PAGE1-第三節萬有引力理論的成就目標體系構建明確目標·梳理脈絡【學習目標】1．了解萬有引力定律在天文學上的重要應用。2．會用萬有引力定律計算天體的質量。3．駕馭運用萬有引力定律探討天體問題的思路、方法。【思維脈絡】課前預習反饋教材梳理·落實新知學問點1計算地球的質量1．原理若不考慮地球自轉的影響，地面上質量為m的物體所受的重力近似等于地球對物體的__引力__。2．關系式mg＝__Geq\f(mM,R2)__3．結果地球的質量為：M＝__eq\f(gR2,G)__＝5.96×1024kg學問點2計算天體的質量1．計算太陽的質量(1)原理：將行星的運動近似看作勻速圓周運動，行星做圓周運動的向心力由__萬有引力__來供應。(2)關系式：Geq\f(Mm,r2)＝__m(eq\f(2π,T))2r__(3)結果：M＝__eq\f(4π2r3,GT2)__。2．其他行星的質量計算利用繞行星運轉的衛星，若測出該衛星與行星間的__距離__和轉動__周期__，同樣可得出行星的質量。學問點3發覺未知天體1．海王星的發覺英國劍橋高校的學生__亞當斯__和法國年輕的天文學家__勒維耶__依據天王星的觀測資料，利用萬有引力定律計算出天王星外“新”行星的軌道。1846年9月23日，德國的__伽勒__在勒維耶預言的位置旁邊發覺了這顆行星——海王星。2．其他天體的發覺近100年來，人們在海王星的軌道之外又發覺了__冥王星__、鬩神星等幾個較大的天體。預習自測『判一判』(1)天王星是依據萬有引力定律計算的軌道而發覺的。(×)(2)海王星的發覺確立了萬有引力定律的地位。(√)(3)牛頓依據萬有引力定律計算出了海王星的軌道。(×)(4)地球表面的物體的重力必定等于地球對它的萬有引力。(×)(5)若只知道某行星繞太陽做圓周運動的半徑，則可以求出太陽的質量。(×)(6)若知道某行星繞太陽做圓周運動的線速度和角速度，則可以求出太陽的質量。(√)『選一選』土星最大的衛星叫“泰坦”(如圖)，每16天繞土星一周，其公轉軌道半徑約為1.2×106km，已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，則土星的質量約為(B)A．5×1017kg B．5×1026kgC．7×1033kg D．4×1036kg解析：由萬有引力定律得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)M＝eq\f(4π2r3,GT2)代入數據得M＝5×1026kg，故選項B正確。『想一想』月球是地球的唯一一顆自然衛星，月球已經伴隨地球超過46億年，依據月球的公轉周期和軌道半徑，我們能否推導出月球的質量，能否推導出地球的質量？解析：能求出地球的質量。利用Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r求出的質量M＝eq\f(4π2r3,GT2)為中心天體的質量。做圓周運動的月球的質量m在等式中已消掉，所以依據月球的周期T、公轉半徑r，無法計算月球的質量。課內互動探究細研深究·破疑解難探究天體質量和密度的計算┃┃情境導入■視察下面兩幅圖片，請思索：(1)假如知道自己的重力，你能否求出地球的質量；(2)如何能測得太陽的質量呢？提示：(1)人的重力近似認為等于受到的萬有引力，依據mg＝Geq\f(Mm,R2)可求地球質量；(2)地球繞太陽轉動時的向心力由萬有引力供應，依據eq\f(GMm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r可求太陽質量。┃┃要點提煉■求天體質量和密度的幾種方法情景及求解思路結果天體質量的計算①已知所求星體的半徑R及其表面的重力加速度g，則Geq\f(Mm,R2)＝mgM＝eq\f(gR2,G)②質量為m的行星繞所求星體做勻速圓周運動，萬有引力供應行星所需的向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝m(eq\f(2π,T))2r①M＝eq\f(rv2,G)②M＝eq\f(r3ω2,G)③M＝eq\f(4π2r3,GT2)天體密度的計算ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)當星球繞中心天體表面運行時，r＝R：ρ＝eq\f(3π,GT2)特殊提示(1)利用萬有引力供應向心力的方法只能求解中心天體的質量，而不能求出做圓周運動的行星或衛星的質量。(2)要留意R、r的區分。R指中心天體的半徑，r指行星或衛星的軌道半徑。┃┃典例剖析■典題1為了探討太陽演化進程，需知道目前太陽的質量M。已知地球半徑R＝6.4×106m，地球質量m＝6×1024kg，日地中心的距離r＝1.5×1011m，地球表面處的重力加速度g＝10m/s2,1年約為3.2×107s，試估算目前太陽的質量M(保留兩位有效數字，引力常量未知)思路引導：求天體質量的方法主要有兩大類，一類是利用此天體的一個衛星(或行星)繞它做勻速圓周運動的有關規律來求，另一類是利用天體表面處的重力加速度來求，這兩類方法本質上都是對萬有引力定律的應用。解析：設T為地球繞太陽運動的周期，則由萬有引力定律和動力學學問得，Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r①對地球表面物體m′，有m′g＝Geq\f(mm′,R2)②①②兩式聯立，得M＝eq\f(4π2mr3,gR2T2)代入已知數據得M＝2.0×1030kg。答案：2.0×1030kg┃┃對點訓練■1．(多選)(2024·山東煙臺市三校高一下學期聯考)2013年6月11日17時38分，我國利用“神舟十號”飛船將聶海勝、張曉光、王亞平三名宇航員送入太空。