x)的圖像知，當0<m<1時，f(x)＝m有四個不相等的實根，所以M＝{m|0<m<1}．13．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－1，x≥0，,x2－2x－1，x<0，))則對任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是()A．f(x1)＋f(x2)<0 B．f(x1)＋f(x2)>0C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0答案D解析函數f(x)的圖像如圖實線部分所示，且f(－x)＝f(x)，從而函數f(x)是偶函數且在[0，＋∞)上是增函數，又0<|x1|<|x2|，∴f(x2)>f(x1)，即f(x1)－f(