第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京171中高二（上）月考數學試卷（10月份）一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線x+3y?2=0的傾斜角為A.π6 B.π4 C.π32.若A(?1,?2)，B(4,8)，C(5,x)，且A，B，C三點共線，則x=(

)A.?2 B.5 C.10 D.123.在空間直角坐標系O?xyz中，點A2,?1,1關于y軸的對稱點為B，則AB=(

)．A.22 B.26 C.4.某居民小區戶主人數和戶主對住房戶型結構的滿意率分別如圖1和圖2所示，為了解該小區戶主對戶型結構的滿意程度，用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取25%的戶主作為樣本進行調查，則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數分別為(

)

A.400，32 B.400，36 C.480，32 D.480，365.如圖，在三棱錐O?ABC中，D是BC的中點，若OA=a，OB=b，OC=c，則A.?a+b+c

B.?a6.已知a∈R，b∈R，則“a=3”是“直線ax+2y?1=0與直線(a+1)x?2ay+1=0垂直”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.若數據x1+m、x2+m、?xn+m的平均數是5，方差是4，數據3x數是4，標準差是s，則下列結論正確的是(

)A.m=2，s=36 B.m=2，s=6 C.m=4，s=36 D.m=4，s=68.如圖，在四棱錐P?ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB=AB=2BC=4，AB⊥BC，則點C到直線PA的距離為(

)A.23 B.C.2 D.9.如圖所示，在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中，AB=1，AD=2，AA′=3，∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°，則A′C的長為(

)A.5

B.23

C.5

10.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，E，F分別是棱AD，B1C1上的中點．若點P為側面正方形ADD1A1內(A.52

B.1

C.12二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知空間向量a=(0,1,?1)，b=(x,y,2)，若a//b，則實數x=______，12.直線l，m的方向向量分別為a=(0,2,2)，b=(4,?4,0)，則直線l，m的夾角為______．13.已知空間三點A(1,?1,?1)，B(?1,?2,2)，C(2,1,1)，則AB在AC上的投影向量的坐標是______．14.已知兩點A(1,?2)，B(2,1)，直線l過點P(0,?1)與線段AB有交點，則直線l斜率取值范圍為______．15.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱B1C1的中點．動點P沿著棱DC從點D向點C移動，對于下列三個結論：

①存在點P，使得PA1=PE；

三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)

(1)經過點B(3,0)，且與直線2x+y?5=0垂直的直線一般式方程．

(2)求過點(?2,4)，且與直線2x+y+1=0平行的直線的一般式方程；

(3)求過點(?2,4)，且在x軸上的截距與在y17.(本小題14分)

對某校高三年級學生參加社區服務的次數進行統計，隨機抽取M名學生，得到這M名學生參加社區服務的次數，根據此數據作出如下頻率分布表和頻率分布直方圖．分組頻數頻率[10,15)100.20[15,20)24n[20,25)mp[25,30]20.04合計M1(1)求出表中M，p及圖中a的值；

(2)若該校有高三學生300人，試估計該校高三學生參加社區服務的次數在區間[15,20)內的人數；

(3)估計該校高三學生參加社區服務次數的眾數、中位數及平均數.(保留一位小數)18.(本小題14分)

文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創造者某市為提高市民對文明城市創建的認識，舉辦了“創建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求頻率分布直方圖中a的值；

(2)求樣本成績的第75百分位數；

(3)已知落在[50,60)的平均成績是54，方差是7，落在[60,70)的平均成績為66，方差是4，求兩組成績的總平均數z?和總方差s2．19.(本小題15分)

如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=AD=2，BD1和B1D交于點E，F為AB的中點．

(Ⅰ)求證：EF//平面ADD1A1；

(Ⅱ)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求

(i)平面CEF與平面BCE的夾角的余弦值；

(ii)點A到平面CEF的距離．

條件①：CE⊥20.(本小題15分)

已知底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，PA//DQ，PA=3DQ=3，AD=2AB=2，且∠ABC=60°．

(1)求證：平面PAC⊥平面CDQ；

(2)線段PC上是否存在點M，使得直線AM與平面PCQ所成角的正弦值是155，若存在，求出PM21.(本小題15分)

