學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精皰丁巧解牛知識·巧學1.三角函數的周期性（1)周期函數定義對于函數f(x），如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時,都有f（x+T）=f(x),那么函數f(x）就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期.由誘導公式可知，正弦函數和余弦函數都是周期函數,每一個非零常數2kπ（k∈Z，k≠0)都是它們的周期.深化升化周期函數x∈定義域M，則必有x+T∈M,且若T＞0則定義域無上界；T＜0則定義域無下界，且如果一個函數是周期函數,它的周期T往往是多值的(如y=sinx，2π，4π,…,-2π,-4π，…都是周期）.對于一個周期函數f（x），如果在它所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小的正數就叫做f(x）的最小正周期.例如，2π是正、余弦函數所有周期中的最小正數，則2π是正弦函數和余弦函數的最小正周期.但應注意并不是所有的周期函數都存在最小正周期.如函數f(x)=1，對于任意實數T都有f（x+T）=f(x）=1，所以只要T是非零常數，則T就是函數f（x）=1的周期，而在實數中并不存在最小的正數，則函數f（x）=1不存在最小正周期。聯想發散由正切線可知，正切函數也是周期函數,它的每一個周期為非零常數kπ（k∈Z，k≠0)，它的最小正周期為π.（2)函數y=Asin(ωx+φ)及函數y=Acos（ωx+φ)（其中A、ω、φ是常數，且A≠0，ω＞0）的最小正周期.一般地，函數y=Asin（ωx+φ）及函數y=Acos（ωx+φ）（其中A、ω、φ是常數，且A≠0，ω＞0)的最小正周期T=。誤區警示公式T=求周期只適用于函數y=Asin（ωx+φ）及函數y=Acos（ωx+φ）的周期且應具有條件“ω＞0”，比如要求y=3sin(—2x+1）的最小正周期,若利用公式T=，所求的最小正周期為T==—π，結論是錯誤的。其正確結果應為T===π。因此，在求y=Asin（ωx+φ）及函數y=Acos（ωx+φ)的周期時還應注意具體問題具體分析，即應注意題目中所給的條件是否有條件“ω＞0”,若有，則它們的最小正周期為T=，否則它們的最小正周期為T=.聯想發散函數y=Atan(ωx+φ)及函數y=Acot（ωx+φ）（其中A、ω、φ是常數，且A≠0，ω＞0)的最小正周期為T=。2.三角函數的圖象和性質（1)正弦函數的圖象對于一類函數，我們主要研究它們的性質，而在三角函數中，正、余弦函數的性質是重點.為了更加直觀地研究三角函數的性質,可以先作出它們的圖象.由于余弦函數y=cosx=sin（x+），則余弦函數的圖象與正弦函數的圖象的形狀相同,它可由正弦函數的圖象經過平移得到，則只要畫出正弦函數的圖象，就可以得到余弦函數的圖象.由上述內容可知,正弦函數y=sinx是以2π為最小正周期的周期函數，則只要畫出y=sinx在區間［0，2π］上的圖象，就可以得到整個圖象,而y=sinx在區間［0,2π］上的圖象可由單位圓中的有向線段得到.畫y=sinx在區間［0,2π］上的圖象的思路如下:①先作單位圓，把⊙O1十二等分(當然分得越細，圖象越精確）；②十二等分后得對應于0，，,，…，2π等角，并作出相應的正弦線；③將x軸上從0到2π一段分成12等份(2π≈6。28），若變動比例，今后圖象將相應“變形"；④取點，平移正弦線，使起點與軸上的點重合;⑤描圖(連結）得y=sinx,x∈［0，2π］.其具體步驟如下：在直角坐標系的x軸上任意取一點O1，以O1為圓心作單位圓，從⊙O1與x軸的交點起把⊙O1分成12等份（份數宜取6的倍數,份數越多，圖象越精確)。過⊙O1上各分點作x軸的垂線,可以得到對應于0，,，，…,2π等角的正弦線(如圖1-3—2，有向線段O1B對應于角的正弦線），相應地,再將x軸從0到2π分為12等份(如圖1—3—2，從原點起向右的第四個點就是對應于角的點).把角x的正弦線向右平移,使它的起點與x軸上的點x重合(如圖1-3-2，把正弦線O1B向右平移，使點O1與x軸上的點重合）。再用光滑曲線把這些正弦線的終點連結起來，就得到了y=sinx，x∈［0，2π］的圖象(如圖1-3-2).圖1由終邊相同的三角函數性質知y=sinx,x∈[2kπ,2（k+1）π］,k∈Z,k≠0的圖象，與函數y=sinx，x∈［0，2π］圖象形狀相同，只是位置不同-—每次向左（右)平移2π單位長就得到正弦函數y=sinx，x∈R的圖象,正弦函數的圖象叫做正弦曲線（如圖1-圖1上面是借助正弦線描點來作出正弦曲線，此外，也可以通過列表描點來作出正弦曲線.