學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精示范教案eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設計)）教學分析函數作為高中的重點知識有著廣泛應用，與其他數學內容有著密切聯系．課本選取探究具體的一元二次方程的根與其對應的二次函數的圖象與x軸的交點的橫坐標之間的關系作為本節內容的入口，其意圖是讓學生從熟悉的環境中發現新知識,使新知識與原有知識形成聯系．本節設計特點是由特殊到一般,由易到難，這符合學生的認知規律；本節體現的數學思想是:“數形結合”思想和“轉化”思想．本節充分體現了函數圖象和性質的應用．因此，把握課本要從三個方面入手：新舊知識的聯系,學生認知規律，數學思想方法．另外，本節也是傳統數學方法與現代多媒體完美結合的產物．三維目標1．讓學生明確“方程的根”與“函數的零點”的密切聯系，學會結合函數圖象性質判斷方程根的個數,學會用多種方法求方程的根和函數的零點．2．通過本節學習讓學生掌握“由特殊到一般"的認知規律,在今后學習中利用這一規律探索更多的未知世界．3．通過本節學習不僅讓學生學會數學知識和認知規律，還要讓學生充分體驗“數學語言”的嚴謹性，“數學思想方法”的科學性，體會這些給他們帶來的快樂．重點難點教學重點：根據二次函數圖象與x軸的交點的個數判斷一元二次方程的根的個數；函數零點的概念．教學難點：理解函數的零點．課時安排1課時eq\o（\s\up7(),\s\do5（教學過程）)導入新課思路1。(情境導入)據新華社體育記者報道：昨晚足球比賽跌宕起伏，球迷經歷了大喜到大悲，再到大喜的過程(領先則喜，落后即悲)．請問：整場足球比賽出現幾次“比分相同"的時段？學生思考或討論回答：三次：（1)開場;(2)由領先到落后必經過“比分相同”時段;（3）由落后到領先必經過“平分"時段．點撥：足球比賽有“落后”“領先”“比分相同”，函數值有“負”“正”“零”，函數圖象與足球比賽一樣跌宕起伏．由此導入課題，為后面學習埋好伏筆．思路2。(事例導入)（多媒體動畫演示）一枚炮彈從地面發射后，炮彈的高度隨時間變化的函數關系式為h＝20t－5t2，問炮彈經過多少秒回到地面?炮彈回到地面即高度h＝0，求方程20t－5t2＝0的根，得t＝4秒．如下圖所示．思路3。（直接導入）教師直接點出課題：上一章我們研究函數的圖象性質，這一節我們討論函數的應用，方程的根與函數的零點．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究)）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題）)①求方程x2－2x－3＝0的根，畫函數y＝x2－2x－3的圖象.②求方程x2－2x＋1＝0的根,畫函數y＝x2－2x＋1的圖象.③求方程x2－2x＋3＝0的根，畫函數y＝x2－2x＋3的圖象.④觀察函數的圖象發現：方程的根與函數的圖象和x軸交點的橫坐標有什么關系?⑤歸納函數零點的概念.⑥如何判斷一元二次方程根的個數,如何判斷二次函數圖象與x軸交點的個數，它的零點情況是怎樣的？⑦怎樣判斷函數是否有零點？⑧函數的圖象不易畫出，又不能求相應方程的根時，怎樣判斷函數是否有零點?活動：先讓學生思考或討論后再回答，經教師提示、點撥，對回答正確的學生及時表揚,對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路:①先求方程的兩個根,找出拋物線的頂點,畫出二次函數的圖象（圖甲)．甲乙丙②方程有一個根，說明拋物線的頂點在x軸上(圖乙）．③方程沒有實數根，拋物線與x軸沒有交點，找出拋物線的頂點是畫二次函數圖象的關鍵(圖丙)．④方程的根與函數的圖象和x軸交點的橫坐標都是實數．⑤對于其他函數這個結論正確嗎?⑥函數的零點是一個實數．⑦可以利用“轉化思想”．⑧足球比賽中從落后到領先是否一定經過“平分”?由此能否找出判斷函數是否有零點的方法？函數圖象穿過x軸則有零點，怎樣用數學語言描述呢?討論結果:①方程的兩個實數根為－1，3，圖象如圖甲．②方程的實數根為1，圖象如圖乙．③方程沒有實數根,圖象如圖丙．④方程的根就是函數的圖象與x軸交點的橫坐標．⑤一般地，如果函數y＝f(x）在實數α處的值等于零，即f(α）＝0,則α叫做這個函數的零點．在坐標系中表示圖象與x軸的公共點是(α,0）點．⑥我們知道,對于二次函數y＝ax2＋bx＋c：當Δ＝b2－4ac＞0時，方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實數根x1，x2，相應的二次函數的圖象與x軸有兩個交點(x1，0)、（x2，0)，這時說二次函數y＝ax2＋bx＋c有兩個零點;當Δ＝b2－4ac＝0時,方程ax2＋bx＋c＝0有兩個相等的實數根x1＝x2（重根），相應的二次函數的圖象與x軸有唯一的交點（x1，0)，這時說二次函數y＝ax2＋bx＋c有一個二重的零點或說有二階零點;當Δ＝b2－4ac＜0時,方程ax2＋bx＋c＝0沒有實數根，相應的二次函數的圖象與x軸沒有交點,這時二次函數y＝ax2＋bx＋c沒有零點．