PAGE10.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解隨機(jī)事務(wù)的并、交與互斥的含義．(重點(diǎn))2．能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事務(wù)的并、交運(yùn)算．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.通過(guò)對(duì)隨機(jī)事務(wù)的并、交與互斥的含義的學(xué)習(xí)，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過(guò)隨機(jī)事務(wù)的并、交運(yùn)算，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).在擲骰子試驗(yàn)中，定義如下事務(wù)：C1＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}；C2＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}；C3＝{出現(xiàn)3點(diǎn)}；C4＝{出現(xiàn)4點(diǎn)}；C5＝{出現(xiàn)5點(diǎn)}；C6＝{出現(xiàn)6點(diǎn)}；D1＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}；D2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于3}；D3＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于5}；E＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}，F(xiàn)＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于4}，G＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù))，H＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}．問(wèn)題：在上述事務(wù)中，(1)事務(wù)C1與事務(wù)C2的并事務(wù)是什么？(2)事務(wù)D2與事務(wù)G及事務(wù)C2間有什么關(guān)系？(3)事務(wù)C1與事務(wù)C2間有什么關(guān)系？(4)事務(wù)E與事務(wù)F間有什么關(guān)系？1．包含關(guān)系定義一般地，若事務(wù)A發(fā)生，則事務(wù)B肯定發(fā)生，我們就稱(chēng)事務(wù)B包含事務(wù)A(或事務(wù)A包含于事務(wù)B)含義A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生符號(hào)表示B?A(或A?B)圖形表示特別情形假如事務(wù)B包含事務(wù)A，事務(wù)A也包含事務(wù)B，即B?A且A?B，則稱(chēng)事務(wù)A與事務(wù)B相等，記作A＝B2.并事務(wù)(和事務(wù))定義一般地，事務(wù)A與事務(wù)B至少有一個(gè)發(fā)生，這樣的一個(gè)事務(wù)中的樣本點(diǎn)或者在事務(wù)A中，或者在事務(wù)B中，我們稱(chēng)這個(gè)事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)(或和事務(wù))含義A與B至少一個(gè)發(fā)生符號(hào)表示A∪B(或A＋B)圖形表示3.交事務(wù)(積事務(wù))定義一般地，事務(wù)A與事務(wù)B同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事務(wù)中的樣本點(diǎn)既在事務(wù)A中，也在事務(wù)B中，我們稱(chēng)這樣的一個(gè)事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)(或積事務(wù))含義A與B同時(shí)發(fā)生符號(hào)表示A∩B(或AB)圖形表示4.互斥(互不相容)定義一般地，假如事務(wù)A與事務(wù)B不能同時(shí)發(fā)生，也就是說(shuō)A∩B是一個(gè)不行能事務(wù)，即A∩B＝?，則稱(chēng)事務(wù)A與事務(wù)B互斥(或互不相容)含義A與B不能同時(shí)發(fā)生符號(hào)表示A∩B＝?圖形表示5.互為對(duì)立定義一般地，假如事務(wù)A與事務(wù)B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝?，那么稱(chēng)事務(wù)A與事務(wù)B互為對(duì)立．事務(wù)A的對(duì)立事務(wù)記為eq\o(A,\s\up7(－))含義A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生符號(hào)表示A∩B＝?，A∪B＝Ω圖形表示思索1：一粒骰子擲一次，記事務(wù)A＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2}，事務(wù)C＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，事務(wù)D＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3}，則事務(wù)A，C，D有什么關(guān)系？[提示]A＝C∩D．思索2：命題“事務(wù)A與B為互斥事務(wù)”與命題“事務(wù)A與B為對(duì)立事務(wù)”什么關(guān)系？(指充分性與必要性)[提示]依據(jù)互斥事務(wù)和對(duì)立事務(wù)的概念可知，“事務(wù)A與B為互斥事務(wù)”是“事務(wù)A與B為對(duì)立事務(wù)”的必要不充分條件．1．思索辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)若兩個(gè)事務(wù)是互斥事務(wù)，則這兩個(gè)事務(wù)是對(duì)立事務(wù)． ()(2)若事務(wù)A和B是互斥事務(wù)，則A∩B是不行能事務(wù)． ()(3)事務(wù)A∪B是必定事務(wù)，則事務(wù)A和B是對(duì)立事務(wù)． ()[提示](1)錯(cuò)誤．對(duì)立事務(wù)是互斥事務(wù)，但互斥事務(wù)不肯定是對(duì)立事務(wù)．(2)正確．因?yàn)槭聞?wù)A和B是互斥事務(wù)，所以A∩B為空集，所以A∩B是不行能事務(wù)．(3)錯(cuò)誤．反例：拋擲一枚骰子，事務(wù)A為：向上的點(diǎn)數(shù)小于5，事務(wù)B為：向上的點(diǎn)數(shù)大于2，則事務(wù)A∪B是必定事務(wù)，但事務(wù)A和B不是對(duì)立事務(wù)．