由上面的圖1不難發現,函數y=sinx,x∈［0,2π］的圖象上起關鍵作用的點有五個:（0，0),(,1），(π,0)，(，-1)，（2π,0).事實上，描出五點后，函數y=sinx,x∈［0，2π］的圖象形狀就基本確定了。此種畫法稱為“五點（畫圖)法”。這種畫法的優點是方便，缺點是精確度不高，熟練后且在精確度要求不高的情況下才可以用此種方法畫正弦函數的圖象。作三角函數的圖象時，自變量要用弧度制，這樣自變量與函數值均為實數,x、y軸的單位就可以統一了，作圖時不要以比較習慣的角度制作為自變量的單位，這一點應引起注意.聯想發散利用五點法作正弦函數的圖象時,這五個點的選擇與函數自變量的取值范圍有關，一般地,當自變的取值范圍是［0,2π］時，這五個點取（0,0）,（，1)，（π,0）,(,-1),(2π，0）；當自變量的取值范圍為［-，］時，這五個點取(-,0）,(0,0)，(,1),(π，0）,(,-1).總之,這五個點的橫坐標都使正弦函數值取得最大值、最小值和零值。(2）余弦函數的圖象由上面內容可知余弦函數與正弦有如下關系：y=cosx=2sin（x+),所以，只要將正弦函數的圖象向左平移個單位就可得到余弦函數的圖象.余弦函數的圖象叫做余弦曲線(如圖1-3圖1辨析比較正弦曲線和余弦曲線的共同點：都是波浪狀曲線，且都夾在直線y=1和y=—1之間，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形。它們的不同點：正弦曲線的對稱中心為(kπ，0),k∈Z,對稱軸方程為x=kπ+，k∈Z,而余弦曲線的對稱中心為（kπ+,0），k∈Z，對稱軸方程為x=kπ，k∈Z.(3）正弦函數、余弦函數的性質由正弦函數和余弦函數的圖象，可得正弦函數、余弦函數的性質如下:①定義域正弦函數、余弦函數的定義域都是實數集R。②值域由正弦曲線、余弦曲線可以發現：—1≤sinx≤1，—1≤cosx≤1,即|sinx｜≤1,｜cosx｜≤1〔我們把滿足條件|f(x)｜≤M的函數f（x）稱為有界函數〕.而且sinx,cosx都可以取［—1，1］中的一切值,所以正弦函數和余弦函數的值域都是[—1，1].由正弦函數圖象的畫法過程可知,角的正弦線最長,它等于單位圓的半徑為1，所以，當x=正弦函數取最大值為1，又角2kπ+（k∈Z)與角的終邊相同,則角2kπ+（k∈Z)的正弦值也是1，所以正弦函數當且僅當x=2kπ+(k∈Z)時取得最大值1。同理,當且僅當x=2kπ-（k∈Z)時取得最小值—1.而由單位圓中的有向線段可知當x=0時，余弦函數取最大值為1，又角x=2kπ(k∈Z）與角0的終邊相同，所以余弦函數當且僅當x=2kπ(k∈Z）時取最大值1。同理,當且僅當x=2kπ+π(k∈Z）時取最小值-1.③周期性由誘導公式一可知，正弦函數和余弦函數都是周期函數,2kπ(k∈Z,k≠0)都是它們的周期，它們的最小正周期為2π.正、余弦函數的周期性也可以通過它們的圖象體現出來，它們的圖象都是由在［0，2π]上的圖象向左或向右平移2π的整數倍個單位得到的.④奇偶性對于正弦函數y=sinx,x∈R,其圖象任意一點(x，y)即（x,sinx)關于原點的對稱點是（—x，-y）即(-x，—sinx)，又由誘導公式sin(—x）=-sinx可知，這個對稱點就是（-x，sin(-x）），它也在正弦函數的圖象上.這就是說將正弦曲線繞原點旋轉180°后,曲線與原來的曲線重合，所以正弦函數是奇函數，正弦曲線關于原點對稱。對于余弦函數y=cosx,x∈R,其圖象任意一點（x，y）即（x,cosx)關于y軸的對稱點是(—x,y）即(—x，cosx），又由誘導公式cos（—x)=cosx可知，這個對稱點就是（-x，cos(-x）)，它也在余弦函數的圖象上.這說明，將余弦函數沿y軸折疊，y軸兩旁的部分能夠互相重合，所以,余弦函數是偶函數,余弦曲線關于y軸對稱.⑤單調性由正弦曲線可以看出，當x由-增大到時,曲線逐漸上升，sinx的值由—1增大到1;當x由增大到時，曲線逐漸下降,sinx的值由1減小到—1,由正弦函數的周期性可知：正弦函數在每一個閉區間［—+2kπ，+2kπ］(k∈Z)上都是增函數，其值從—1增大到1；在每一個閉區間[+2kπ,+2kπ］（k∈Z)上都是減函數,其值從1減小到-1。所以,每一個閉區間[-+2kπ,+2kπ］（k∈R)是正弦函數的增區間，每一個閉區間［+2kπ,+2kπ](k∈Z）是正弦函數的減區間。誤區警示正弦函數在第一象限是增函數這種說法是錯誤的，這是因為第一象限中終邊相同的角的正弦值是相等的，而終邊相同的角具有大小關系,所以這并不滿足單調性的定義.正確的說法是:正弦函數在每一個區間（2kπ，+2kπ）(k∈Z）上是增函數。