第三章因式分解（知識歸納+題型突破）1、了解平方差公式、完全平方公式的幾何背景，能利用公式進行簡單的計算和推理．2、能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超過二次）進行因式分解（指數為正整數）．1、因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解。2、常用的因式分解方法：（1）提取公因式法：（2）運用公式法：平方差公式：；完全平方公式：（3）十字相乘法：（4）分組分解法：將多項式的項適當分組后能提公因式或運用公式分解。（5）運用求根公式法：若的兩個根是、，則有：3、因式分解的一般步驟：（1）如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法；（3）對二次三項式，應先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。（4）最后考慮用分組分解法。題型一多項式的因式分解【例1】（判斷是否是因式分解）（2024上·廣東東莞·八年級統考期末）下列等式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【例2】（公因式）（2023上·全國·八年級課堂例題）（1）多項式的公因式是；（2）多項式的公因式是；（3）多項式的公因式是；（4）多項式的公因式是．【例3】（已知因式分解的結果求參數）（2024上·北京東城·八年級北京二中校聯考期中）【例題講解】因式分解：．∵為三次二項式，若能因式分解，則可以分解成一個一次二項式和一個二次多項式的乘積．故我們可以猜想可以分解成，即，展開等式右邊得：，∴恒成立．∴等號左右兩邊的同類項的系數應相等，即，解得，∴．【方法歸納】設某一多項式的全部或部分系數為未知數，利用當兩個多項式為恒等式時，同類項系數相等的原理確定這些系數，從而得到待求的值，這種方法叫待定系數法．【學以致用】(1)若，則__________；(2)若有一個因式是，求k的值及另一個因式．鞏固訓練：1．（2023下·全國·八年級假期作業）下列式子從左到右的變形中，是因式分解的是（

）A． B．C． D．2．（2023上·新疆哈密·八年級期末）下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．3．（2023上·內蒙古鄂爾多斯·八年級校考期中）下列變形，是因式分解的是（

）A． B．C． D．4．（2024上·安徽蕪湖·八年級統考期末）因式分解，其中m、n都為整數，則m的值是（

）A． B． C． D．45．（2023上·山東淄博·八年級統考期中）將多項式進行因式分解得到，則分別是（

）A． B．C． D．6．（2017上·福建泉州·八年級泉州第十六中學校考期中）若多項式可分解為，則a+b的值為（）A．2 B．1 C． D．7．（2024下·全國·七年級假期作業）若多項式可以分解為，則的值是（

）A． B．4 C．10 D．8．（2023上·甘肅金昌·八年級統考期末）分解因式時，應提取的公因式是（

）A． B． C． D．9．（2023上·全國·八年級專題練習）多項式的公因式是（）A． B． C． D．10．（2024上·湖北孝感·八年級統考期末）已知二次三項式有一個因式是，則的值為.11．（2023下·全國·八年級假期作業）（1）多項式中，各項的公因式是；（2）多項式中，各項的公因式是．12．（2023上·山東淄博·八年級統考期中）多項式的公因式為．13．（2023上·全國·八年級專題練習）多項式的公因式是．14．（2023上·湖南長沙·八年級校考階段練習）完成下面各題(1)若二次三項式可分解為，則______；(2)若二次三項式可分解為，則______；______；(3)已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式以及k的值．題型二提公因式法【例1】（2023上·八年級課時練習）因式分解：（1）；（2）；（3）．【例2】（2023下·貴州貴陽·八年級校考期中）利用因式分解可以簡便計算：分解正確的是(

)A． B．C． D．【例3】（2022上·八年級單元測試）已知，那么的值為（）A． B． C． D．【例4】（2023上·福建莆田·八年級校考階段練習）觀察等式：；；；……已知按一定規律排列的一組數：，，，……，，，若，用含的式子表示這組數據的和是（

）A． B． C． D．鞏固訓練1．（2022上·黑龍江哈爾濱·八年級校考期中）把多項式，提取公因式后，余下的部分是（

）A． B． C． D．2．（2023下·全國·八年級假期作業）多項式因式分解的結果是（

）A． B． C． D．3．（2023上·山東煙臺·八年級統考期中）等于（

）A． B． C． D．4．（2023上·四川內江·八年級統考期中）已知實數m滿足，則代數式的值為（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．20255．（2023上·全國·八年級專題練習）若，則A為（）A． B． C． D．6．（2018下·七年級單元測試）計算(-2)1999+(-2)2000等于(

)A．-23999 B．-2 C．-21999 D．219997．（2021下·河北邢臺·七年級統考期末）已知，那么代數式的值是（

）A．2000 B．－2000 C．2001 D．－20018．（2022上·湖北十堰·八年級統考期末）已知，則的值是(

)A．0 B．1 C．－1 D．29．（2023下·河北石家莊·七年級校考階段練習）閱讀下列分解因式的過程，再回答所提出的問題：．（1）上述分解因數的方法是，其應用了次；（2）若分解，則需應用上述方法次，結果是．10．（2023下·全國·八年級假期作業）已知，求的值．11．（2023上·全國·八年級專題練習）把下列各式進行因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．12．（2023上·四川宜賓·八年級校聯考期中）化簡求值：，其中13．（2023上·八年級課時練習）將下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．題型三公式法【例1】（判斷能否用公式法分解因式）（2023上·山東青島·八年級統考期中）下列多項式中，能用公式法分解因式的是（