已知集合Sn={x|x=(x1,x2,…,xn)，xi∈{0,1}，i=1，2，…，n}(n≥2)，對于A=(a1,a2,…,an)∈Sn，B=(b1,b2,…,bn)∈Sn，定義A與B的差為A?B=(|a1?b1|,|a2?b2參考答案1.D

2.C

3.C

4.A

5.C

6.A

7.D

8.A

9.C

10.A

11.0

?2

12.60°

13.(214.[?1,1]

15.①②③

16.解：(1)設與直線2x+y?5=0垂直的直線方程為x?2y+m=0，

又該直線過點B(3,0)，

則3?2×0+m=0，解得m=?3，

所以所求直線方程為：x?2y?3=0；

(2)設與直線2x+y+1=0平行的直線方程為2x+y+n=0(n≠1)，

又該直線過點(?2,4)，則2×(?2)+4+n=0，解得n=?2，

所以所求直線方程為：2x+y?2=0；

(3)顯然直線不過原點，設其方程為xa+yb=1，

則a+b=2?2a+4b17.解：(1)由分組[10,15)對應的頻數是10，頻率是0.20，可得10M=0.20，

解得M=50，

所以10+24+m+2=50，解得m=14，

所以p=mM=1450=0.28,a=2450×5=0.096；

(2)估計該校高三學生參加社區服務的次數在區間[15,20)內的人數為2450×300=144；

(3)估計該校高三學生參加社區服務次數的眾數是15+202=17.5，

因為n=2450=0.48，

18.解：(1)∵每組小矩形的面積之和為1，

∴(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，

∴a=0.030．

(2)成績落在[40,80)內的頻率為(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65，

落在[40,90)內的頻率為(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9，

設第75百分位數為m，

由0.65+(m?80)×0.025=0.75，得m=84，故第75百分位數為84；

(3)由圖可知，成績在[50,60)的市民人數為100×0.1=10，

成績在[60,70)的市民人數為100×0.2=20，

故z?=10×54+66×2010+20=62．

所以兩組市民成績的總平均數是62，

s2=119.證明：(Ⅰ)如圖，連接AD1，B1D1，BD．

因為長方體ABCD?A1B1C1D1中，BB1/?/DD1且BB1=DD1，

所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，

所以E為BD1的中點，

在△ABD1中，因為E，F分別為BD1和AB的中點，

所以EF/?/AD1，

因為EF?平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1，

所以EF/?/平面ADD1A1；

解：(Ⅱ)選條件①：CE⊥B1D.

(i)連接B1C.

因為長方體中AA1=AD=2，所以B1C=22，

在△CBD1中，因為E為B1D的中點，CE⊥B1D，

所以CD=B1C=22，

如圖建立空間直角坐標系D?xyz，因為長方體中A1A=AD=2,CD=22，

則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,22,0),B(2,22,0),F(2,2,0)，

B1(2,22,2),E(1,2,1)，

所以CE=(1,?2,1),CF=(2,?2,0)，CB=(2,0,0)，

設平面CEF的法向量為m=(x1,y1,z1)，

則m?CE=0m?CF=0，即x1?220.(1)證明：因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，

所以PA⊥CD，

AD=2AB=2，可得AD=2，AB=1，∠ABC=60°，底面ABCD是平行四邊形，

所以BC=AD=2，

由余弦定理可得AC=BC2+AB2?2AB?Bcos∠ABC=4+1?2×2×1×12=3，

可得AB2+AC2=BC2，

所以∠BAC=π2，即AC⊥AB，

可得AC⊥CD，

而AC∩PA=A，

所以CD⊥平面PAC，

因為CD?平面QCD，

所以平面PAC⊥平面CDQ；

(2)由(1)可得，以A為坐標原點，以AB，AC，AP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，PA=3DQ=3，可得DQ=1，

則A(0,0,0)，P(0,0,3)，C(0,3,0)，D(?1,3,0)，Q(?1,3,1)，

設平面PCQ的法向量為n=(x,y,z)，

CP=(0,?3,3)，CQ=(?1,0,1)，

則n?CP=0n?CQ=0，即?3y+3z=0?x+z=0，

令x=1，

可得n=(1,3,1)，

設線段PC上存在點M，滿足條件，

設PM=λPC=λ(0,3,?3)=(0,3λ,?3λ)，