學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精第三課時教學目標知識與技能能根據散點分布特點，建立不同的回歸模型；知道有些非線性模型通過變換可以轉化為線性回歸模型；通過散點圖及相關指數比較不同模型的擬合效果．過程與方法通過將非線性模型轉化為線性回歸模型，使學生體會“轉化"的思想;讓學生經歷數據處理的過程，培養他們對數據的直觀感覺，體會統計方法的特點,認識統計方法的應用;通過使用轉化后的數據，利用計算器求相關指數,使學生體會使用計算器處理數據的方法．情感、態度與價值觀通過案例的解決，開闊學生的思路，培養學生的探索精神和轉化能力，并通過合作學習，培養學生的團隊合作意識．重點難點教學重點:通過探究使學生體會有些非線性模型運用等量變換、對數變換可以轉化為線性回歸模型;教學難點：如何啟發學生“對變量作適當的變換（等量變換、對數變換）",變非線性為線性，建立線性回歸模型．eq\o(\s\up7(），\s\do5（教學過程)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（引入背景材料）)我國是世界產棉大國，種植棉花是我國很多地區農民的主要經濟來源，在棉花的種植過程中，病蟲害的防治是棉農的一項重要任務，如果處置不當就會造成棉花的減產．其中紅鈴蟲就是危害棉花生長的一種常見害蟲，在1953年,我國18省曾發生紅鈴蟲大災害，受災面積300萬公頃，損失皮棉約二十萬噸．如圖就是紅鈴蟲的有關圖片:紅鈴蟲喜高溫高濕，適宜各蟲態發育的溫度為25～32℃，相對濕度為80%~100％，低于20℃和高于35℃卵不能孵化,相對濕度60%以下成蟲不產卵．冬季月平均氣溫低于－4。8℃時，紅鈴蟲就不能越冬而被凍死．為采取有效防治方法，有必要研究紅鈴蟲的產卵數和溫度之間的關系．現收集了紅鈴蟲的產卵數y和溫度x之間的7組觀測數據列于下表:溫度x/℃21232527293235產卵數y/個711212466115325（1）試建立y與x之間的回歸方程；并預測溫度為28℃時產卵的數目．（2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產卵數的變化？學生活動：類比前面所學過的建立線性回歸模型的步驟,動手實施．活動結果：(1)畫散點圖：通過計算器求得線性回歸方程:eq\o（y，\s\up6(^)）＝19.87x－463.73。當x＝28℃時,eq\o（y,\s\up6（^))＝19。87×28－463.73≈93，即溫度為28℃時，產卵數大約為93.(2）進行回歸分析計算得：R2≈0.7464，即這個線性回歸模型中溫度解釋了74.64％產卵數的變化．設計目的：通過背景材料,加深學生對問題的理解，并明白“為什么要學”．體會問題產生于生活，并通過問題的解決復習建立回歸模型的基本步驟．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（探究新知）)提出問題：結合數據可以發現，隨著自變量的增加，因變量也隨之增加，氣溫為28℃時,估計產卵數應該低于66個,但是從推算的結果來看93個比66個卻多了27個，是什么原因造成的呢？學生活動：分組合作討論交流．學情預測：由于我們所建立的線性回歸模型的相關指數約等于0.7464，即解釋變量僅能解釋預報變量大約74。64％的變化，所占比例偏小．這樣根據我們建立的模型進行預報，會存在較大的誤差．我們還可以從殘差圖上分析一下我們所建立的回歸模型的擬合效果：殘差數據表：x21232527293235y711212466115325殘差53。4617.72－12。02－48.78－46。5－57.1193.28畫出殘差圖根據殘差圖可以發現,殘差點分布的帶狀區域較寬，并不集中，這表明我們所建立的回歸模型擬合效果并不理想．之所以造成預報值偏差太大的原因是所選模型并不理想．實際上根據散點圖也可以發現，樣本點并沒有很好地集中在一條直線附近，故變量之間不會存在很強的線性相關性．設計目的：引導學生對結果進行分析，從而發現存在的問題,激發好奇心、求知欲．同時培養學生對問題的洞悉能力，增強對結果的敏感自檢能力．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（理解新知))提出問題：如何選擇合適的回歸模型進行預測呢？學生活動：學生討論，教師合理引導學生觀察圖象特征，聯想學過的基本函數．學情預測：方案一：建立二次函數模型y＝bx2＋a。方案二：建立指數函數模型y＝c1ac2x。提出問題：如何求出所建立的回歸模型的系數呢?我們不妨嘗試解決方案一中的系數．