PAGE2.4曲線與方程新課程標準學業水平要求1.了解曲線的方程與方程的曲線的關系．2．會求曲線方程，能依據方程探討曲線的性質．1.結合教材實例理解曲線的方程和方程的曲線的概念．(數學抽象)2．會推斷曲線與方程的關系．(數學抽象)3．會求曲線的交點．(數學運算)4．依據詳細問題情境求曲線的方程，并能利用求出的方程探討曲線的性質．(數學運算、邏輯推理)必備學問·自主學習導思1.曲線的方程與方程的曲線的概念是什么？2．如何求曲線的方程？1.曲線的方程與方程的曲線在平面直角坐標系中，假如曲線C與方程Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0之間具有如下關系：(1)曲線C上的點的坐標都是方程Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0的解．(2)以方程Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0的解為坐標的點都在曲線C上．則稱曲線C為方程Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0的曲線，方程F(x，y)＝0為曲線C的方程．(1)從集合角度怎樣理解曲線與方程的關系？提示：設A是曲線C上的全部點組成的點集，B是全部以方程Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0的實數解為坐標的點組成的點集，若①A?B；②B?A，則A＝B.(2)怎樣推斷曲線Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0與Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0是否有交點？提示：轉化為方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0，,G\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0))是否有實數解．2．求動點M軌跡方程的一般步驟(1)設動點M的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))(假如沒有平面直角坐標系，需先建立).(2)寫出M要滿意的幾何條件，并將該幾何條件用M的坐標表示．(3)化簡并檢驗所得的方程是否為M的軌跡方程．1．辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”).假如曲線l上的點的坐標滿意方程F(x，y)＝0，則(1)曲線l的方程是F(x，y)＝0.()(2)方程F(x，y)＝0的曲線是l.()(3)坐標不滿意方程F(x，y)＝0的點不在曲線l上．()(4)坐標滿意方程F(x，y)＝0的點在曲線l上．()提示：因為以方程F(x，y)＝0的解為坐標的點不肯定在曲線l上，所以(1)，(2)，(4)錯誤；坐標不滿意方程F(x，y)＝0的點不在曲線l上是正確的．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．(2024?臺州高二檢測)下列各點中，在曲線x2－xy＋2y＋1＝0上的是()A．(1，－2) B．(1，2)C．(－1，－2) D．(－2，3)【解析】選A.將各點代入驗證，得A中點(1，－2)滿意．3．(教材例題改編)方程x2y2＝1的曲線是()【解析】選D.方程x2y2＝1，化為xy＝±1，即y＝±eq\f(1,x).所以曲線為D.關鍵實力·合作學習類型一曲線與方程的概念(數學抽象)1．命題“以方程f(x，y)＝0的解為坐標的點都在曲線C上”是命題“曲線C的方程是f(x，y)＝0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】選B.依據曲線方程的概念，“曲線C的方程是f(x，y)＝0”包含“曲線C上的點的坐標都是這個方程f(x，y)＝0的解”和“以方程f(x，y)＝0的解為坐標的點都在曲線C上”兩層含義．2．若曲線C的方程為y＝2x－1(1<x<5)，則下列四個點中在曲線C上的是()A．(0，0)B．(7，15)C．(2，3)D．(4，4)【解析】選C.由y＝2x－1(1<x<5)得A，B的橫坐標不滿意題意，D項中坐標代入后不滿意方程，故選C.3．下列命題正確的是________．(填序號)①設點A(2，0)，B(0，2)，則線段AB的方程是x＋y－2＝0；②到原點的距離等于5的動點的軌跡是y＝eq\r(25－x2)；③到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程是x2－y2＝0.【解析】命題①中方程x＋y－2＝0表示一條直線，坐標滿意該方程的點如(－1，3)等不在線段AB上，故命題①錯誤；命題②中到原點的距離等于5的動點的軌跡方程為x2＋y2＝25，方程y＝eq\r(25－x2)表示的曲線是圓x2＋y2＝25除去x軸下半部分的曲線，故命題②錯誤．