類似地,由余弦曲線可以看出，當x由0增大到π時,曲線逐漸下降，cosx的值由1減小到—1;當x由π增大到2π時，曲線逐漸上升,cosx的值由-1增大到1，由余弦函數的周期性可知：余弦函數在每一個閉區間［2kπ,π+2kπ](k∈Z）上都是減函數，其值從1減小到—1;在每一個閉區間［π+2kπ，2π+2kπ](k∈Z）上都是增函數，其值從-1增大到1。所以，每一個閉區間［2kπ,π+2kπ］(k∈Z)是余弦函數的減區間，每一個閉區間［π+2kπ，2π+2kπ](k∈Z)是余弦函數的增區間。利用正、余弦函數的單調性,可以比較三角函數的大小,可以求三角函數的單調區間，還可以借助三角函數的圖象解簡單的三角不等式.辨析比較函數的奇偶性是相對于函數的定義域來說的，而函數的單調性是相對于函數定義域內某個區間來說，從這個意義上說,函數的單調性是函數的“局部”性質，而奇偶性是函數的“整體"性質.深化升華奇函數在關于原點對稱的兩個區間上具有相同的單調性,偶函數在關于原點對稱的兩個區間上單調性相反.記憶要訣對于正、余弦函數的性質，要結合它們的圖象進行記憶。（4）正切函數的圖象同正弦函數的圖象的畫法相同，畫正切函數的圖象也利用單位圓的有向線段.畫它的圖象可分以下幾步進行：①首先考慮定義域:不論是研究函數的性質還是畫函數的圖象都應首先考慮它的定義域，由正切函數的定義可知，正切函數的定義域為｛x｜x≠kπ+(k∈Z)}.②為了研究方便，再考慮一下它的周期:∵tan（x+π)===tanx（x∈R,且x≠kπ+，k∈Z），∴y=tanx（x∈R,且x≠kπ+，k∈Z）的周期為T=π（最小正周期）。③選擇(-,)的區間作出它的圖象（如圖1-3—圖1根據正切函數的周期性，把上述圖象向左、右擴展，得到正切函數y=tanx,x∈R，且x≠+kπ（k∈Z）的圖象,并把它稱為正切曲線(如圖1—3圖1正切曲線是被互相平行的直線x=kπ+,k∈Z所隔開的無窮多支曲線組成的，且正切曲線是中心對稱圖形，它的對稱中心為(，0），其中k∈Z。深化升化正切函數的定義域是{x｜x≠kπ+（k∈Z)}，所以正切曲線被x=±,±，…等與y軸平行的直線隔開，且這些直線成為正切曲線的漸近線,在每兩條這樣的相鄰直線之間，曲線是連續變化的，并且從左向右看是上升的.辨析比較作正弦函數的圖象可以利用“五點法”作圖.而作正切函數的圖象可用“三點兩線法"，“三點”即為(kπ,0),（kπ+，1），(kπ-，—1)，其中k∈Z，“兩線”指的是直線x=kπ±，k∈Z.（5）正切函數的性質由正切函數的圖象可以得到正切函數的主要性質如下:①定義域由正切函數的定義不難得出正切函數的定義域為｛x｜x∈R且x≠+kπ，k∈Z}.②值域由圖象可觀察到：當x從小于kπ+（k∈Z）趨向于kπ+時，tanx趨于+∞。當x從大于kπ+（k∈Z)趨向于kπ+時,tanx趨于—∞.所以，正切函數的值域為實數集R.③周期性由正切函數的圖象可知,正切函數是以π為周期的周期函數。此外,正切函數的周期性也可由誘導公式得出。④奇偶性由誘導公式可得tan（—x）=—tanx，所以正切函數是奇函數，它的圖象關于原點對稱.⑤單調性由正函數的圖象可知在每一個開區間(—+kπ，+kπ）,k∈Z內都是增函數，即每一個開區間(-+kπ，+kπ），k∈Z都是正切函數的單調增區間.利用正切函數的單調性可以解決以下問題:①比較不同角的三角函數值的大小;②求三角函數的單調區間；③解三角不等式.記憶要訣充分利用正切函數的圖象來掌握正切函數的性質。誤區警示雖然正切函數在每一個開區間（-+kπ,+kπ）,k∈Z內都是增函數.但正切函數在它的定義域內是增函數是錯誤的，比如和都在正切函數的定義域內,且＜，但tan＞tan,與單調增函數的定義不符。所以，不能說正切函數在其定義域內是增函數.辨析比較正切函數y=tanx，x≠kπ+,k∈Z的定義域不是R，又正切函數與正、余弦函數的對應法則不同,因此一些性質與正、余弦函數的性質有較大的差別.如正、余弦函數是有界函數，而正切函數則是無界函數;正、余弦函數是連續曲線，反映在圖象是連續無間斷點的,而正切函數在R上不連續，它有無數條漸近線，它的圖象被這些漸近線分割開來；正、余弦函數既有單調增區間又有單調減區間，而正切函數只有單調增區間.它們也有大量的共同性質。比如它們都是周期函數，它們的圖象都是中心對稱圖形等。3.函數y=Asin(ωx+φ)的圖象(1)A、ω、φ的物理意義當函數y=Asin（ωx+φ），x∈［0,+∞)(其中A＞0,ω＞0)表示一個振動量時，A就表示這個量振動時離開平衡位置的最大距離,通常稱為這個振動的振幅；往復一次所需要的時間T=,稱為這個振動的周期；單位時間內往復振動的次數f=，稱為振動的頻率；ωx+φ稱為相位；當x=0時,相位φ稱為初相。（2)函數y=sin(x+φ)和y=sinx的圖象的關系在前面內容的學習過程中我們研究過函數y=2x和函數y=2x+a圖象之間的關系，我們知道函數y=2x+a的圖象是由函數y=2x左右平移得到的.