PAGE8.5空間直線、平面的平行8.8.學習目標核心素養1.能相識和理解空間直線平行的傳遞性，了解等角定理．(重點)2.駕馭直線與平面平行的判定定理和性質定理，并能利用這兩個定理解決空間中的平行關系問題．(重點)3.利用直線與平面平行的判定定理和性質定理證明空間平行問題．(難點)1.通過基本領實4和等角定理，培育直觀想象的核心素養.2.借助直線與平面平行的判定與性質定理，提升邏輯推理的核心素養.在生活中，留意到門扇的兩邊是平行的，當門扇圍著一邊轉動時，另一邊始終與門框所在的平面沒有公共點，此時門扇轉動的一邊與門框所在的平面給人以平行的印象．問題：(1)上述問題中存在著不變的位置關系是指什么？(2)若推斷直線與平面平行，由上述問題你能得出一種方法嗎？1．基本領實4文字表述：平行于同一條直線的兩條直線平行．這一性質叫做空間平行線的傳遞性．符號表述：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))?a∥c.2．等角定理假如空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．3．直線與平面平行的判定及性質定理條件結論圖形語言符號語言判定假如平面外一條直線與此平面內的一條直線平行該直線與此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?α，,m?α，,且l∥m))?l∥α性質一條直線與一個平面平行，假如過該直線的平面與此平面相交該直線與交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α，,l?β，,α∩β＝m))?l∥m思索：若一條直線平行于一個平面內的一條直線，則這條直線和這個平面平行，對嗎？[提示]依據直線與平面平行的判定定理可知該結論錯誤．1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)假如一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等． ()(2)假如兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等． ()(3)假如兩條直線同時平行于第三條直線，那么這兩條直線相互平行． ()[答案](1)×(2)√(3)√2．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，則∠PQR等于()A．30° B．30°或150°C．150° D．以上結論都不對B[因為AB∥PQ，BC∥QR，所以∠PQR與∠ABC相等或互補．因為∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.]3．下列條件中能確定直線a與平面α平行的是()A．a?α，b?α，a∥bB．b?α，a∥bC．b?α，c?α，a∥b，a∥cD．b?α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BDA[由直線與平面平行的判定定理知選A．]4．已知直線l∥平面α，P∈α，那么過點P且平行于l的直線有________條．1[如圖所示，∵l∥平面α，P∈α，∴直線l與點P確定一個平面β，α∩β＝m，∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的．]基本領實4、等角定理的應用【例1】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1(1)求證：四邊形BB1M(2)求證：∠BMC＝∠B1M1[思路探究](1)欲證四邊形BB1M[解](1)∵ABCD-A1B1C1D1∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M，M1分別為棱AD，A1D1的中點，∴AM＝A1M1且AM∥A1M∴四邊形AMM1A1∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四邊形BB1M(2)法一：由(1)知四邊形BB1M∴B1M1∥BM同理可得四邊形CC1M∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M∴∠BMC＝∠B1M1法二：由(1)知四邊形BB1M∴B1M1＝BM同理可得四邊形CC1M∴C1M1＝CM又∵B1C1＝BC∴△BCM≌△B1C1∴∠BMC＝∠B1M11．空間兩條直線平行的證明一是定義法：即證明兩條直線在同一個平面內且兩直線沒有公共點；二是利用平面圖形的有關平行的性質，如三角形中位線，梯形，平行四邊形等關于平行的性質；三是利用基本領實4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．2．求證角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相像．eq\o([跟進訓練])1．如圖，已知E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點．(1)求證：E，F，G，H四點共面；(2)若四邊形EFGH是矩形，求證：AC⊥BD．[證明](1)在△ABD中，∵E，H分別是AB，AD的中點，∴EH∥BD．同理FG∥BD，則EH∥FG.故E，F，G，H四點共面．(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四邊形EFGH是矩形，∴EH⊥GH.故AC⊥BD．直線與平面平行的判定【例2】如圖，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點．求證：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.[思路探究](1)要證EH∥平面BCD，只要證EH∥BD便可；(2)要證BD∥平面EFGH，只要證BD∥EH便可．[解](1)∵EH為△ABD的中位線，∴EH∥BD．∵EH?平面BCD，BD?平面BCD，∴EH∥平面BCD．(2)∵BD∥EH，BD?平面EFGH，EH?平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.1．利用直線與平面平行的判定定理證明線面平行，關鍵是找尋平面內與已知直線平行的直線．2．證明線線平行的方法常用三角形中位線定理、平行四邊形性質、平行線分線段成比例定理、基本領實4等．eq\o([跟進訓練])2．已知有公共邊AB的兩個全等的矩形ABCD和ABEF不同在一個平面內，P，Q分別是對角線AE，BD上的點，且AP＝DQ.求證：PQ∥平面CBE.[證明]如圖，作PM∥AB交BE于點M，作QN∥AB交BC于點N，連接MN，則PM∥QN，eq\f(PM,AB)＝eq\f(EP,EA)，eq\f(QN,CD)＝eq\f(BQ,BD).∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.又∵AB＝CD，∴PMQN，∴四邊形PMNQ是平行四邊形，∴PQ∥MN.又∵PQ?平面CBE，MN?平面CBE，∴PQ∥平面CBE.直線與平面平行的判定與性質[探究問題]1．若直線l∥平面α，則l平行于平面α內的全部直線嗎？[提示]不是．2．若a∥α，過a與α相交的平面有多少個？這些平面與α的交線與直線a有什么關系？[提示]若a∥α，則過a且與α相交的平面有多數個．這些平面與α的交線與直線a相互平行．【例3】求證：假如一條直線和兩個相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行．[思路探究]先寫出已知求證，再借助線面平行的性質定理求解．[解]已知直線a，l，平面α，β滿意α∩β＝l，a∥α，a∥β.求證：a∥l.證明：如圖所示，過a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.同樣過a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c.則b∥c.又∵b?β，c?β，∴b∥β.又∵b?α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l.若兩個相交平面分別過兩條平行直線，則它們的交線和這兩條平行直線平行．[解]已知：a∥b，a?α，b?β，α∩β＝l.求證：a∥b∥l.證明：如圖所示，∵a∥b，b?β，a?β，∴a∥β，又a?α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，∴a∥b∥l.線面平行的性質和判定常常交替運用，也就是通過線線平行得到線面平行，再通過線面平行得線線平行.利用線面平行的性質定理解題的詳細步驟：1確定或找尋一條直線平行于一個平面；2確定或找尋過這條直線且與這個平行平面相交的平面；3確定交線；4由性質定理得出線線平行的結論.一、學問必備1．基本領實4；2．等角定理；3．直線與平面平行的判定與性質二、方法必備證明線與線、線與面的平行關系的一般規律是：“見了已知想性質，見了求證想判定”，也就是說“發覺已知，轉化結論，溝通已知與未知的關系”．這是分析和解決問題的一般思維方法，而作協助線和協助面往往是溝通已知和未知的有效手段．1．假如直線a∥平面α，那么直線a與平面α內的()A．一條直線不相交B．兩條直線不相交C．多數條直線不相交D．隨意一條直線不相交D[直線a∥平面α，則a與α無公共點，與α內的直線當然均無公共點．]2．已知角α和角β的兩邊分別平行且一組邊方向相同，另一組邊的方向相反，若α＝45°，則β＝________.135°[由等角定理可知β＝135°.]3．若a，b是兩條異面直線，且a∥平面α，則b與α的位置關系是________．平行或相交或b在α內[如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設平面ABCD為α，A1B1為a，則a∥α，當分別取