學生活動：分組合作,教師引導學生觀察y＝bx2＋a與y＝bx＋a的關系．學情預測：通過比較，發現可利用t＝x2，將y＝bx2＋a(二次函數）轉化成y＝bt＋a(一次函數）．求出x，t,y間的數據轉換表：x21232527293235t＝x244152962572984110241225y711212466115325利用計算器計算出y和t的線性回歸方程：eq\o(y,\s\up6(^)）＝0.367t－202.54，轉換回y和x的模型:eq\o（y，\s\up6（^））＝0.367x2－202.54.當x＝28℃時，eq\o(y,\s\up6(^)）＝0.367×282－202.54≈85，即溫度為28℃時,產卵數大約為85。計算相關指數R2≈0。802，這個回歸模型中溫度解釋了80.2％產卵數的變化．提出問題:提出問題“如果選用指數模型,是否也能轉換成線性模型，如何轉化?"學生活動：獨立思考也可相互討論．教師可啟發學生思考“冪指數中的自變量如何轉化為自變量的一次冪？”可引導學生回憶對數的運算性質以及指對數關系．學情預測：可利用取對數的方法，即在y＝c1ac2x兩邊取對數，得logay＝c2x＋logac1.提出問題：在上面的運算中，由于底數a不確定，對于x的值無法求出相應的logay，這時可取a＝10時的情況，以便利用計算器進行計算，試求出回歸模型．學生活動：合作協作，討論解決．學情預測：建立數據轉換表:x21232527293235z＝lgy0。851。041。321。381.822.062。51y711212466115325根據數據，可求得變量z關于x的回歸方程：eq\o（z,\s\up6(^））＝0.118x－1.665.轉換回y和x的模型：eq\o（y,\s\up6(^）)＝100.118x－1.665。當x＝28℃時，eq\o（y，\s\up6(^))≈44，即溫度為28℃時，產卵數大約為44.計算相關指數R2≈0.985，這個回歸模型中溫度解釋了98。5%產卵數的變化．提出問題：試選擇合適的方法，比較方案一和方案二在數據擬合程度上的效果有什么不同？學生活動：獨立思考也可相互討論，教師加以適當的引導提示．活動結果：相關指數R2殘差平方和殘差圖方案一0.80215448。432方案二0.9851450。673無論從圖形上直觀觀察，還是從數據上分析，指數函數模型都是更好的模型．設計目的：引導學生進行不同模型的比較，體會“雖然任意兩個變量的觀測數據都可以用線性回歸模型來擬合,但不能保證這種模型對數據的擬合效果最好，為更好地刻畫兩個變量之間的關系，要根據觀測數據的特點來選擇回歸模型"．提出問題：由上面的分析可以看出，回歸模型不一定是線性回歸模型，對于非線性回歸模型,我們的處理方法是什么?學生活動：獨立思考，回顧上面的解決過程．學情預測:選用非線性回歸模型時，一般思路是轉化成線性回歸模型，往往要用“等量變換、對數變換”等方法．設計目的:讓學生整理建立非線性回歸模型的思路．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（運用新知)）例1為了研究某種細菌繁殖個數y與時間x的關系，收集數據如下:天數x(天)123456繁殖個數y（個)612254995190試建立y與x之間的回歸方程．思路分析：先畫出散點圖，根據散點圖確定回歸模型的類型,然后求y與x之間的回歸方程．解:根據上表中的數據，作出散點圖由圖可以看出，樣本點分布在某指數函數曲線y＝c1ec2x的周圍，于是令z＝lny,則上表變換后如下：x123456z1。792.483。223.894。555。25作出散點圖從圖中可以看出，變換后的樣本點分布在某條直線附近,因此可用線性回歸模型來擬合．由表中數據可得，z與x之間的線性回歸方程為eq\o（z，\s\up6（^)）＝0.69x＋1.112，則y與x之間的回歸方程為eq\o(y，\s\up6(^））＝e0。69x＋1.112。【變練演編】例2混凝土的抗壓強度X較易測定,其抗彎強度Y不易測定，已知X與Y由關系式Y＝AXb表示，工程中希望由X估算出Y，以便應用．現測得一批對應數據如下：X141152168182195204223254277Y23.125。325.929.831.131。832.534.835.2試求Y對X的回歸方程．思路分析：題目中已經給出回歸模型為Y＝AXb類型，故只要通過適當的變量置換把非線性回歸方程轉化為線性回歸方程，然后再套用線性回歸分析的解題步驟即可．解:對Y＝AXb兩邊取自然對數得：lnY＝blnX＋lnA，做變換y＝lnY，x＝lnX，a＝lnA，則上述數據對應表格如下：X141152168182195204223254277Y23。