2025屆福建省永安一中數學高二上期末考試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若、且，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.2．在等比數列中，若是函數的極值點，則的值是（）A. B.C. D.3．已知定義在上的函數的導函數為，且恒有，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.4．今天是星期四，經過天后是星期（）A.三 B.四C.五 D.六5．已知直線的傾斜角為，在軸上的截距為，則此直線的方程為（）A. B.C. D.6．已知函數f（x）的定義域為[－1，5]，其部分自變量與函數值的對應情況如下表：x－10245f（x）312.513f（x）的導函數的圖象如圖所示．給出下列四個結論：①f（x）在區間[－1，0]上單調遞增；②f（x）有2個極大值點；③f（x）的值域為[1，3]；④如果x∈[t，5]時，f（x）的最小值是1，那么t的最大值為4其中，所有正確結論的序號是（）A.③ B.①④C.②③ D.③④7．在等差數列中，，，則數列的公差為（）A.1 B.2C.3 D.48．已知等比數列的前項和為，若公比，則＝（）A. B.C. D.9．我們知道，償還銀行貸款時，“等額本金還款法”是一種很常見的還款方式，其本質是將本金平均分配到每一期進行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．自主創業的大學生張華向銀行貸款的本金為48萬元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個月還一次款，20年還清，貸款月利率為，設張華第個月的還款金額為元，則（）A.2192 B.C. D.10．某工廠去年的電力消耗為千瓦，由于設各更新，該工廠計劃每年比上一年的電力消耗減少，則從今年起，該工廠第5年消耗的電力為（）A.m千瓦 B.m千瓦C.m千瓦 D.m千瓦11．已知點是拋物線上的一點,F是拋物線的焦點,則點M到F的距離等于()A.6 B.5C.4 D.212．如圖是拋物線拱形橋，當水面在時，拱頂離水面，水面寬，若水面上升，則水面寬是（）（結果精確到）（參考數值：）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知滿足的雙曲線（a，b＞0，c為半焦距）為黃金雙曲線，則黃金雙曲線的離心率為______14．已知數列的通項公式為，，設是數列的前n項和，若對任意都成立，則實數的取值范圍是__________.15．曲線在處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為___________.16．若分別是平面的法向量，且，，，則的值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是矩形，且平面平面，，點是線段上的動點（1）證明：；（2）設平面與平面的夾角為，求的最小值18．（12分）已知數列{an}滿足*（1）求數列{an}的通項公式；（2）求數列{an}的前n項和Sn19．（12分）已知圓，直線.（1）當為何值時，直線與圓相切；（2）當直線與圓相交于、兩點，且時，求直線的方程.20．（12分）如圖，在四棱柱中，側棱底面，，，，，，，（）（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的值；（3）現將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼成一個新的四棱柱，規定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，寫出的解析式．（直接寫出答案，不必說明理由）21．（12分）已知等差數列}的公差為整數，為其前n項和，，（1）求{}的通項公式：（2）設，數列的前n項和為，求22．（10分）在數列中，,，數列滿足（1）求證：數列是等比數列，并求出數列的通項公式；（2）數列前項和為，且滿足，求的表達式；（3）令，對于大于的正整數、（其中），若、、三個數經適當排序后能構成等差數列，求符合條件的數組.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】構造函數，利用函數在上的單調性可判斷AB選項；構造函數，利用函數在上的單調性可判斷CD選項.【詳解】對于AB選項，構造函數，其中，則，所以，函數在上單調遞增，因為、且，則，即，A錯B對；對于CD選項，構造函數，其中，則.當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，故函數在上不單調，無法確定與的大小關系，故CD都錯.故選：B.2、B【解析】根據導數的性質求出函數的極值點，再根據等比數列的性質進行求解即可.【詳解】，當時，單調遞增，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以是函數的極值點，因為，且所以，故選：B3、D【解析】構造函數，用導數判斷函數單調性，即可求解.【詳解】根據題意，令，其中，則，∵，∴，∴在上為單調遞減函數，∴，即，，則錯誤；，即，則錯誤；，即，則錯誤；，即，則正確；故選：.4、C【解析】求出二項式定理的通項公式，得到除以7余數是1，然后利用周期性進行計算即可【詳解】解：一個星期的周期是7，則，即除以7余數是1，即今天是星期四，經過天后是星期五，故選：5、D【解析】求出直線的斜率，利用斜截式可得出直線的方程.【詳解】直線的斜率為，由題意可知，所求直線的方程為.故選：D.6、D【解析】直接利用函數的導函數的圖像，進一步畫出函數的圖像，進一步利用函數的性質的應用求出函數的單調區間，函數的極值和端點值可得結論【詳解】解：由f（x）的導函數的圖像，畫出的圖像，如圖所示，對于①，在區間上單調遞減，所以①錯誤，對于②，有1個極大值點，2個極小值點，所以②錯誤，對于③，根據函數的極值和端點值可知的值域為，所以③正確，對于④，如果x∈[t，5]時，由圖像可知，當f（x）的最小值是1時，t的最大值為4，所以④正確，故選：D7、B【解析】將已知條件轉化為的形式，由此求得.