⑦方程f（x）＝0有實根函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點函數y＝f(x)有零點．⑧觀察二次函數f(x）＝x2－2x－3的圖象，我們發現函數f(x)＝x2－2x－3在區間［－2,1］上有零點．計算f(－2)與f(1）的乘積，發現這個乘積特點是小于零．在區間[2，4]同樣如此．可以發現，f(－2）f(1）＜0，函數y＝x2－2x－3在區間（－2,1）內有零點x＝－1，它是方程x2－2x－3＝0的一個根．同樣地，f(2）f（4)＜0，函數y＝x2－2x－3在（2,4)內有零點x＝3，它是方程x2－2x－3＝0的另一個根．因此可得以下結論：若函數y＝f（x）在閉區間［a，b］上的圖象是連續曲線，并且在區間端點的函數值符號相反,即f(a)f(b)＜0，則在區間(a，b）內，函數y＝f(x)至少有一個零點,即相應的方程f(x)＝0在區間(a，b)內至少有一個實數解．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應用示例)）思路1例求函數y＝x3－2x2－x＋2的零點,并畫出它的圖象．解:因為x3－2x－x＋2＝x2（x－2）－(x－2）＝(x－2）（x2－1)＝（x－2）(x－1）（x＋1）,所以已知函數的零點為－1,1,2。3個零點把x軸分成4個區間：(－∞，－1)，（－1,1)，（1，2),[2，＋∞)．在這4個區間內，取x的一些值，以及零點,列出這個函數的對應值表:x…－1。5－1－0。500。511。522。5…y…－4。3801.8821。130－0。6302.63…在直角坐標系內描點連線，這個函數的圖象如上圖所示．不難看出，這一函數圖象通過三個零點時,函數值分別改變了符號，并且在每個區間內,函數值保持同號．點評：本題主要考查函數的零點．討論函數的零點通常轉化為方程的解。變式訓練1.判斷函數y＝|x－1|－2零點的個數．解：通過分類討論把絕對值函數轉化為分段函數，作出函數圖象，如下圖所示．函數y＝｜x－1｜－2的圖象與x軸有兩個交點,所以函數y＝｜x－1|－2有兩個零點．2．求證：函數f（x）＝2x2－3x－2有兩個零點．證法一：因為一元二次方程2x2－3x－2＝0的判別式Δ＝32＋4×2×2＝25＞0,所以一元二次方程2x2－3x－2＝0有兩個不相等的實根．所以函數f（x）＝2x2－3x－2有兩個零點．證法二：因為一元二次方程2x2－3x－2＝0可化為(2x＋1）（x－2）＝0，所以一元二次方程2x2－3x－2＝0有兩個不相等的實根x1＝2，x2＝－eq\f(1，2）。所以函數f(x）＝2x2－3x－2有兩個零點．證法三：因為函數f(x）＝2x2－3x－2的圖象是一條開口向上的拋物線，且頂點在x軸的下方，即f(0）＝－2＜0，所以函數f(x）＝2x2－3x－2有兩個零點．如下圖.思路2例若方程2ax2－x－1＝0在(0,1）內有解，求實數a的取值范圍．活動：學生先思考或討論，再回答．教師根據實際，可以提示引導：①有解包括有一解和有兩解，要分類討論．②用一般解法固然可以，若結合函數圖象觀察分析,可以找到捷徑．③有兩種情況:a＝0，或a≠0，Δ≥0。解：令f(x）＝2ax2－x－1，(1）當方程2ax2－x－1＝0在（0,1)內恰有一個解時，f（0）·f（1)＜0或a≠0且Δ＝0,由f（0)·f(1)＜0,得（－1）(2a－2）＜0,所以a＞1.由Δ＝0,得1＋8a＝0，a＝－eq\f（1，8)，所以方程為－eq\f(1，4）x2－x－1＝0,即x＝－2(0，1)(舍去)．綜上可得a＞1.（2)當方程2ax2－x－1＝0在(0,1)內有兩個解時，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，，f0>0，，f1〉0，,0<\f(1，4a）〈1，,f\f(1,4a)<0））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a〈0,,f0<0,，f1〈0，,0〈\f(1，4a）〈1，,f\f(1,4a)>0，))容易解得實數a不存在．綜合(1)(2），知a＞1.變式訓練若方程ax2＋3x＋4a＝0的根都小于1，求實數a的取值范圍．解：(1）當a＝0時,x＝0滿足題意．(2）當a≠0時，設f(x）＝ax2＋3x＋4a.