第03講基本不等式目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 3高頻考點(diǎn)一：基本不等式的內(nèi)容及辨析 3高頻考點(diǎn)二：利用基本不等式比較大小 3高頻考點(diǎn)三：利用基本不等式求最值 4角度1：利用基本不等式求積最大值 4角度2：利用基本不等式求和最小值 5角度3：二次與二次（一次）的商式的最值 5角度4：“1”的妙用求最值 5角度5：條件等式求最值 6高頻考點(diǎn)四：基本不等式的恒成立問題 7高頻考點(diǎn)五：利用基本不等式解決實(shí)際問題 8第四部分：典型易錯題型 10備注：利用基本不等式解題容易忽視“一正”，“三相等” 10第五部分：新定義題（解答題） 10第一部分：基礎(chǔ)知識1、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）①如果，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．②其中叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)；叫做正數(shù)，的算數(shù)平均數(shù)．2、兩個重要的不等式①（）當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．②（）當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．3、利用基本不等式求最值①已知，是正數(shù)，如果積等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，和有最小值；②已知，是正數(shù)，如果和等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，積有最大值；4、常用技巧利用基本不等式求最值的變形技巧——湊、拆（分子次數(shù)高于分母次數(shù)）、除（分子次數(shù)低于分母次數(shù)））、代（1的代入）、解（整體解）.①湊：湊項(xiàng)，例：；湊系數(shù)，例：；②拆：例：；③除：例：；④1的代入：例：已知，求的最小值.解析：.⑤整體解：例：已知,是正數(shù)，且，求的最小值.解析：，即，解得.第二部分：高考真題回顧1．（2022·全國·（甲卷文））已知，則（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·（甲卷文理））已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時，．3．（2022·全國·（新高考Ⅰ卷））記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：基本不等式的內(nèi)容及辨析典型例題例題1．（2024上·陜西安康·高一校考期末）下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．例題2．（多選）（2024·全國·高三專題練習(xí)）任取多組正數(shù)，通過大量計(jì)算得出結(jié)論：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．若，根據(jù)上述結(jié)論判斷的值可能是（

）A． B． C．5 D．3練透核心考點(diǎn)1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）下列不等式中等號可以取到的是（

）A． B．C． D．2．（多選）（2024上·河南漯河·高一漯河高中校考階段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．的最小值是2B．當(dāng)時，的最小值是3C．當(dāng)時，的最大值是5D．若正數(shù)滿足，則的最小值為3高頻考點(diǎn)二：利用基本不等式比較大小典型例題例題1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）對于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．2例題2．（2024下·福建·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）杭州，作為2023年亞洲運(yùn)動會的舉辦城市，以其先進(jìn)的科技和創(chuàng)新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“機(jī)器狗”在田徑賽場上運(yùn)送鐵餅等，迅速成為了全場的焦點(diǎn).已知購買臺“機(jī)器狗”的總成本為.(1)若使每臺“機(jī)器狗”的平均成本最低，問應(yīng)買多少臺?(2)現(xiàn)安排標(biāo)明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3臺“機(jī)器狗”在同一場次運(yùn)送鐵餅，且運(yùn)送的距離都是120米.3臺“機(jī)器狗”所用時間（單位:秒）分別為，，.“汪1”有一半的時間以速度（單位:米/秒）奔跑，另一半的時間以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑，其中，，且則哪臺機(jī)器狗用的時間最少?請說明理由.練透核心考點(diǎn)1．（多選）（2024上·湖南常德·高三統(tǒng)考期末）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．2．（多選）（2024·全國·高三專題練習(xí)）十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家哈利奧特用“”“”表示不等號，并逐漸被數(shù)學(xué)界所接受，不等號的引入對不等式發(fā)展影響深遠(yuǎn).若某同學(xué)從一樓到五樓原路往返的速度分別為和，記兩速度的算術(shù)平均值為，全程的平均速度為，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B． C． D．高頻考點(diǎn)三：利用基本不等式求最值角度1：利用基本不等式求積最大值典型例題例題1．（2024上·安徽·高一校聯(lián)考期末）若正數(shù)滿足，則的最大值為（