那么函數y=sin(x+φ)和y=sinx的圖象的關系又是怎樣的呢？下面就以實例來說明.畫出函數y=sin(x+）（x∈R）；y=sin(x-)(x∈R)的簡圖。畫上面兩個函數的簡圖同畫正弦函數的簡圖相同，可以利用五點作圖。其步驟如下：列表:x+0π2ππsin（x+)010—10x-0π2ππsin（x—）010-10作圖：由圖1—3-7不難發現，函數y=sin（x+)的圖象是由函數y=sinx的圖象向左平移了個單位得到的；函數y=sin(x—)的圖象是由函數y=sinx的圖象向右平移了個單位得到的。圖1由此我們可以得到一般結論如下:一般地,函數y=sin(x+φ）的圖象可以看作將函數y=sinx的圖象上所有的點向左（φ＞0)或向右(φ＜0)平移｜φ｜個單位長度而得到的.深化升華在利用五點法作函數y=sin（x+φ)的圖象時，需要將x+φ看成一個整體，使x+φ分別取0、、π、、2π，解出相應的x，然后描點,連線即可。聯想發散函數y=f（x+a)的圖象，可以看作是把y=f（x)圖象向左（a＞0)或向右（a＜0）平移｜a｜個單位得到的.記憶要訣對于左右的平移,可簡記為“加左減右"，即當自變量x加上一個正數向左平移,減去一個正數向右平移.(3）函數y=Asinx和y=sinx的圖象間的關系畫出函數y=2sinx,x∈R；y=sinx,x∈R的圖象(簡圖）。由于這兩個函數的周期T=2π，所以不妨在［0,2π］上作它們的簡圖，方法還是利用五點法.步驟如下：列表：x0π2πsinx010-102sinx020-20sinx00—0作圖：由圖1-3-8可以看出，函數y=2sinx的圖象上橫坐標為t的點的縱坐標等于函數y=sinx的圖象上橫坐標為t的點的縱坐標的2倍；而函數y=sinx的圖象上橫坐標為t的點的縱坐標等于函數y=sinx的圖象上橫坐標為t的點的縱坐標的倍。所以，函數y=2sinx的圖象可以看作函數y=sinx的圖象上所有點的縱坐標變為原來的2倍（橫坐標不變)而得到的；而函數y=sinx的圖象可以看作函數y=sinx的圖象上所有點的縱坐標變為原來的倍(橫坐標不變）而得到的。圖1由此可得一般結論如下：一般地,函數y=Asinx(A＞0且A≠1）的圖象，可以看作將函數y=sinx的圖象上所有點的縱坐標變為原來的A倍(橫坐標不變）而得到的.此外，由上面的圖象還不難發現，函數y=Asinx(A＞0且A≠1）的值域［-A，A]，最大值是A，最小值是-A。它是一個周期函數,周期T=2π。它也是一個奇函數，圖象關于原點對稱.在每一個閉區間[—+2kπ，+2kπ］（k∈Z)上都是增函數，其值從-A增大到A；在每一個閉區間[+2kπ，+2kπ］(k∈Z）上都是減函數，其值從A減小到-A.所以，每一個閉區間[-+2kπ,+2kπ］（k∈Z)是它的增區間，每一個閉區間［+2kπ,+2kπ]（k∈Z）是它的減區間。若A＜0，可先作y=—Asinx的圖象，再以x軸為對稱軸翻折即可.聯想發散函數y=Af(x)(A＞0，A≠1)的圖象，可以看作是把y=f（x)圖象上點的縱坐標伸長(A＞1)或縮短（0＜A＜1）到原來的A倍(橫坐標不變）而得到的。(4)函數y=sinωx和函數y=sinx的圖象的關系畫出函數y=sin2x，x∈R；y=sinx，x∈R的圖象（簡圖）.函數y=sin2x的周期T=π,∴在[0，π］上利用五點法作其簡圖。令X=2x，則x=，從而sinX=sin2x。列表:X=2x0π2πx0πsin2x010-10函數y=sin的周期T=4π，∴在[0,4π］上利用五點法作其簡圖。列表：X=0π2πx0π2π3π4πsin010-10作圖：由圖1-3—9可以看出，函數y=sin2x的圖象上橫坐標為的點的縱坐標等于函數y=sinx的圖象上橫坐標為t的點的縱坐標;而函數y=sinx的圖象上橫坐標為2t的點的縱坐標等于函數y=sinx的圖象上橫坐標為t的點的縱坐標。所以,函數y=2sinx的圖象可以看作函數y=sinx的圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變）而得到的;而函數y=sinx的圖象可以看作函數y=sinx的圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍(縱坐標不變)而得到的.圖1由此我們可以得到一般結論如下：函數y=sinωx,x∈R（ω＞0且ω≠1）的圖象，可看作將函數y=sinx的圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍(縱坐標不變)而得到的.