[答案](1)×(2)√(3)×2．許洋說(shuō)：“本周我至少做完3套練習(xí)題．”設(shè)許洋所說(shuō)的事務(wù)為A，則A的對(duì)立事務(wù)為()A．至多做完3套練習(xí)題B．至多做完2套練習(xí)題C．至多做完4套練習(xí)題D．至少做完3套練習(xí)題B[至少做完3套練習(xí)題包含做完3,4,5,6…套練習(xí)題，故它的對(duì)立事務(wù)為做完0,1,2套練習(xí)題，即至多做完2套練習(xí)題．]3．從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事務(wù)是()A．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”C．“恰有一個(gè)黑球”與“恰有兩個(gè)黑球”D．“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”C[A中的兩個(gè)事務(wù)能同時(shí)發(fā)生，故不互斥；同樣，B中兩個(gè)事務(wù)也可同時(shí)發(fā)生，故不互斥；D中兩個(gè)事務(wù)是對(duì)立的，故選C．]4．拋擲一枚骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事務(wù)A，“向上的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事務(wù)B，則()A．A?BB．A＝BC．A∪B表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3D．A∩B表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3C[設(shè)A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的點(diǎn)數(shù)為1或2或3.]事務(wù)關(guān)系的推斷【例1】從一堆產(chǎn)品(其中正品與次品都多于2件)中任取2件，視察正品件數(shù)與次品件數(shù)，推斷下列每對(duì)事務(wù)是不是互斥事務(wù)，假如是，再推斷它們是不是對(duì)立事務(wù)．①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；②“至少有1件次品”和“全是次品”；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．[解]依據(jù)互斥事務(wù)的定義，即事務(wù)A與事務(wù)B在一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生可知：①中恰好有1件次品和恰好有2件次品不行能同時(shí)發(fā)生，因此它們是互斥事務(wù)，又因?yàn)樗鼈兊暮褪聞?wù)不是必定事務(wù)，所以它們不是對(duì)立事務(wù)；同理可以推斷：②中的2個(gè)事務(wù)不是互斥事務(wù)，從而也不是對(duì)立事務(wù)；③中的2個(gè)事務(wù)不是互斥事務(wù)，從而也不是對(duì)立事務(wù)．推斷事務(wù)間關(guān)系的方法1要考慮試驗(yàn)的前提條件，無(wú)論是包含、相等，還是互斥、對(duì)立，其發(fā)生的條件都是一樣的.2考慮事務(wù)間的結(jié)果是否有交事務(wù)，可考慮利用Venn圖分析，對(duì)較難推斷關(guān)系的，也可列出全部結(jié)果，再進(jìn)行分析.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球(球除顏色外其他均相同)的口袋中任取2個(gè)球，用集合的形式分別寫(xiě)出下列事務(wù)，并推斷每對(duì)事務(wù)的關(guān)系：(1)至少有1個(gè)白球，都是白球；(2)至少有1個(gè)白球，至少有1個(gè)紅球；(3)至少有1個(gè)白球，都是紅球．[解]給兩個(gè)紅球編號(hào)為1,2，給兩個(gè)白球編號(hào)為3,4，從口袋中任取兩個(gè)球，用(x，y)表示取出的兩個(gè)球，則試驗(yàn)的樣本空間為Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，設(shè)A＝“至少有1個(gè)白球”，則A＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}．(1)設(shè)B＝“都是白球”，B＝{(3,4)}，所以B?A．即A和B不是互斥事務(wù)．(2)設(shè)C＝“至少有一個(gè)紅球”，則C＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，因?yàn)锳∩C＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，所以A和C不互斥．(3)設(shè)D＝“都是紅球”，則D＝{(1,2)}，因?yàn)锳∪D＝Ω，A∩D＝?，所以A和D為對(duì)立事務(wù)．事務(wù)的運(yùn)算[探究問(wèn)題]1．事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)(或和事務(wù))的樣本點(diǎn)是如何構(gòu)成的？[提示]事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)(或和事務(wù))的樣本點(diǎn)是由在事務(wù)A中，或者在事務(wù)B中的樣本點(diǎn)構(gòu)成的．2．事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)(或積事務(wù))的樣本點(diǎn)是如何構(gòu)成的？[提示]事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)(或積事務(wù))的樣本點(diǎn)是由既在事務(wù)A中，也在事務(wù)B中的樣本點(diǎn)構(gòu)成的．3．“事務(wù)B包含事務(wù)A”“事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)”“事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)”分別對(duì)應(yīng)集合中的哪些關(guān)系或運(yùn)算？[提示]“事務(wù)B包含事務(wù)A”對(duì)應(yīng)于集合A是集合B的子集；“事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)”對(duì)應(yīng)集合A和集合B的并集，“事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)”對(duì)應(yīng)集合A與集合B的交集．