）A．6 B．9 C． D．例題2．（2024下·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，向量，則的最大值為.角度2：利用基本不等式求和最小值典型例題例題1．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．例題2．（2024上·廣西·高一校聯(lián)考期末）已知，則的最大值為（

）A．2 B．4 C．8 D．例題3．（2024上·湖北·高一校聯(lián)考期末）已知，則的最小值為角度3：二次與二次（一次）的商式的最值典型例題例題1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為.例題2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為．例題3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上的最大值為．角度4：“1”的妙用求最值典型例題例題1．（2024上·安徽·高一校聯(lián)考期末）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A．6 B．16 C．20 D．18例題2．（多選）（2024上·福建漳州·高一統(tǒng)考期末）已知，，且，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為2 D．的最大值為8角度5：條件等式求最值典型例題例題1．（2024下·重慶·高三重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）對于正數(shù)，有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（多選）（2024上·安徽合肥·高一合肥一中校考期末）已知正數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．練透核心考點(diǎn)1．（2024上·福建龍巖·高一福建省武平縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知，且，則的最小值是（

）A． B．4 C． D．52．（多選）（2024下·吉林通化·高三梅河口市第五中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，若，則（

）A． B．C．的最大值為 D．的最小值為83．（多選）（2023上·安徽合肥·高一合肥市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，且，則（

）A．的最大值為 B．的最大值是C．的最小值是8 D．的最小值是4．（多選）（2023上·河南三門峽·高一校考階段練習(xí)）已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則（

）A．a(chǎn)b的最大值為4 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為25．（2023上·重慶永川·高一重慶市永川中學(xué)校校考期末）已知，且，則的最小值是.6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值.高頻考點(diǎn)四：基本不等式的恒成立問題典型例題例題1．（2024上·山東濱州·高一統(tǒng)考期末）已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．例題2．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）當(dāng)，且滿足時，有恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．例題3．（2024上·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知，函數(shù)，．(1)若，求不等式的解集；(2)求不等式的解集；表中的數(shù)據(jù)，從以上三種函數(shù)模型中，選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型，來表示該專賣店特價(jià)航模日銷售量（百個）與時間的關(guān)系，說明你的理由.(2)借助你在（1）中選擇的模型，記該專賣店特價(jià)航模日銷售收入為（百元），其中，，預(yù)估該專賣店特價(jià)航模日銷售收入在一個月內(nèi)的第幾天最低？例題2．（2024上·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）隨著我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展、醫(yī)療消費(fèi)需求增長、人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進(jìn)程加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場近年來一直保持了持續(xù)增長的趨勢.上饒市醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場競爭力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為400萬元，最大產(chǎn)能為100臺.每生產(chǎn)臺，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺的售價(jià)為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完.(1)寫出年利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量臺的函數(shù)解析式（利潤=銷售收入-成本）；(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲利潤最大?最大利潤是多少?練透核心考點(diǎn)1．（2024上·安徽亳州·高一統(tǒng)考期末）拉魯濕地國家級自然保護(hù)區(qū)位于西藏自治區(qū)首府拉薩市西北角，是國內(nèi)最大的城市濕地自然保護(hù)區(qū)，也是世界上海拔最高、面積最大的城市天然濕地．其中央有一座涼亭，涼亭的俯瞰圖的平面圖是如圖所示的正方形結(jié)構(gòu)，其中EFIJ和GHKL為兩個相同的矩形，俯瞰圖白色部分面積為20平方米．現(xiàn)計(jì)劃對下圖平面正方形染色，在四個角區(qū)域（即圖中陰影部分）用特等顏料，造價(jià)為200元/平方米，中間部分即正方形MNPQ區(qū)域使用一等顏料，造價(jià)為150元/平方米，在四個相同的矩形區(qū)域即EFNM，GHPN，PQJI，MQKL用二等顏料，造價(jià)為100元/平方米．(1)設(shè)總造價(jià)為W元，MN的邊長為x米，AB的邊長為y米，試建立W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)計(jì)劃至少要投入多少元，才能完成平面染色．2．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，年固定成本為200萬元，可變成本萬元與年產(chǎn)量（件）的關(guān)系為每件產(chǎn)品的售價(jià)為90萬元，且工廠每年生產(chǎn)的產(chǎn)品都能全部售完.(1)將年盈利額（萬元）表示為年產(chǎn)量（件）的函數(shù)；(2)求年盈利額的最大值及相應(yīng)的年產(chǎn)量.第四部分：典型易錯題型備注：利用基本不等式解題容易忽視“一正”，“三相等”1．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)當(dāng)時，y取最大值b，則的值為（