此外，由上圖我們還不難發現，函數y=sinωx，x∈R(ω＞0且ω≠1）具有以下性質:①值域為［—1，1］；②它是一個周期函數，周期T=；③它是一個奇函數，圖象關于原點對稱;④在每一個閉區間［-+,+］（k∈Z)上都是增函數，其值從—1增大到1；在每一個閉區間［+，+］(k∈Z）上都是減函數，其值從1減小到—1。所以,每一個閉區間［-+,+］(k∈Z）是它的增區間,每一個閉區間[+,+］(k∈Z)是它的減區間.若ω＜0，則可用誘導公式將符號“提出”再作圖.聯想發散函數y=f(ωx)(ω＞0,ω≠1)的圖象，可以看作是把y=f(x）圖象上點的橫坐標縮短(ω＞1）或伸長(0＜ω＜1)到原來的倍(縱坐標不變)而得到的.(5)函數y=sinωx和y=sin(ωx+φ）（ω＞0，φ≠0）的圖象的關系.畫出函數y=sin(2x+）(x∈R）的簡圖.列表：2x+0π2πx-sin(2x+）010-10作圖:由圖1-3-10可知，函數y=sin（2x+）的圖象是由函數y=sin2x的圖象上所有的點向左平移個單位而得到的.類似地，將函數y=sin2x的圖象上所有的點向右平移個單位就可以得到函數y=sin（2x-）的圖象.圖1一般地，函數y=sin(ωx+φ)(ω＞0，φ≠0)的圖象,可以看作將函數y=sinωx的圖象上所有的點向左（φ＞0時）或向右（φ＜0時)平移||個單位而得到的。聯想發散函數y=f(ax+b）（a＞0,a≠1)的圖象是由函數y=f（ax)的圖象向左(b＞0)或向右(b＜0）平移｜|個單位得到的.(6)函數y=sinx和y=Asin(ωx+φ）（A＞0，ω＞0)的圖象的關系一般地，函數y=Asin（ωx+φ)(其中A＞0,ω＞0),x∈R的圖象,可以看作是用下面的方法而得到的：先把正弦曲線上所有的點向左(φ＞0）或向右(φ＜0）平行移動|φ|個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短（ω＞1)或伸長（0＜ω＜1)到原來的倍（縱坐標不變)，再把所得各點的縱坐標伸長(A＞1）或縮短(0＜A＜1）到原來的A倍（橫坐標不變）。此外，y=Asin(ωx+φ）(其中A＞0，ω＞0），x∈R的圖象也可通過下面的方法而得到:先把正弦曲線上所有點的橫坐標縮短(ω＞1)或伸長(0＜ω＜1)到原來的倍(縱坐標不變)，再把所得各點向左（φ＞0)或向右(φ＜0）平移個單位長度,再把所得各點的縱坐標伸長（A＞1)或縮短（0＜A＜1)到原來的A倍（橫坐標不變）.其示意圖如下：誤區警示橫坐標的伸縮變換，實際是變換自變量x的系數，與自變量x后的常數無關，如將函數y=sin(x+1）圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的一半（縱坐標不變）所得圖象對應的解析式應為y=sin(2x+1)而不是y=sin2（x+1）。4.三角函數的應用三角函數能夠模擬許多周期現象，如果某種變化著的現象具有周期性，那么它就可以借助三角函數來描述.三角函數作為描述現實世界中周期現象的一種數學模型，可以用來研究許多問題，在刻畫周期變化規律、預測其未來等方面都發揮著十分重要的作用.具體的，我們可以利用搜集到的數據，作出相應的“散點圖”。通過觀察散點圖并進行函數擬合而獲得具體的函數模型，最后利用這個函數模型來解決實際問題。實際問題通常涉及復雜的數據，因此往往需要使用計算機或計算器。解答應用題的關鍵在于審題上，而要準確理解題意必須過好三關:事理關,通過閱讀、理解，明白問題講的是什么，熟悉實際背景，為解題打開突破口；文理關,將實際問題的文字語言轉化為數學的符號語言，用數學式子表達數學關系.數理關，在構建數學模型的過程中,對已有數學知識進行檢索，從而認定或構建相應的數學模型完成由實際問題向數學問題的轉化.典題·熱題知識點1三角函數的周期例1求下列三角函數的周期：（1)y=sin(x+）；(2)y=3sin(+)。思路分析:利用函數的定義及函數周期性。解：(1)令z=x+，而sin（2π+z)=sinz.即f（2π+z）=f（z）.所以有f［（2π+x+］=f（x+）。∴周期T=2π.(2)令z=+，則有f(x）=3sinz=3sin（z+2π)=3sin（++2π)=3sin(+)=f(x+4π）。∴T=4π。方法歸納求函數的最小正周期或證明一個函數是周期函數通常利用周期函數的定義，即利用式子f（x+T）=f（x)，此式子的意思是：將函數解析式中的自變量x用x+T替代后，函數的解析式不變。例2(1)設f(x)是定義在R上的函數，其最小正周期為,若f（x）=求f(—)的值。（2)已知函數f(x)的最小正周期為2的奇函數,當x∈(0,1)時，f（x)=2x，求f（)的值。思路分析：對于(1）由于T=，則有f(x+）=f（x），多次利用周期函數定義進行化簡,即獲得結果.對于(2）可利用f(x+2）=f（x)及f（-x)=—f（x)，將轉化到開區間（0，1)上，再利用f（x)=2x求值.