設宇航員測出自己繞地球做勻速圓周運動的周期為T，離地高度為H，地球半徑為R，則依據T、H、R和引力常量G，能計算出的物理量是(ABD)A．地球的質量 B．地球的平均密度C．飛船所需的向心力 D．飛船線速度的大小解析：由Geq\f(Mm,R＋H2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋H)，可得：M＝eq\f(4π2R＋H3,GT2)，選項A可求出；又依據ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)，選項B可求出；依據v＝eq\f(2πR＋H,T)，選項D可求出；由于飛船的質量未知，所以無法確定飛船的向心力。探究應用萬有引力定律分析計算天體運動的問題┃┃情境導入■已知地球、火星都繞太陽轉動，火星的公轉半徑是地球的1.5倍。依據以上材料：(1)地球和火星，誰繞太陽轉一圈時間長？公轉周期之比是多少？(2)地球和火星，誰繞太陽運動的速度大？運動速度之比是多少？提示：(1)火星；eq\f(2\r(6),9)(2)地球；eq\f(\r(6),2)┃┃要點提煉■1．兩條思路(1)萬有引力供應天體運動的向心力質量為m的行星繞質量為M的星體在半徑為r的軌道上做勻速圓周運動時，由牛頓其次定律及圓周運動學問得Geq\f(Mm,r2)＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝m(eq\f(2π,T))2r。(2)黃金替換質量為m的物體在地球(星體)表面受到的萬有引力等于其重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg。可以得到：GM＝gR2由于G和M(地球質量)這兩個參數往往不易記住，而g和R簡單記住。所以粗略計算時，一般都采納上述代換，這就避開了萬有引力常量G值和地球的質量M值，特別便利。2．行星運動的線速度、角速度、周期與軌道半徑的關系(1)線速度v：由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，可見，r越大，v越小；r越小，v越大。(2)角速度ω：由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，可見，r越大，ω越小；r越小，ω越大。(3)周期T：由Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，可見，r越大，T越大；r越小，T越小。(4)向心加速度an：由Geq\f(Mm,r2)＝man得an＝eq\f(GM,r2)，可見，r越大，an越小；r越小，an越大。以上結論可總結為“肯定四定，越遠越慢”。特殊提示應用萬有引力定律求解時還要留意挖掘題目中的隱含條件，如地球公轉一周時間是365天，自轉一周是24小時，其表面的重力加速度約為9.8m/s2等。┃┃典例剖析■典題2如圖所示，在火星與木星軌道之間有一小行星帶。假設該帶中的小行星只受到太陽的引力，并繞太陽做勻速圓周運動。下列說法正確的是(C)A．太陽對各小行星的引力相同B．各小行星繞太陽運動的周期均小于一年C．小行星帶內側小行星的向心加速度值大于外側小行星的向心加速度值D．小行星帶內各小行星圓周運動的線速度值大于地球公轉的線速度值思路引導：依據太陽對行星的萬有引力供應行星運動的向心力求解。解析：由F＝eq\f(GMm,r2)可知，若m和r不相同，則F不肯定相同，A錯；據eq\f(GMm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，因此行星的周期均大于地球的公轉周期，B錯；由a＝eq\f(GM,r2)可知r越小，a越大，C正確；由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，r越小，v越大，D錯。┃┃對點訓練■2．(多選)2003年8月29日，火星、地球和太陽處于三點一線，上演“火星沖日”的天象奇觀。這是6萬年來火星距地球最近的一次，與地球之間的距離只有5576萬公里，為人類探討火星供應了最佳時機。如圖所示為美國宇航局最新公布的“火星沖日”的虛擬圖，則有(BD)A．2003年8月29日，火星的線速度大于地球的線速度B．2003年8月29日，火星的線速度小于地球的線速度C．2004年8月29日，火星又回到了該位置D．2004年8月29日，火星還沒有回到該位置解析：火星和地球均繞太陽做勻速圓周運動Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可得：v＝eq\r(\f(GM,r))，所以軌道半徑較大的火星線速度小，B正確；火星軌道半徑大，線速度小，火星運動的周期較大，所以一年后地球回到該位置，而火星則還沒有回到，D正確。核心素養提升以題說法·啟智培優易錯點：對物理概念理解不透徹，盲目套用公式導致錯誤案例月球繞地球做勻速圓周運動，已知地球表面的重力加速度為g0，地球質量M與月球質量m之比eq\f(M,m)＝81，地球半徑R0與月球半徑R之比eq\f(R0,R)＝3.6，地球與月球之間的距離r與地球的半徑R0之比eq\f(r,R0)＝60。求月球表面的重力加速度g與地球表面的重力加速度g0的比值。易錯分析：對于本題，部分同學由Geq\f(mM,R2)＝mg得eq\f(g,g0)＝eq\f(R\o\al(2,0),r2)＝eq\f(1,3600)，這是錯誤的，錯誤的緣由是對公式Geq\f(Mm,R2)＝mg中各物理量的含義相識不清。正確解答：由Geq\f(Mm,R2)＝mg得地球及月球表面的重力加速度分別為g0＝eq\f(GM,R\o\a