）A．8 B． C．4 D．02．（多選）（2024上·安徽安慶·高一安慶一中校考期末）下列式子中最小值為4的是（

）A． B．C． D．3．（多選）（2024上·山東臨沂·高一山東省臨沂第一中學(xué)期末）下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．C．若且，則 D．第五部分：新定義題（解答題）1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）問題：正實(shí)數(shù)a，b滿足，求的最小值.其中一種解法是：，當(dāng)且僅當(dāng)且時，即且時取等號.學(xué)習(xí)上述解法并解決下列問題：(1)若正實(shí)數(shù)x，y滿足，求的最小值；(2)若實(shí)數(shù)a，b，x，y滿足，求證：；(3)求代數(shù)式的最小值，并求出使得M最小的m的值.第03講基本不等式目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 5高頻考點(diǎn)一：基本不等式的內(nèi)容及辨析 5高頻考點(diǎn)二：利用基本不等式比較大小 8高頻考點(diǎn)三：利用基本不等式求最值 11角度1：利用基本不等式求積最大值 11角度2：利用基本不等式求和最小值 12角度3：二次與二次（一次）的商式的最值 13角度4：“1”的妙用求最值 14角度5：條件等式求最值 15高頻考點(diǎn)四：基本不等式的恒成立問題 20高頻考點(diǎn)五：利用基本不等式解決實(shí)際問題 23第四部分：典型易錯題型 28備注：利用基本不等式解題容易忽視“一正”，“三相等” 28第五部分：新定義題（解答題） 30第一部分：基礎(chǔ)知識1、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）①如果，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．②其中叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)；叫做正數(shù)，的算數(shù)平均數(shù)．2、兩個重要的不等式①（）當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．②（）當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．3、利用基本不等式求最值①已知，是正數(shù)，如果積等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，和有最小值；②已知，是正數(shù)，如果和等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，積有最大值；4、常用技巧利用基本不等式求最值的變形技巧——湊、拆（分子次數(shù)高于分母次數(shù)）、除（分子次數(shù)低于分母次數(shù)））、代（1的代入）、解（整體解）.①湊：湊項(xiàng)，例：；湊系數(shù)，例：；②拆：例：；③除：例：；④1的代入：例：已知，求的最小值.解析：.⑤整體解：例：已知,是正數(shù)，且，求的最小值.解析：，即，解得.第二部分：高考真題回顧1．（2022·全國·（甲卷文））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】［方法一］：（指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.綜上，.［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）由，可得．根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，由知.在上單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)椋?故選：A.【點(diǎn)評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．2．（2022·全國·（甲卷文理））已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時，．【答案】/【分析】設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】[方法一]：余弦定理設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)取最小值時，.故答案為：.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點(diǎn)，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.3．（2022·全國·（新高考Ⅰ卷））記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結(jié)合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．【詳解】（1）因?yàn)椋矗裕唬?）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：基本不等式的內(nèi)容及辨析典型例題例題1．（2024上·陜西安康·高一校考期末）下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)各項(xiàng)所給條件，結(jié)合均值不等式分析、判斷作答.【詳解】對于A，當(dāng)時，，A不正確；對于B，當(dāng)時，，且，若，則，B不正確；對于C，，則，即C不正確；對于D，當(dāng)時，由均值不等式得成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則D正確.故選：D例題2．（多選）（2024·全國·高三專題練習(xí)）任取多組正數(shù)，通過大量計(jì)算得出結(jié)論：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．若，根據(jù)上述結(jié)論判斷的值可能是（