解：（1)由于T=，則k·T=k·(k∈Z,k≠0)都是函數的周期.所以f（—)=f［(—3）×+］=f（）=sin=sin=.(2)∵24＜23＜25,∴4＜log223＜5，則0＜log223-4＜1。又∵2為f(x）的周期，∴2k(k∈Z)也是f(x）的周期。∴f（)=f（—log223）=—f(log223）=-f（log223—4)==·2—4=-.方法歸納若T為一個函數的最小正周期，則kT(k為非零整數)也是函數的周期.深化升華周期性不是三角函數的專有性質，只要一個函數的性質滿足周期函數的定義,則它就是一個周期函數.如：y=（x—2k）2，x∈［2k—1，2k+1］.（k∈Z)就是一個以2為最小正周期的周期函數.知識點2三角函數的圖象與性質例3畫出下列函數的簡圖:(1）y=1+sinx，x∈［0,2π］；(2)y=—cosx,x∈［0，2π］.思路分析：利用五點法作出它們的圖象。解：（1)按五個關鍵點列表:x0π2πsinx010—101+sinx12101利用正弦函數的性質描點畫圖（如圖1—圖1（2）按五個關鍵點列表：x0π2πcosx10—101-cosx-1010-1利用余弦函數的性質描點畫圖（如圖1—圖1方法歸納利用五點法作正、余弦函數圖角的關鍵是找出五個關鍵的點，一般地，對于正弦函數應取一個最大值點和一個最小值點及三個與x軸的交點；對于余弦函數應取兩個最大值點、一個最小值點及兩個與x軸的交點。例4求使下列函數取最大值的x的集合:（1)y=1-cos2x，x∈R；(2)y=2sin(2x+)，x∈R。思路分析：應用正、余弦函數的性質.解題時（1)中將2x看成一個整體；(2）中將2x+看成一個整體.解：(1)若函數y=1-cos2x,x∈R取最大值，則函數y=cos2x,x∈R取最小值，令z=2x，由于x∈R，則z∈R，且使函數y=cosz，z∈R取得最小值的z的集合是{z｜z=π+2kπ,k∈Z｝。由2x=π+2kπ,k∈Z，得x=+kπ，k∈Z.這就是說使函數y=1—cos2x,x∈R取最大值的x的集合是{x｜x=+kπ，k∈Z}。(2)令z=2x+，由于x∈R,則z∈R,且使函數y=sinz,z∈R取得最大值的z的集合是｛z｜z=+2kπ,k∈Z｝。由2x+=+2kπ，k∈Z,得x=+kπ，k∈Z.這就是說使函數y=2sin(2x+)，x∈R取最大值的x的集合是{x|x=+kπ,k∈Z}。深化升華函數y=Asin（ωx+φ）+b(A＞0）的最大值為A+b，最小值為-A+b，取最大值時ωx+φ=2kπ+（k∈Z)，取最小值時ωx+φ=2kπ—(k∈Z)；函數y=Acos（ωx+φ)+b（A＞0)的最大值為A+b，最小值為—A+b，取最大值時ωx+φ=2kπ(k∈Z)，取最小值時ωx+φ=2kπ+π(k∈Z).例5不求值，該如何判斷下列各式的符號？(1)sin500°—sin134°；(2）cos(）—cos（）;(3)tan138°—tan143°；(4）tan()-tan(）。思路分析：應用三角函數的單調性,解題時首先利用誘導公式將角化到各三角函數的同一個單調區間內，再利用單調性比較大小,從而得出差與0的大小關系。解:(1)由于sin500°=sin140°，又90°＜134°＜140°＜180°，由正弦函數的性質,可知在90°—180°范圍內，正弦值隨自變量的增大而減小，所以sin500°＜sin134°，從而sin500°—sin134°＜0.(2）由于cos()=cos,cos（)=cos。又0＜＜＜π，由于［0,π］是余弦函數的單調減區間，則有cos（)＞cos（).從而cos()-cos（）＞0.（3）由于tan138°—tan143°=tan(180°-42°）-tan(180°-37°）=tan37°—tan42°.又37°角的終邊和42°角的終邊都在第二象限,根據正切函數的單調性，可知tan37°＜tan42°.所以，tan37°—tan42°＜0，即tan138°-tan143°＜0。（2)由于tan(）—tan(）=tan—tan=tan(3π+)—tan(3π+）=tan—tan,由于0＜＜＜,根據正切函數的單調性，可知tan＞tan。所以tan—tan＞0,即tan()-tan(）＞0.方法歸納在比較幾個角同名三角函值的大小時，一定要注意將這些角利用誘導公式轉化到同一個單調區間內，再進行比較.在比較的過程中也要注意不等式基本性質的應用.例6寫出下列函數的單調增區間：（1）y=3sin(2x—）；（2)y=2cos（2x+）；（3)y=logi[sin（2x+）]。思路分析:應用正、余弦函數的單調性。(1)設z=2x—，則y=sinz在［—+2kπ，+2kπ］(k∈Z)上是增函數，即2x—∈［—+2kπ，+2kπ]（k∈Z)。