【例2】在投擲骰子試驗(yàn)中，依據(jù)向上的點(diǎn)數(shù)可以定義很多事務(wù)，如：A＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，B＝{出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)}，C＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)}，D＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)}．(1)說(shuō)明以上4個(gè)事務(wù)的關(guān)系；(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C．[思路探究](1)eq\x(分析事務(wù)所包含的樣本點(diǎn))→eq\x(推斷事務(wù)間的關(guān)系)(2)eq\x(樣本點(diǎn)表示各事務(wù))→eq\x(進(jìn)行事務(wù)的運(yùn)算)[解]在投擲骰子的試驗(yàn)中，依據(jù)向上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有6種基本領(lǐng)件，記作Ai＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為i}(其中i＝1,2，…，6)．則A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事務(wù)A與事務(wù)B互斥，但不對(duì)立，事務(wù)A包含于事務(wù)C；事務(wù)A與D互斥，但不對(duì)立；事務(wù)B與C不是互斥事務(wù)，事務(wù)B與D也不是互斥事務(wù)；事務(wù)C與D是互斥事務(wù)，也是對(duì)立事務(wù)．(2)A∩B＝?，A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,3或4}，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,2,4或6}．B∩D＝A4＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)4}．B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,3,4或5}．1．在例2的條件下，求A∩C，A∪C，B∩C．[解]A∩C＝A＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，A∪C＝C＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,3或5}，B∩C＝A3＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)3}．2．用事務(wù)Ai＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為i}(其中i＝1,2，…，6)表示下列事務(wù)：①B∪D；②C∪D．[解]B∪D＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)2,3,4或6}＝A2∪A3∪A4∪A6.C∪D＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6}＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.事務(wù)間的運(yùn)算方法(1)利用事務(wù)間運(yùn)算的定義．列出同一條件下的試驗(yàn)全部可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事務(wù)間的運(yùn)算．(2)利用Venn圖．借助集合間運(yùn)算的思想，分析同一條件下的試驗(yàn)全部可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進(jìn)行運(yùn)算．一、學(xué)問(wèn)必備互斥事務(wù)和對(duì)立事務(wù)都是針對(duì)兩個(gè)事務(wù)而言的，它們之間既有區(qū)分，又有聯(lián)系．在一次試驗(yàn)中，兩個(gè)互斥事務(wù)有可能都不發(fā)生，也可能只有一個(gè)發(fā)生，但不行能兩個(gè)都發(fā)生；而對(duì)立事務(wù)必有一個(gè)發(fā)生，但是不行能兩個(gè)事務(wù)同時(shí)發(fā)生，也不行能都不發(fā)生．所以?xún)蓚€(gè)事務(wù)互斥，它們未必對(duì)立；但兩個(gè)事務(wù)對(duì)立，它們肯定互斥．二、方法必備進(jìn)行事務(wù)間關(guān)系的推斷或運(yùn)算，可借助于圖形．1．從1,2，…，9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù)；②至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)；③至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)；④至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù)．在上述各對(duì)事務(wù)中，是對(duì)立事務(wù)的是()A．① B．②④C．③ D．①③C[從1,2，…，9中任取兩數(shù)，包括一奇一偶、兩奇、兩偶，共三種互斥事務(wù)，所以只有③中的兩個(gè)事務(wù)才是對(duì)立事務(wù)．]2．把紅、藍(lán)、黑、白4張紙牌隨機(jī)地分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人分得1張，事務(wù)“甲分得紅牌”與事務(wù)“乙分得紅牌”是()A．對(duì)立事務(wù) B．互斥但不對(duì)立事務(wù)C．不行能事務(wù) D．以上說(shuō)法都不對(duì)B[因?yàn)橹挥?張紅牌，所以這兩個(gè)事務(wù)不行能同時(shí)發(fā)生，所以它們是互斥事務(wù)；但這兩個(gè)事務(wù)加起來(lái)并不是總體事務(wù)，所以它們不是對(duì)立事務(wù)．]3．袋中裝有9個(gè)白球，2個(gè)紅球，從中任取3個(gè)球，則：①恰有1個(gè)紅球和全是白球；②至少有1個(gè)紅球和全是白球；③至少有1個(gè)紅球和至少有2個(gè)白球；④至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)紅球．在上述事務(wù)中，是對(duì)立事務(wù)的為_(kāi)_______．②[①是互斥不對(duì)立的事務(wù)，②是對(duì)立事務(wù)，③④不是互斥事務(wù)．]4．盒子