）A． B． C．5 D．3【答案】BD【分析】利用已知結(jié)論求出的最大值進(jìn)行判斷，為此需湊出三個正數(shù)的和為定值．【詳】根據(jù)題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故的最大值為4．從而AC不可能，BD可以取．故選：BD．練透核心考點(diǎn)1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）下列不等式中等號可以取到的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式使用條件逐一檢驗(yàn)取等條件即可得答案.【詳解】解：對于A，因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)，即，故等號不成立，故A不符合；對于B，因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)，即，故等號不成立，故B不符合；對于C，因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故C符合；對于D，因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)，即，故等號不成立，故D不符合.故選：C.2．（多選）（2024上·河南漯河·高一漯河高中校考階段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．的最小值是2B．當(dāng)時，的最小值是3C．當(dāng)時，的最大值是5D．若正數(shù)滿足，則的最小值為3【答案】BCD【分析】利用基本不等式對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，①，但是無解，所以①等號不成立，所以A選項(xiàng)錯誤.B選項(xiàng)，當(dāng)時，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，當(dāng)時，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，是正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD高頻考點(diǎn)二：利用基本不等式比較大小典型例題例題1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）對于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】當(dāng)時，可判斷A；當(dāng)時，可判斷B；當(dāng)時，可判斷C；利用均值不等式，可判斷D.【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)時，，，不成立，故A錯誤；選項(xiàng)B：當(dāng)時，，，不成立，故B錯誤；選項(xiàng)C：當(dāng)時，，不成立，故C錯誤；選項(xiàng)D：由有意義，故，因此由均值不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立故D正確故選：D例題2．（2024下·福建·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）杭州，作為2023年亞洲運(yùn)動會的舉辦城市，以其先進(jìn)的科技和創(chuàng)新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“機(jī)器狗”在田徑賽場上運(yùn)送鐵餅等，迅速成為了全場的焦點(diǎn).已知購買臺“機(jī)器狗”的總成本為.(1)若使每臺“機(jī)器狗”的平均成本最低，問應(yīng)買多少臺?(2)現(xiàn)安排標(biāo)明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3臺“機(jī)器狗”在同一場次運(yùn)送鐵餅，且運(yùn)送的距離都是120米.3臺“機(jī)器狗”所用時間（單位:秒）分別為，，.“汪1”有一半的時間以速度（單位:米/秒）奔跑，另一半的時間以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑，其中，，且則哪臺機(jī)器狗用的時間最少?請說明理由.【答案】(1)(2)“汪1”用的時間最少，理由見解析【分析】（1）平均成本為，利用比較不等式，即可求解函數(shù)的最值；（2）利用速度，時間和路程的關(guān)系，分別求解，，，再根據(jù)不等式，比較時間大小，即可求解.【詳解】（1）由題意，購買臺“機(jī)器狗”的總成本為，則每臺機(jī)器狗的平均成本為，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以，若使每臺“機(jī)器狗”的平均成本最低，應(yīng)買臺.（2）由題意，“汪1”滿足，可得，“汪2”滿足，可得，“汪3”滿足，，，所以

，因?yàn)椋遥钥傻茫瑒t，所以，所以“汪1”用的時間最少.練透核心考點(diǎn)1．（多選）（2024上·湖南常德·高三統(tǒng)考期末）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)和基本不等式判斷AB，利用特值法判斷CD．【詳解】∵，∴即，∴，A正確；由基本不等式知：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立又，∴∴即,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；已知,故，B正確;令，，C錯誤；令，，分母為零無意義，D錯誤．故選：AB．2．（多選）（2024·全國·高三專題練習(xí)）十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家哈利奧特用“”“”表示不等號，并逐漸被數(shù)學(xué)界所接受，不等號的引入對不等式發(fā)展影響深遠(yuǎn).若某同學(xué)從一樓到五樓原路往返的速度分別為和，記兩速度的算術(shù)平均值為，全程的平均速度為，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用基本不等式以及不等式的性質(zhì)求解.【詳解】設(shè)一樓到五樓的距離為，由題知，A錯誤；因?yàn)椋遥裕裕裕忠驗(yàn)椋ㄒ驗(yàn)椋匀〔坏降忍枺裕珺正確；對C，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋裕矗珻正確；對D，因?yàn)椋裕矗珼正確；故選:BCD.高頻考點(diǎn)三：利用基本不等式求最值角度1：利用基本不等式求積最大值典型例題例題1．（2024上·安徽·高一校聯(lián)考期末）若正數(shù)滿足，則的最大值為（