命題③中到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程為|x|＝|y|，滿意x2－y2＝0，反過來坐標滿意方程x2－y2＝0的點到兩坐標軸的距離相等，故命題③正確．答案：③兩角度分析曲線與方程(1)曲線上點的角度：曲線上的點的坐標都是這個方程的解，即直觀地說“點不比解多”稱為純粹性．(2)方程解的角度：以這個方程的解為坐標的點都在曲線上，即直觀地說“解不比點多”，稱為完備性．類型二求曲線的交點(邏輯推理、數學運算)【典例】試探討曲線x2＋(y－1)2＝4與直線y＝k(x－2)＋4(k為參數)交點的個數．四步內容理解題意條件：曲線x2＋(y－1)2＝4與直線y＝k(x－2)＋4(k為參數)結論：求兩曲線交點的個數思路探求只需把直線方程與圓方程聯立，求方程組解的個數即可書寫表達由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－2）＋4，,x2＋（y－1）2＝4))得(1＋k2)x2＋2k(3－2k)x＋(3－2k)2－4＝0，Δ＝4k2(3－2k)2－4(1＋k2)[(3－2k)2－4]＝4(12k－5).所以Δ>0，即k>eq\f(5,12)時，直線與圓有兩個不同的交點．Δ＝0，即k＝eq\f(5,12)時，直線與圓有一個交點．Δ<0，即k<eq\f(5,12)時，直線與圓沒有交點．題后反思求曲線交點的方法：聯立兩曲線方程，解方程組關于曲線的交點曲線Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0與Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0的交點個數等價于方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0，,G\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0))解的個數，交點坐標即方程組的解，利用這一關系，可以解決曲線的交點問題．若曲線xy＋y＋(k－5)x＋2＝0和直線x－y－k＝0的交點的橫坐標為正，求實數k的范圍．【解析】將兩曲線方程聯立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xy＋y＋（k－5）x＋2＝0，,y＝x－k，))消去y得x2－4x＋2－k＝0，由Δ≥0得k≥－2，x＝eq\f(4±\r(8＋4k),2)，所以x1＝2＋eq\r(2＋k)，x2＝2－eq\r(2＋k)，因交點橫坐標為正，且k≥－2，故有2>eq\r(2＋k)，所以－2≤k<2，所以k的范圍是{k|－2≤k<2，k∈R}．類型三曲線方程的性質與求法(邏輯推理)eq\a\vs4\al(,,角度1)由方程探討曲線的性質【典例】寫出方程y2－4x－4＝0的曲線的主要性質．【解析】(1)曲線改變狀況：因為y2＝4x＋4≥0，得x≥－1，y可取一切實數，x漸漸增大時，|y|漸漸增大．所以曲線在直線x＝－1的右側，向上向下無限伸展．(2)對稱性：用－y代替y方程不變，故曲線關于x軸對稱．(3)截距：令y＝0，得x＝－1；令x＝0得y＝±2，所以曲線的橫截距為－1，縱截距為±2.(4)畫方程的曲線：列表：x－10123…y0±2±2eq\r(2)±2eq\r(3)±4…描點作圖如圖所示．eq\a\vs4\al(,,角度2)干脆法求曲線方程【典例】已知平面上兩個定點A，B之間的距離為2a，點M到A，B兩點的距離之比為2∶1，求動點M的軌跡方程．【思路導引】因為已知條件中未給定坐標系，所以需“恰當”建立坐標系．考慮到對稱性，由|AB|＝2a，選A，B兩點所在的直線為x軸，AB中點為坐標原點，則A(－a，0)，B(a，0)，然后求解．【解析】如圖所示，以兩定點A，B所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標系．由|AB|＝2a，可設A(－a，0)，B(a，0)，M(x，y).因為|MA|∶|MB|＝2∶1，所以eq\r(（x＋a）2＋y2)∶eq\r(（x－a）2＋y2)＝2∶1，所以eq\r(（x＋a）2＋y2)＝2eq\r(（x－a）2＋y2).化簡，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,3)a))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(16,9)a2，所以所求動點M的軌跡方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,3)a))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(16,9)a2.eq\a\vs4\al(,,角度3)代入法求曲線方程【典例】動點M在曲線x2＋y2＝1上移動，M和定點B(3，0)連線的中點為P，求P點的軌跡方程．【思路引導】所求動點與已知曲線上動點相關，可通過條件確定兩動點的坐標間的關系求得．【解析】設P(x，y)，M(x0，y0)，因為P為MB的中點．