【詳解】在等差數列中，設公差為d，由，，得，解得.故選：B8、A【解析】根據題意，由等比數列的通項公式與前項和公式直接計算即可.【詳解】由已知可得.故選：A.9、D【解析】計算出每月應還的本金數，再計算第n個月已還多少本金，由此可計算出個月的還款金額.【詳解】由題意可知：每月還本金為2000元，設張華第個月的還款金額為元，則，故選：D10、D【解析】根據等比數列的定義進行求解即可.【詳解】因為去年的電力消耗為千瓦，工廠計劃每年比上一年的電力消耗減少，所以今年的電力消耗為，因此從今年起，該工廠第5年消耗的電力為，故選：D11、B【解析】先求出,再利用焦半徑公式即可獲解.【詳解】由題意，,解得所以故選：B.12、C【解析】先建立直角坐標系，設拋物線方程為x2＝my，將點坐標代入拋物線方程求出m，從而可得拋物線方程，再令y＝代入拋物線方程求出x，即可得到答案【詳解】解：如圖建立直角坐標系，設拋物線方程為x2＝my，由題意，將代入x2＝my，得m＝，所以拋物線的方程為x2＝，令y＝，解得，所以水面寬度為2.24×817.9m故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據題設及雙曲線離心率公式可得，結合雙曲線離心率的性質即可求離心率.【詳解】由題設，，整理得：，所以，而，故.故答案為：.14、【解析】化簡數列將問題轉化為不等式恒成立問題，再對n分奇數和偶數進行討論，分別求解出的取值范圍，最后綜合得出結果.【詳解】根據題意，，.①當n是奇數時，，即對任意正奇數n恒成立，當時，有最小值1，所以.②當n是正偶數時，，即，又，故對任意正偶數n都成立，又隨n增大而增大，當時，有最小值，即，綜合①②可知.故答案為：.15、【解析】先求導數，得出切線斜率，寫出切線方程，然后可求三角形的面積.【詳解】，當時，，所以切線方程為，即；令可得，令可得；所以切線與坐標軸圍成的三角形面積為.故答案為：.16、－1或－2【解析】由題可得，即求.【詳解】依題意，，解得或.故答案為：或.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）要證，只需證平面，只需證（由勾股定理可證），，只需證平面，只需證（由平面平面可證），（由可證），即可證明結論.（2）以為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系寫出點與點的坐標由于軸，可設，可得出與的坐標設為平面的法向量，求出法向量.是關于的一個式子，求出的取值范圍，即可求出的最小值【小問1詳解】在中，，，，所以，所以所以是等腰直角三角形，即因為，所以又因為平面平面，平面平面，，所以平面又平面，所以又因為，EC，平面所以平面又平面，所以，所以在中，，，所以所以又因為，，所以，所以又，，平面所以平面又平面，所以【小問2詳解】以為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系則，因為軸，可設，可求得，設為平面的法向量則令，解得，所以又因為是平面的法向量所以，因為，所以所以當時，取到最小值18、（1）（2）【解析】（1）根據遞推關系式可得，再由等差數列的定義以及通項公式即可求解.（2）利用錯位相減法即可求解.【小問1詳解】（1），即，所以數列為等差數列，公差為1，首項為1，所以，即.【小問2詳解】令，所以，所以19、（1）；（2）或.【解析】（1）將圓的方程表示為標準方程，確定圓心坐標與半徑，利用圓心到直線的距離可求得實數的值；（2）求出圓心到直線的距離，利用、、三者滿足勾股定理可求得的方程，解出的值，即可得出直線的方程.【詳解】將圓C的方程配方得標準方程為，則此圓的圓心為，半徑為.（1）若直線與圓相切，則有，解得；（2）圓心到直線的距離為，由勾股定理可得，可得，整理得，解得或，故所求直線方程為或.【點睛】方法點睛：圓的弦長的常用求法（1）幾何法：求圓的半徑為，弦心距為，弦長為，則；（2）代數方法：運用根與系數的關系及弦長公式.20、（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）取得中點，連接，可證明四邊形是平行四邊形，再利用勾股定理的逆定理可得，即，又側棱底面，可得，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）通過建立空間直角坐標系，由線面角的向量公式即可得出；（3）由題意可與左右平面，，上或下面，拼接得到方案，新四棱柱共有此4種不同方案．寫出每一方案下的表面積，通過比較即可得出【詳解】（1）證明：取的中點，連接，，，四邊形是平行四邊形，，且，，，，又，側棱底面，，，平面（2）以為坐標原點，、、的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，設平面的一個法向量為，則，取，則，設與平面所成角為，則，解得，故所求（3）由題意可與左右平面，，上或下面，拼接得到方案新四棱柱共有此4種不同方案寫出每一方案下的表面積，通過比較即可得出【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理的應用，利用向量求線面角、柱體的定義應用和表面積的求法，意在考查學生的直觀想象能力，邏輯推理能力，數學運算能力及化歸與轉化能力，屬于中檔題21、（1）（2）【解析】（1）根據題意利用等差數列的性質列出方程，即可解得答案；（2）根據（1）的結果，求出的表達式，利用裂項求和的方法求得答案.小問1詳解】設等差數列{}的公差為d，則,整理可得：，∵d是整數，解得，從而，所以數列{}的通項公式為：;【小問2詳解】由（1）知，，所以22、（1）證明見解析，；（2）；（3）.【解析】（1）由已知等式變形可得，利用等比數列的定義可證得結論成立，確定等比數列的首項和公比，可求得數列的通項公式；（2）求得，