PAGE其次章統計2．2用樣本估計總體2．2.2用樣本的數字特征估計總體的數字特征[A組學業達標]1．某學習小組在一次數學測驗中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，則該小組成果的平均數、眾數、中位數分別是 ()A．85、85、85 B．87、85、86C．87、85、85 D．87、85、90解析：從小到大列出全部數學成果：75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，視察知眾數和中位數均為85，計算得平均數為87.答案：C2．甲、乙兩人在一次射擊競賽中各射靶5次，兩人成果的條形統計圖如圖所示，則 ()A．甲的成果的平均數小于乙的成果的平均數B．甲的成果的中位數等于乙的成果的中位數C．甲的成果的方差小于乙的成果的方差D．甲的成果的極差小于乙的成果的極差解析：由題意可知，甲的成果為4，5，6，7，8，乙的成果為5，5，5，6，9.所以甲、乙的成果的平均數均為6，A錯；甲、乙的成果的中位數分別為6，5，B錯；甲、乙的成果的方差分別為eq\f(1,5)×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，eq\f(1,5)×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝eq\f(12,5)，C對；甲、乙的成果的極差均為4，D錯．答案：C3．已知數據x1，x2，x3，…，xn是我省一般職工n(n≥3，n∈N*)個人的年收入，設這n個數據的中位數為x，平均數為y，方差為z，假如再加上世界首富的年收入xn＋1，則這n＋1個數據中，下列說法正確的是 ()A．年收入平均數大大增大，中位數肯定變大，方差可能不變B．年收入平均數大大增大，中位數可能不變，方差變大C．年收入平均數大大增大，中位數可能不變，方差也不變D．年收入平均數可能不變，中位數可能不變，方差可能不變解析：插入大的極端值，平均數增加，中位數可能不變，方差也因為數據更加分散而變大．答案：B4．為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫狀況，隨機選取該月中的5天，將這5天中14時的氣溫數據(單位：℃)制成如圖所示的莖葉圖．考慮以下結論：①甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫；②甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫；③甲地該月14時的氣溫的標準差小于乙地該月14時的氣溫的標準差；④甲地該月14時的氣溫的標準差大于乙地該月14時的氣溫的標準差．其中依據莖葉圖能得到的統計結論的編號為 ()A．①③ B．①④C．②③ D．②④解析：甲地該月14時的氣溫數據分布在26和31之間，且數據波動較大，而乙地該月14時的氣溫數據分布在28和32之間，且數據波動較小，可以推斷結論①④正確，故選B.答案：B5．某市要對兩千多名出租車司機的年齡進行調查，現從中隨機抽出100名司機，已知抽到的司機年齡都在[20，45]歲之間，依據調查結果得出司機的年齡狀況殘缺的頻率分布直方圖如圖所示，利用這個殘缺的頻率分布直方圖估計該市出租車司機年齡的中位數大約是 ()A．31.6歲 B．32.6歲C．33.6歲 D．36.6歲解析：依據所給的信息可知，在區間[25，30)上的數據的頻率為1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2.故中位數在第3組，且中位數的估計為30＋(35－30)×eq\f(5,7)≈33.6(歲)．答案：C6．已知樣本9，10，11，x，y的平均數是10，標準差是eq\r(2)，則xy＝__________．解析：由平均數是10，得x＋y＝20，由標準差是eq\r(2)，得eq\r(\f(1,5)[（9－10）2＋（10－10）2＋（11－10）2＋（x－10）2＋（y－10）2])＝eq\r(2)，所以(x－10)2＋(y－10)2＝8，所以xy＝96.答案：967．甲、乙兩人在相同的條件下練習射擊，每人打5發子彈，命中的環數如下：甲：6，8，9，9，8；乙：10，7，7，7，9.則兩人的射擊成果較穩定的是__________．解析：由題意求平均數可得x甲＝x乙＝8，seq\o\al(2,甲)＝1.2，seq\o\al(2,乙)＝1.6，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，所以甲穩定．答案：甲8．若a1，a2，…，a20，這20個數據的平均數為x，方差為0.20，則數據a1，a2，…，a20，x這21個數據的方差約為__________．解析：這21個數的平均數仍為x，從而方差為eq\f(1,21)×[20×0.2＋(x－x)2]≈0.19.答案：0.199．下面是某快餐店全部工作人員一周的收入表：老板大廚二廚選購 員雜工服務生會計3000元450元350元400元320元320元410元(1)計算全部人員的周平均收入；(2)這個平均收入能反映打工人員的周收入的一般水平嗎？為什么？(3)去掉老板的收入后，再計算平均收入，這能代表打工人員的周收入的水平嗎？解析：(1)周平均收入eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)(3000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝750(元)．(2)這個平均收入不能反映打工人員的周收入水平，可以看出打工人員的收入都低于平均收入，因為老板收入特殊高，這是一個異樣值，對平均收入產生了較大的影響，并且他不是打工人員．(3)去掉老板的收入后的周平均收入x2＝eq\f(1,6)(450＋350＋400＋320＋320＋410)＝375(元)，這能代表打工人員的周收入水平．10．從某企業生產的某種產品中抽取100件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻數分布表：質量指標值分組[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)頻數62638228(1)作出這些數據的頻率分布直方圖；(2)估計這種產品質量指標值的平均數及方差(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)；(3)依據以上抽樣調查數據，能否認為該企業生產的這種產品符合“質量指標值不低于95的產品至少要占全部產品80%”的規定？解析：(1)(2)質量指標值的樣本平均數為x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.質量指標值的樣本方差為s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以這種產品質量指標值的平均數的估計值為100，方差的估計值為104.(3)質量指標值不低于95的產品所占比例的估計值為0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于該估計值小于0.8，故不能認為該企業生產的這種產品符合“質量指標值不低于95的產品至少要占全部產品80%”的規定．