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋3,2)，,y＝\f(y0,2)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－3，,y0＝2y，))又因為M在曲線x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋4y2＝1，所以P點的軌跡方程為(2x－3)2＋4y2＝1.本例中把條件“M和定點B(3，0)連線的中點為P”改為“一動點P和定點B(3，0)連線的中點為M”，試求動點P的軌跡方程．【解析】設P(x，y)，M(x0，y0)，因為M為PB的中點．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(x＋3,2)，,y0＝\f(y,2)，))又因為M在曲線x2＋y2＝1上，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq\s\up12(2)＝1，即(x＋3)2＋y2＝4，所以P點軌跡方程為(x＋3)2＋y2＝4.1．關于曲線性質的探究(1)曲線的方程將曲線上點的坐標聯系成一個有機體，當一個變量改變時另一個變量也隨之改變，因此能借助方程探討曲線上點的改變規律，即探究曲線的性質．(2)主要從變量范圍、改變趨勢，曲線的對稱性，與坐標軸的交點等方面探究曲線的性質．2．關于曲線軌跡方程的求法(1)定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如直線、圓等)，可用定義干脆探求．(2)代入法：假如所求軌跡中的動點隨著另一動點的運動而運動，另一動點又在某已知的曲線C：f(x，y)＝0上運動，那么利用軌跡中的動點坐標(x，y)表示已知曲線上的動點(x1，y1)，再將它代入已知曲線C的方程f(x，y)＝0即可求得動點軌跡方程．1．已知曲線Γ：eq\f(1,x3)＋eq\f(1,y4)＝1，則下列正確的是()A．曲線Γ關于y軸對稱B．曲線Γ與x軸相交C．x的取值范圍是(－∞，0)∪(0，＋∞)D．y無限趨近于零時，x也無限趨近于零【解析】選D.將(x，－y)代入曲線Γ的方程得，eq\f(1,x3)＋eq\f(1,（－y）4)＝1，即為eq\f(1,x3)＋eq\f(1,y4)＝1，故曲線Γ關于x軸對稱，因為y≠0，故曲線Γ與x軸不相交，當x＝1時無相應的y值與之相對應，故C錯誤，當y無限趨近于零時，x也無限趨近于零．2．已知動點P在曲線2x2－y＝0上移動，則點A(0，－1)與點P連線中點的軌跡方程是()A．y＝2x2 B．y＝8x2C．2y＝8x2－1 D．2y＝8x2＋1【解析】選C.設AP中點為(x，y)，則P(2x，2y＋1)在2x2－y＝0上，即2(2x)2－(2y＋1)＝0，所以2y＝8x2－1.3．設A，B分別是直線y＝eq\f(2\r(5),5)x和y＝－eq\f(2\r(5),5)x上的兩個動點，并且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(20)，動點P滿意eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))(O為坐標原點)，記動點P的軌跡為C，求軌跡C的方程．【解析】設P(x，y)，因為A，B分別是直線y＝eq\f(2\r(5),5)x和y＝－eq\f(2\r(5),5)x上的點，故可設Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(2\r(5),5)x1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，－\f(2\r(5),5)x2)).又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(20)，所以(x1－x2)2＋eq\f(4,5)(x1＋x2)2＝20①，因為eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x1＋x2，,y＝\f(2\r(5),5)（x1－x2），))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝x，,x1－x2＝\f(\r(5),2)y，))代入①得：eq\f(5,4)y2＋eq\f(4,5)x2＝20.即曲線C的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.【補償訓練】已知A在y軸正半軸上，為定點，線段BC在x軸上滑動，已知|BC|＝4，A到x軸的距離為3，求△ABC外心的軌跡方程．【解析】如圖所示，A點坐標為(0，3).設△ABC的外心P(x，y)，因為P在BC的垂直平分線上，所以B(x＋2，0)，C(x－2，0).因為P也在AB的垂直平分線上，所以|PA|＝|PB|，即eq\r(x2＋（y－3）2)＝eq\r(22＋y2)，化簡得x2－6y＋5＝0.所以△ABC外心的軌跡方