由此可寫出x的范圍;(2）與(1）類似；（3)根據復合函數同增異減的原則進行求解。解:(1）設z=2x-，則y=sinz在［-+2kπ,+2kπ］（k∈Z)上是增函數,即2x—∈[-+2kπ,+2kπ］(k∈Z）。由-+2kπ≤2x-≤+2kπ（k∈Z)，得—+2kπ≤2x≤+2kπ（k∈Z),即-+kπ≤x≤+kπ（k∈Z)。所以，函數y=3sin（2x—)的單調增區間為［-+kπ，+kπ］（k∈Z).（2)由-π+2kπ≤2x+≤2kπ(k∈Z)，得—+2kπ≤2x≤—+2kπ(k∈Z），即-+kπ≤x≤-+kπ(k∈Z)。所以，函數y=2cos(2x+)的單調增區間為［-+kπ，—+kπ]（k∈Z）.(3)設u=sin(2x+）,由y=log2u是增函數,可知y=log2［sin（2x+）］的增區間就是u=sin（2x+)（u＞0)的增區間.由y=sinx（y＞0）的圖象,可知y=sinx(y＞0）的增區間為（2kπ，2kπ+］(k∈Z），因此,對于u=sin（2x+)（u＞0)有2kπ＜2x+≤2kπ+(k∈Z)，即—+2kπ＜2x≤2kπ+（k∈Z）。所以—+kπ＜x≤kπ+（k∈Z）.所以，函數y=log2［sin（2x+）]的單調增區間為(-+kπ，kπ+］(k∈Z）。方法歸納本題的關鍵在于轉化思想的應用，使用了整體換元法。函數的單調性是函數在定義域內的某個區間上的性質，因此，要求函數的單調區間，應首先求函數的定義域。此外，函數的單調區間應寫成區間的形式.例7討論函數y=tan（x+)的性質。思路分析:本題主要應用正切函數的性質,只需設z=x+即可.解：設u=x+，由于y=tanu的定義域為(x++kπ)，則有x+≠+kπ,k∈Z，由此可得函數的定義域為{x｜x∈R且x≠kπ+，k∈Z}，又函數y=tanu的值域為R，所以函數y=tan(x+)的值域也是R。又tan（—x+)≠tan(x+）且tan（—x+)≠-tan(x+)，所以函數y=tan（x+）是非奇非偶函數.又y=tanu的單調區間為開區間（—+kπ,+kπ)(k∈Z），則由—+kπ＜x+＜+kπ,k∈Z可得：函數y=tan（x+)在（kπ—，kπ+)上是增函數。由于tan（x+π+)=tan（x+)，所以函數y=tan(x+)是以π為周期的周期函數。函數y=tan(x+)的圖象可看作是函數y=tanx的圖象向左平移了個單位。方法歸納一般地，函數y=Atan（ωx+φ）(A＞0，ω＞0）的單調區間由不等式kπ-＜ωx+φ＜kπ+(k∈Z）得出.知識點3函數y=Asin（ωx+φ）的圖象例8（1)函數y=sin(2x—)的圖象可以由函數y=sin2x的圖象經過下列哪種變換得到？()A。向右平移個單位B.向左平移個單位C.向右平移個單位D。向左平移個單位（2）已知函數y=f(x)，f（x)的圖象上每個點的縱坐標保持不變，將橫坐標變為原來的2倍，然后將整個圖象向左平移個單位,得到函數y=sinx的圖象,則函數y=f（x)的表達式為(）A。y=sin(—）B。y=sin（+）C.y=sin(x+)D。y=sin(2x-）思路解析：（1）由函數y=sin2x的圖象得到y=sin（2x-)的圖象，由變化規律可知，需將函數y=sin2x的圖象向右平移個單位；A項向右平移個單位得到的函數的解析式應為y=sin2(x-)=sin（2x-），B項中若向左平移個單位得到的函數的解析式應為y=sin2(x+）=sin(2x+)，D項若向左平移個單位得到的函數的解析式應為y=sin2（x+）=sin(2x+).(2）是一個由復雜函數y=sin（ωx+φ）的圖象得到一個簡單函數y=sinx圖象的問題,可逆過來從簡單函數的圖象出發實施相反的變換過程即可得y=f（x）的解析式。根據題意，將y=sinx的圖象向右平移個單位后得到函數y=sin(x-）的圖象，再將此函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍，得到函數y=sin(2x-），此即為函數y=f(x)的解析式。答案:(1）C(2）D方法歸納處理三角函數圖象變換的問題一定要熟記三角函數圖象的變換規律.當由復雜函數的解析式通過圖象變換推導簡單函數的解析式時，可利用其逆過程。例9不畫圖寫出下列函數的周期、頻率、振幅和初相。這些函數的圖象是由正弦曲線經過怎樣的變換得出的？(1）y=8sin（-）；(2）y=sin(3x+）。思路分析：由三角函數周期的計算公式、頻率的計算公式、振幅和初相的定義解出.解:(1)由三角函數周期的計算公式、頻率的計算公式、振幅和初相的定義可知：周期為4π，頻率為，振幅為8,初相為—.