）A．6 B．9 C． D．【答案】C【分析】由基本不等式求解即可.【詳解】解：因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)時取等號．故選：C．例題2．（2024下·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，向量，則的最大值為.【答案】/0.125【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，結(jié)合題意利用基本不等式，即可求得答案.【詳解】由題意知，故，又，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時取等號，故的最大值為，故答案為：角度2：利用基本不等式求和最小值典型例題例題1．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】通過求出，代入所求式消元，運(yùn)用基本不等式求解即得.【詳解】由可知，則，代入得：，當(dāng)時等號成立，即當(dāng)時，取得最小值.故選：D.例題2．（2024上·廣西·高一校聯(lián)考期末）已知，則的最大值為（

）A．2 B．4 C．8 D．【答案】B【分析】利用基本不等式可得關(guān)于的一元二次不等式，解不等式即可.【詳解】，則有，可得，即4，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以的最大值為4.故選：B例題3．（2024上·湖北·高一校聯(lián)考期末）已知，則的最小值為【答案】【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】由于，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為.故答案為：角度3：二次與二次（一次）的商式的最值典型例題例題1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為.【答案】/【分析】首先化簡可得，由則可以利用基本不等式求最值即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以≤，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最大值為.故答案為：.例題2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為．【答案】【分析】將函數(shù)化為，利用基本不等式求其最小值，注意取值條件即可.【詳解】由，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以原函數(shù)的最小值為.故答案為：例題3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上的最大值為．【答案】【分析】令，則，則，利用基本不等式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)椋睿瑒t，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故的最大值為．故答案為：角度4：“1”的妙用求最值典型例題例題1．（2024上·安徽·高一校聯(lián)考期末）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A．6 B．16 C．20 D．18【答案】D【分析】將所求的式子乘以“1”，然后利用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)，滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.故選：D例題2．（多選）（2024上·福建漳州·高一統(tǒng)考期末）已知，，且，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為2 D．的最大值為8【答案】BC【分析】A選項(xiàng)，利用基本不等式直接進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C選項(xiàng)，兩邊平方后，利用基本不等式求出答案；D選項(xiàng)，變形得到，D錯誤.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)椋苫静坏仁降茫矗蔄錯誤；B選項(xiàng)，因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為，B正確；C選項(xiàng)，兩邊平方得，，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故，解得，的最小值為2，C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)椋裕蔇錯誤.故選：BC角度5：條件等式求最值典型例題例題1．（2024下·重慶·高三重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）對于正數(shù)，有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得利用基本不等式可得，再結(jié)合二次函數(shù)不等式求解方法即可求解.【詳解】由題可知：，因?yàn)槎际钦龜?shù)，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等），化簡可得，解得，故C正確.故選：C.例題2．（多選）（2024上·安徽合肥·高一合肥一中校考期末）已知正數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用不等式的性質(zhì)可判定A項(xiàng)，結(jié)合基本不等式可判定B項(xiàng)，利用特殊值可判定C項(xiàng)，根據(jù)條件放縮得出，即可得出判定D項(xiàng).【詳解】對于A，，所以選項(xiàng)正確；對于B，由題，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ蔅選項(xiàng)正確；對于C，可取特殊值滿足題意，則，故C選項(xiàng)錯誤；對于D，，即，則，故D正確.故選：ABD練透核心考點(diǎn)1．（2024上·福建龍巖·高一福建省武平縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知，且，則的最小值是（

）A． B．4 C． D．5【答案】D【分析】由已知可得，再根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】由，得，因?yàn)椋裕瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值是.故選：D.2．（多選）（2024下·吉林通化·高三梅河口市第五中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，若，則（

）A． B．C．的最大值為 D．的最小值為8【答案】ABD【分析】對于AB：根據(jù)題意消去，結(jié)合的取值范圍分析求解；對于C：根據(jù)基本不等式運(yùn)算求解；對于D：根據(jù)“1”的靈活應(yīng)用結(jié)合基本不等式分析求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，可得，對于選項(xiàng)AB：因?yàn)椋裕蔄B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最大值為，故C錯誤；對于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為8，故D正確；故選：ABD.3．（多選）（2023上·安徽合肥·高一合肥市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，且，則（