[B組實力提升]11．如圖，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數分別為eq\o(x,\s\up6(－))A和eq\o(x,\s\up6(－))B，樣本標準差分別為sA和sB，則 ()A.eq\o(x,\s\up6(－))A>eq\o(x,\s\up6(－))B，sA>sB B.eq\o(x,\s\up6(－))A<eq\o(x,\s\up6(－))B，sA>sBC.eq\o(x,\s\up6(－))A>eq\o(x,\s\up6(－))B，sA<sB D.eq\o(x,\s\up6(－))A<eq\o(x,\s\up6(－))B，sA<sB解析：樣本A數據均小于或等于10，樣本B數據均大于或等于10，故eq\o(x,\s\up6(－))A<eq\o(x,\s\up6(－))B.又樣本B波動范圍較小，故sA>sB.答案：B12．某市有15個旅游景點，經計算，黃金周期間各個景點的旅游人數平均為20萬，標準差為s，后來經核實，發覺甲、乙兩處景點統計的人數有誤，甲景點實際為20萬，被誤統計為15萬，乙景點實際為18萬，被統計成23萬；更正后重新計算，得到標準差為s1，則s與s1的大小關系為 ()A．s＝s1 B．s＜s1C．s＞s1 D．不能確定解析：由已知，兩次統計所得的旅游人數總數沒有變，即兩次統計的各景點旅游人數的平均數是相同的，設為x，則s＝eq\r(\f(1,15)[（15－\o(x,\s\up6(－))）2＋（23－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x3－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（x15－\o(x,\s\up6(－))）2])，s1＝eq\r(\f(1,15)[（20－\o(x,\s\up6(－))）2＋（18－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x3－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（x15－\o(x,\s\up6(－))）2]).若比較s與s1的大小，只需比較(15－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(23－eq\o(x,\s\up6(－)))2與(20－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(18－eq\o(x,\s\up6(－)))2的大小即可．而(15－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(23－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝754－76eq\o(x,\s\up6(－))＋2eq\o(x,\s\up6(－))2，(20－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(18－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝724－76eq\o(x,\s\up6(－))＋2eq\o(x,\s\up6(－))2，所以(15－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(23－eq\o(x,\s\up6(－)))2＞(20－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(18－eq\o(x,\s\up6(－)))2.從而s＞s1.答案：C13．若40個數據的平方和是56，平均數是eq\f(\r(2),2)，則這組數據的方差是__________，標準差是__________．解析：設這40個數據為xi(i＝1，2，…，40)，平均數為eq\o(x,\s\up6(－)).則s2＝eq\f(1,40)×[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(x40－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＝eq\f(1,40)[xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,40)＋40eq\o(x,\s\up6(－))2－2eq\o(x,\s\up6(－))(x1＋x2＋…＋x40)]＝eq\f(1,40)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(56＋40×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)－2×\f(\r(2),2)×40×\f(\r(2),2)))＝eq\f(1,40)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(56－40×\f(1,2)))＝0.9.∴s＝eq\r(0.9)＝eq\r(\f(9,10))＝eq\f(3\r(10),10).答案：0.9eq\f(3\r(10),10)14．為了考察某校各班參與課外書法小組的人數，從全校隨機抽取5個班級，把每個班級參與該小組的人數作為樣本數據，已知樣本平均數為7，樣本方差為4，且樣本數據互不相同，則樣本數據中的最大值為__________．解析：設樣本數據為：x1，x2，x3，x4，x5，平均數＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)÷5＝7；方差s2＝[(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2]÷5＝4.從而有x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝35，①(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20.②若樣本數據中的最大值為11，不妨設x5＝11，則②式變為：(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＝4，由于樣本數據互不相同，這是不行能成立的；若樣本數據為4，6，7，8，10，代入驗證知①②式均成立，此時樣本數據中的最大值為10.答案：1015．為了愛護學生的視力，教室內的日光燈在運用一段時間后必需更換．已知某校運用的100只日光燈在必需換掉前的運用天數如下表：天數151～180181～210211～240241～270271～300301～330331～360361～390燈管數1111820251672(1)試估計這種日光燈的平均運用壽命；(2)若定期更換，可選擇多長時間統一更換合適？解析：(1)各組的組中值分別為165，195，225，255，285，315，345，375，由此可算得這種日光燈的平均運用壽命約為165