變換過程是:將正弦曲線上所有的點向右平移，得函數y=sin（x—）的圖象,將函數y=sin(x-)圖象上點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變)，得到函數y=sin（—）的圖象，再將函數y=sin（-)圖象上點的縱坐標變為原來的8倍（橫坐標不變）即可得到函數y=8sin（-）的圖象.（2)由三角函數周期的計算公式、頻率的計算公式、振幅和初相的定義可知：周期為，頻率為，振幅為，初相為.將正弦曲線上所有的點向左平移，得到函數y=sin（x+)的圖象,將函數y=sin（x+)圖象上點的橫坐標變為原來的倍(縱坐標不變），得到函數y=sin(3x+)的圖象，再將函數y=sin（3x+）圖象上點的縱坐標變為原來的倍（橫坐標不變)，即可得到函數y=sin（3x+)的圖象.方法歸納在進行三角函數的圖象的變換時，一般是先進行圖象的左右平移變換，再進行自變量x的系數變換。例10函數y=Asin（ωx+φ)(A＞0，ω＞0｜φ｜＜）的最小值是-2,其圖象最高點與最低點橫坐標的差是3π，又圖象過點(0，1），求函數解析式。思路分析：利用函數y=Asin（ωx+φ)(A＞0,ω＞0）的圖象和性質.以同一周期內相鄰的兩個取最值的橫坐標差的絕對值為周期的一半.解：易知A=2,半周期=3π，∴T=6π，即=6π,從而ω=.則y=2sin(x+φ),令x=0,有2sinφ=1.又｜φ｜＜,∴φ=.∴所求函數解析式為y=2sin(x+）.方法歸納由函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0,ω＞0,｜φ｜＜）的圖象，可得函數的最值、周期、對稱軸和對稱中心等信息.深化升華函數y=Asin(ωx+φ）（A＞0，ω＞0,｜φ｜＜）的圖象夾在直線y=±A之間,它既是一個軸對稱圖形，又是一個中心對稱圖形。它的對稱軸方程由方程ωx+φ=kπ+,k∈Z得出，它的對稱中心的橫坐標由方程ωx+φ=kπ，k∈Z得到,縱坐標為0.相鄰的兩個對稱軸之間的距離或相鄰的兩個對稱中心之間的距離為其周期的一半.知識點4三角函數的應用例11已知某城市一年中12個月的月平均氣溫與月份數之間的關系可以近似地用一個三角函數來描述.已知6月份的月平均氣溫最高，為28℃，12月份的月平均氣溫最低,為8℃。則這個三角函數的表達式是什么?思路分析：可設出解析式利用已知條件和函數y=Asin(ωx+φ)+b（A＞0，ω＞0）的性質求出系數即可。解：設函數的解析式為y=Asin(ωx+φ）+b（A＞0,ω＞0,—π≤φ＜π），則由已知可得解得又由已知函數周期的一半為12-6=6，所以函數的周期為12，即12=。所以ω=。又當x=6時，函數有最大值為28。所以，有28=10sin(×6+φ）+18,即sin(φ+π)=1，得sinφ=—1。又—π≤φ＜π，所以φ=-.所以，函數的解析式為y=10sin(x—)+18.方法歸納在利用待定系數法求y=Asin(ωx+φ)+b（A＞0，ω＞0，-π≤φ＜π)時，如果有最值點的坐標,一般是利用最值點來確定解析式中的φ值.例12如圖1—圖1思路分析:根據右圖，太陽高度角為θ、樓高為h、樓在地面的投影長l與h之間有如下關系：l=。根據地理知識，在北京地區，太陽直射北回歸線時物體的影子最短，直射南回歸線時物體的影子最長。因此為了使新樓一層正午的太陽全年不被遮擋，應考慮太陽直射南回歸線時的情況。解：如圖1-圖1根據太陽高度角的定義，有∠C=90°—｜40°-（-23°26′)｜=26°34′，所以MC=≈2.000h,即在蓋樓時，為使后樓不被前樓遮擋，要留出相當于樓高兩倍的間距.方法歸納實際問題的背景往往比較復雜，而且需要綜合應用多學科的知識才能解決它.因此，在應用數學知識解決實際問題時，應注意從復雜的背景中抽取基本數學關系，還要調動相關學科來幫助解決問題。問題·探究思想方法探究問題怎樣求方程sinx=解的個數?探究過程：根據我們所學的知識，還不能解出這個方程.這時不妨采用數形結合的方法，把求方程根的個數的問題轉化為求函數y=sinx與y=的交點個數的問題。此外，解題時還應注意兩個函數的奇偶性及圖象的特性。具體方法是:作出當x≥0時，y=sinx與y=的圖象，由圖可知它們有4個交點(包括原點）。又因為y=sinx與y=都是奇函數，它的圖象關于原點對稱，所以,當x＜0時,兩圖象有3個交點。所以，函數y=sinx與y=共有7個交點，即方程sinx=有7個根。探究結論：方程sinx=是一個超越方程，用代數的方法是無法求解的,對于超越方程我們只能利用數形結合的方法求其近似解和其解的個數。具體方法是:首先將方程化為f(x）=g(x）的形式，其中f（x)、g（x）的圖象可以畫出.然后畫出函數y=f(x)和y=g(x)的圖象，它們交點的橫坐標為方程的解，而交點的個數為方程解的個數。思維發散探究問題已知函數f（x）=sin（ωx+φ）(ω＞0,0≤φ≤π）是R上的偶函數，其圖象關于