）A．的最大值為 B．的最大值是C．的最小值是8 D．的最小值是【答案】AC【分析】利用基本不等式判斷AC；利用基本不等式“1”的妙用判斷B，利用消元法與基本不等式判斷D.【詳解】對于A，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故B錯誤；對于C，，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，等號成立，故C正確；對于D，由，得，由，得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時，矛盾，故等號取不到，故錯誤，故選：AC.【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．4．（多選）（2023上·河南三門峽·高一校考階段練習(xí)）已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則（

）A．a(chǎn)b的最大值為4 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為2【答案】BD【分析】根據(jù)基本不等式及“1”代換即可判斷各選項(xiàng).【詳解】對于A，，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時取“=”），所以ab的最小值為4，A錯誤；對于B，由，得（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”），B正確；對于C，（當(dāng)且僅當(dāng)時，取“=”），C錯誤；對于D，（當(dāng)且僅當(dāng)時，取“=”），D正確．故選：BD．5．（2023上·重慶永川·高一重慶市永川中學(xué)校校考期末）已知，且，則的最小值是.【答案】2【分析】將條件等式因式分解可得，然后將待求式子通分并結(jié)合基本不等式可求解出最小值.【詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕裕裕?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以最小值為，故答案為：.6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值.【答案】【分析】將函數(shù)變形成，再利用重要不等式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以函數(shù)的最小值為.高頻考點(diǎn)四：基本不等式的恒成立問題典型例題例題1．（2024上·山東濱州·高一統(tǒng)考期末）已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將問題轉(zhuǎn)化為，利用“1”的代換以及基本不等式求解，從而得到，求解不等式，即可得到答案．【詳解】因?yàn)椴坏仁胶愠闪ⅲ瑒t，因?yàn)椋煽傻茫裕?dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，故，所以，即，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：B．例題2．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）當(dāng)，且滿足時，有恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把恒成立問題轉(zhuǎn)化成求最值問題，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可.【詳解】因?yàn)榧辞遥裕?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，因?yàn)椴坏仁胶愠闪ⅲ裕矗獾茫实娜≈捣秶鸀?故選：A例題3．（2024上·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知，函數(shù)，．(1)若，求不等式的解集；(2)求不等式的解集；(3)，不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）運(yùn)用換元法求解不等式即可.（2）討論參數(shù)范圍，求解不等式即可.（3）運(yùn)用分離參數(shù)法結(jié)合基本不等式求解參數(shù)范圍即可.【詳解】（1）令，，即，解得或，所以或，解得；（2）依題意得，，即，當(dāng)時，；當(dāng)時，x的解集為空集；當(dāng)時，；（3）依題意得，因?yàn)椋裕郑?dāng)且僅當(dāng)時，取得等號，所以，即．練透核心考點(diǎn)1．（2024上·陜西漢中·高一南鄭中學(xué)校聯(lián)考期末）“”是“不等式對于任意正實(shí)數(shù)恒成立”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】當(dāng)時，利用基本不等式可證得，而得不到，可通過舉例驗(yàn)證，利用充分條件，必要條件的概念即可判斷．【詳解】當(dāng)時，對于任意正實(shí)數(shù)，．當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以：是對于任意正實(shí)數(shù)恒成立的充分條件；同理：若時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，也成立，故不是對于任意正實(shí)數(shù)恒成立的必要條件．綜上：是對于任意正實(shí)數(shù)恒成立的充分不必要條件．故選：A．2．（2024上·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）對滿足的任意正實(shí)數(shù)、，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可算出，再將最小值代入，即可求解【詳解】不等式恒成立，，且當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即解得故實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：C3．（2024上·上海青浦·高一統(tǒng)考期末）若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由題意可得對任意的恒成立，故只需，結(jié)合基本不等式求解即可，注意取等條件.【詳解】由題意對任意的恒成立，即對任意的恒成立，故只需，而由基本不等式可得，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.