125。325.929.831。131.832.534.835.2x4。955.025。125。205。275。325。415。545.62y3。143.233.253.393.443.463.483。553.56根據公式可求得eq\o(y，\s\up6（^）)＝0。64x＋0。0172，則eq\o(Y,\s\up6（^)）＝e0.64lnx＋0.0172＝1。02X0.64。變式1：若X與Y的關系由關系式eq\o(Y,\s\up6（^))＝eq\o(β，\s\up6（^))Xb＋eq\o(α,\s\up6(^））表示,試根據給出的數據求Y對X的回歸方程．活動設計：學生分組討論，嘗試解決．活動成果：eq\o（Y，\s\up6（^））＝0.086X＋13。005.變式2：試選擇合適的方法比較上述兩種回歸模型，相對于給出的數據哪一個的擬合效果更好？活動成果：計算殘差平方和與相關指數，對于模型Y＝AXb，殘差平方和eq\o(Q，\s\up6(^))（1）＝9.819,相關指數Req\o\al（2，1）＝0.9304；對于模型eq\o(Y,\s\up6（^））＝eq\o(β，\s\up6（^）)Xb＋eq\o(α，\s\up6(^）），殘差平方和eq\o(Q,\s\up6(^)）（2）＝12。306，相關指數Req\o\al（2，2)＝0。908，故模型Y＝AXb的擬合效果較好．設計意圖：熟悉判斷回歸模型擬合效果的方法．【達標檢測】1．變量x，y的散點圖如圖所示,那么x，y之間的樣本相關系數r最接近的值為（）A．1B．－0。5C．0D．0。52．變量x與y之間的回歸方程表示（)A．x與y之間的函數關系B．x與y之間的不確定性關系C．x與y之間的真實關系形式D．x與y之間的真實關系達到最大限度的吻合3．非線性回歸分析的解題思路是__________．答案：1。C2。D3.通過變量置換轉化為線性回歸分析eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結）)1．數學知識：建立回歸模型及殘差圖分析的基本步驟；非線性模型向線性模型的轉換方法；不同模型擬合效果的比較方法：相關指數和殘差的分析．2．數學思想：數形結合的思想，化歸思想及整體思想．3．數學方法：數形結合法，轉化法，換元法．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（補充練習））【基礎練習】1．相關指數R2，殘差平方和與模型擬合效果之間的關系是(）A．R2的值越大，殘差的平方和越大,擬合效果越好B．R2的值越小，殘差的平方和越大，擬合效果越好C．R2的值越大，殘差的平方和越小，擬合效果越好D．以上說法都不正確2．如果散點圖的所有點都在一條直線上,則殘差均為____________________,殘差平方和為__________，相關指數為______________．答案：1。C2.001【拓展練習】3．某種書每冊的成本費Y元與印刷冊數x(千冊)有關，經統計得到數據如下:x123510203050100200Y10。155。524。082。852.111。621.411.301。211.15檢驗每冊書的成本費Y元與印刷冊數的倒數eq\f（1，x）之間是否有線性相關關系，如有，求出Y對eq\f(1,x)的回歸方程．解：把eq\f(1，x）置換為z，則z＝eq\f（1,x)，從而z與Y的數據為：z10.50。3330。20。10。050.0330.020。010.005Y10.155.524.082。852。111。621。411。301。211.15根據數據可得r≈0。9998〉0.75，故z與Y具有很強的線性相關關系．所以eq\o（b，\s\up6(^）)≈8.976，eq\o(a，\s\up6(^)）≈1.120，從而eq\o(y,\s\up6（^）)＝8.976z＋1.120。又z＝eq\f(1,x),所以eq\o（y,\s\up6（^）)＝eq\f(8.976，x)＋1.120。eq\o(\s\up7（)，\s\do5（設計說明））本課時內容教材中只安排了一道關于“紅鈴蟲"的例題,但是它卻代表了一種“回歸分析”的類型．如何利用這道例題使學生掌握這類問題的解決方法呢？為此,本課時設計了“引導發現、合作探究”的教學方法．首先展示“紅鈴蟲”的背景資料來激發學生的學習興趣；鼓勵學生用已有知識解決問題，引導學生檢查結果從而發現新問題;通過分組合作來對不同方案進行探索;使學生在合作探索的過程中體會“選擇模型—-將非線性轉化成線性”的方法，體會“化未知為已知、用已知探索未知"思想，同時認識不同模型的效果