方法一：若方程ax2＋3x＋4a＝0的根都小于1，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（Δ＝9－16a2≥0,，－\f（3,2a)<1，af1>0，）)∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－\f（3,4)≤a≤\f(3,4）,,a〉0或a<－1。5，，a>0或a〈－0。6。)）∴0＜a≤eq\f（3，4).綜上(1)（2),得0≤a≤eq\f（3，4）.方法二:若方程ax2＋3x＋4a＝0的根都小于1，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（Δ＝9－16a2≥0，,x1＋x2<2,,（x1－1）（x2－1)>0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（Δ＝9－16a2≥0，，x1＋x2〈2，,x1x2－（x1＋x2)＋1>0,)）即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝9－16a2≥0，,－\f(3，a）〈2，,4＋\f（3，a)＋1>0，))解得0＜a≤eq\f(3，4).綜上（1）(2)，得0≤a≤eq\f（3,4)。點評：方法一結合函數圖象利用函數符號列不等式組．方法二代數方法，利用根與系數關系結合判別式列不等式組。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（知能訓練))1．判定方程（x－2）(x－5)＝1有兩個相異的實數解,且一個大于5，一個小于2。分析：轉化判斷函數f（x)＝（x－2)（x－5）－1在(－∞，2)和（5，＋∞）內各有一個零點．解:考慮函數f(x)＝(x－2）（x－5）－1,有f（5）＝（5－2）(5－5)－1＝－1，f（2）＝（2－2)(2－5)－1＝－1.又因為f(x)的圖象是開口向上的拋物線(如下圖）,所以拋物線與橫軸在（5，＋∞)內有一個交點，在(－∞，2）內也有一個交點．所以方程（x－2)(x－5）＝1有兩個相異的實數解，且一個大于5，一個小于2。點評：這里說“若f(a)·f（b）＜0，則在區間(a，b）內,方程f(x）＝0至少有一個實數解”，指出了方程f（x）＝0實數解的存在,并不能判斷具體有多少個實數解．2．已知m∈R，設P：x1和x2是方程x2－ax－2＝0的兩個根，不等式｜m－5|≤|x1－x2|對任意實數a∈［1，2］恒成立;Q：函數f(x)＝3x2＋2mx＋m＋eq\f(4,3）有兩個不同的零點,求使P和Q同時成立的實數m的取值范圍．解：由題意知x1＋x2＝a，x1x2＝－2，∴｜x1－x2｜＝eq\r（(x1＋x2）2－4x1x2）＝eq\r(a2＋8)。當a∈［1，2]時，eq\r(a2＋8）的最小值為3.要使｜m－5|≤｜x1－x2｜對任意實數a∈[1，2］恒成立,只需｜m－5|≤3，即2≤m≤8.由已知得Q中：f（x）＝3x2＋2mx＋m＋eq\f（4,3)的判別式Δ＝4m2－12（m＋eq\f(4，3））＝4m2－12m－16＞0，得m＜－1或m＞4.綜上，要使P和Q同時成立，只需eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2≤m≤8，，m<－1或m>4,)）解得實數m的取值范圍是（4,8］．3．關于x的方程x2－ax＋a2－7＝0的兩個根一個大于2，另一個小于2，求實數a的取值范圍．解:設f（x）＝x2－ax＋a2－7，圖象為開口向上的拋物線（如下圖）．因為方程x2－ax＋a2－7＝0的兩個根一個大于2，另一個小于2，所以函數f（x）＝x2－ax＋a2－7的零點一個大于2，另一個小于2。即函數f(x）＝x2－ax＋a2－7的圖象與x軸的兩個交點在點(2，0)的兩側．只需f(2）＜0，即4－2a＋a2－7＜0,所以－1＜a＜3。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(拓展提升）)問題：如果函數y＝f（x)在區間［a，b］上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且f(a）f(b）＞0,那么函數y＝f（x）在區間(a，b）內是否有零點？可能有幾個零點？活動:學生先思考或討論，再回答．利用函數圖象進行探索分析：①有沒有零點？②零點的個數是奇數還是偶數？解：零點個數可以是任意自然數．下面討論在區間［－3，3］上函數零點個數，（1）可能沒有零點如圖甲．甲乙（2)可能有一個零點如圖乙．（3）可能有兩個零點如圖丙．丙丁（4)可能有三個零點如圖丁．(5)可能有n（n∈N＋）個零點，圖略．點評：在區間[－3,3］上函數零點個數可以是任意自然數．借助計算機可以驗證同學們的判斷，激發學生學習的興趣．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\