高頻考點(diǎn)五：利用基本不等式解決實(shí)際問題典型例題例題1．（2024上·福建漳州·高一統(tǒng)考期末）北京時間2023年10月26日11時14分，搭載神舟十七號載人飛船的長征二號遙十七運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心精準(zhǔn)發(fā)射，約10分鐘后，神州十七號載人飛船與火箭成功分離，進(jìn)入預(yù)定軌道，航天員乘組狀態(tài)良好，發(fā)射取得圓滿成功，這是我國載人航天工程立項(xiàng)實(shí)施以來的第30次發(fā)射任務(wù)，也是空間站階段的第2次載人飛行任務(wù).航天工程對人們的生活產(chǎn)生方方面面的影響，有關(guān)部門對某航模專賣店的航模銷售情況進(jìn)行調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該專賣店每天銷售一款特價(jià)航模，在過去的一個月內(nèi)（以30天計(jì)）的特價(jià)航模日銷售價(jià)格（元/個）與時間（一個月內(nèi)的第天，下同）的函數(shù)關(guān)系近似表示為（常數(shù)）.該專賣店特價(jià)航模日銷售量（百個）與時間部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：（天）271423（百個）4567已知一個月內(nèi)第7天該專賣店特價(jià)航模日銷售收入為350百元.(1)給出以下三種函數(shù)模型：①，②，③.請你依據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從以上三種函數(shù)模型中，選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型，來表示該專賣店特價(jià)航模日銷售量（百個）與時間的關(guān)系，說明你的理由.(2)借助你在（1）中選擇的模型，記該專賣店特價(jià)航模日銷售收入為（百元），其中，，預(yù)估該專賣店特價(jià)航模日銷售收入在一個月內(nèi)的第幾天最低？【答案】(1)選擇模型③，理由見解析(2)第13天最低.【分析】（1）根據(jù)變化速度排除模型①，根據(jù)不對稱性排除模型②，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，滿足條件，得到答案.（2）確定，，利用均值不等式計(jì)算最值得到答案.【詳解】（1）選擇模型③，理由如下：表格中對應(yīng)的數(shù)據(jù)勻速遞增時，對應(yīng)的數(shù)據(jù)并未勻速變化，模型①不滿足題意；因?yàn)楸砀裰袛?shù)據(jù)滿足，而模型②滿足，模型②不滿足題意；對于模型③，將，代入模型③，有，解得，此時，經(jīng)驗(yàn)證，，均滿足，所以模型③滿足題意.故選擇模型③.（2），故，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以預(yù)估該專賣店特價(jià)航模日銷售收入在一個月內(nèi)的第13天最低.例題2．（2024上·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）隨著我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展、醫(yī)療消費(fèi)需求增長、人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進(jìn)程加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場近年來一直保持了持續(xù)增長的趨勢.上饒市醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場競爭力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為400萬元，最大產(chǎn)能為100臺.每生產(chǎn)臺，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺的售價(jià)為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完.(1)寫出年利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量臺的函數(shù)解析式（利潤=銷售收入-成本）；(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲利潤最大?最大利潤是多少?【答案】(1)(2)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為35（臺）時所獲利潤最大，最大利潤為2050（萬元）【分析】（1）由已知條件，根據(jù)銷售收入和成本計(jì)算利潤；（2）由利潤的函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)和基本不等式，求最大值.【詳解】（1）由題意可得，所以.（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，取最大值，（萬元）；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即（萬元），因?yàn)椋十?dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為35（臺）時所獲利潤最大，最大利潤為2050（萬元）.練透核心考點(diǎn)1．（2024上·安徽亳州·高一統(tǒng)考期末）拉魯濕地國家級自然保護(hù)區(qū)位于西藏自治區(qū)首府拉薩市西北角，是國內(nèi)最大的城市濕地自然保護(hù)區(qū)，也是世界上海拔最高、面積最大的城市天然濕地．其中央有一座涼亭，涼亭的俯瞰圖的平面圖是如圖所示的正方形結(jié)構(gòu)，其中EFIJ和GHKL為兩個相同的矩形，俯瞰圖白色部分面積為20平方米．現(xiàn)計(jì)劃對下圖平面正方形染色，在四個角區(qū)域（即圖中陰影部分）用特等顏料，造價(jià)為200元/平方米，中間部分即正方形MNPQ區(qū)域使用一等顏料，造價(jià)為150元/平方米，在四個相同的矩形區(qū)域即EFNM，GHPN，PQJI，MQKL用二等顏料，造價(jià)為100元/平方米．(1)設(shè)總造價(jià)為W元，MN的邊長為x米，AB的邊長為y米，試建立W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)計(jì)劃至少要投入多少元，才能完成平