）A． B． C． D．【例2】（綜合運用提公因式法、公式法分解因式）（2023上·山東日照·八年級校考階段練習）因式分解(1)(2)(3)(4)【例3】（因式分解在簡算中的運用）（2023上·全國·八年級專題練習）利用乘法公式簡便計算．(1)(2)【例4】（公式法在數字變化規律問題中的應用）（2023上·廣東廣州·八年級廣州市天河區匯景實驗學校校考期中）計算：．鞏固訓練1．（2023上·山東德州·八年級校考階段練習）下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是（

）A． B．C． D．2．（2023上·河南南陽·八年級校考階段練習）下列各多項式中，能運用公式法分解因式的有（）（1）（2）（3）（4）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2023上·福建廈門·八年級統考期末）要使多項式能運用平方差公式進行分解因式，整式可以是（

）A．1 B． C． D．4．（2023上·山東濟南·八年級統考期中）若能用完全平方公式因式分解，則的值為（

）A． B． C．或11 D．13或5．（2024上·福建廈門·八年級統考期末）分解因式：（1）；（2）；（3）．6．（2023·江蘇南通·統考二模）若，，則．7．（2024上·湖北孝感·八年級統考期末）計算：．8．（2023上·福建廈門·八年級廈門雙十中學校考期末）已知，，則的值是．9．（2023上·全國·八年級課堂例題）已知，，則的值是．10．（2023上·全國·八年級課堂例題）分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．11．（2023下·全國·八年級假期作業）因式分解：(1)（2a-1）（a＋1）-7（a＋1）；(2)；(3)；(4)；(5)．12．（2023下·全國·八年級假期作業）把下列各式因式分解：(1)(2)13．（2023上·山東煙臺·八年級統考期中）（1）因式分解：；（2）利用因式分解計算：．14．（2023上·山東東營·八年級校考期中）分解因式(1)；(2)．（用簡便方法計算）15．（2023上·陜西安康·八年級校聯考階段練習）利用乘法公式計算：．16．（2023上·重慶·八年級重慶市鳳鳴山中學校考期中）簡便計算：(1)；(2)．17．（2023上·吉林長春·八年級校考期中）請你參考黑板中老師的講解，用乘法公式進行簡便計算：利用乘法公式有時可以進行簡便計算．例1：；例2：．(1)；(2)．題型四十字相乘法【例1】（2024上·北京東城·八年級統考期末）利用整式的乘法運算法則推導得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關系可得．通過觀察可把看作以x為未知數，a、b、c、d為常數的二次三項式，此種因式分解是把二次三項式的二項式系數與常數項分別進行適當的分解來湊一次項的系數，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項式的二項式系數2與常數項12分別進行適當的分解，如圖2，則．根據閱讀材料解決下列問題：(1)用十字相乘法分解因式：；(2)用十字相乘法分解因式：；(3)結合本題知識，分解因式：．【例2】（2019下·浙江寧波·七年級統考期中）【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項式進行因式分解呢？我們已經知道，a1xc1a2xc2a1a2x2a1c2xa2c1xc1c2a1ax2a1c2a2c1xc1c2．反過來，就得到：．我們發現，二次項的系數a分解成，常數項c分解成，并且把a1，a2，c1，c2如圖①所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于ax2+bx+c的一次項系數b，那么就可以分解為a1xc1a2xc2，其中a1，c1位于圖的上一行，a2，c2位于下一行．像這種借助畫十字交叉圖分解系數，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子分解因式的具體步驟為：首先把二次項的系數1分解為兩個因數的積，即1=1×1，把常數項－6也分解為兩個因數的積，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按圖②所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2=－1，恰好等于一次項的系數－1，于是就可以分解為(x2)(x3)．請同學們認真觀察和思考，嘗試在圖③的虛線方框內填入適當的數，并用“十字相乘法”分解因式：=．【理解與應用】請你仔細體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項式進行分解因式：（1）=；（2）=．【探究與拓展】對于形如的關于x，y的二元二次多項式也可以用“十字相乘法”來分解．如圖④，將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mqnpb，pkqje，mknjd，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規則，則原式=mxpyjnxqyk，請你認真閱讀上述材料并嘗試挑戰下列問題：（1）分解因式=；（2）若關于x，y的二元二次式可以分解成兩個一次因式的積，求m的值；（3）已知x，y為整數，且滿足，請寫出一組符合題意的x，y的值．鞏固訓練1．（2023上·上海浦東新·七年級校聯考期末）分解因式：．2．（2023上·全國·八年級專題練習）閱讀下列材料：材料將一個形如的二次三項式因式分解時，如果能滿足且，則可以把因式分解成．(1)根據材料，把分解因式．(2)結合材料和材料，完成下面小題：①分解因式：；②分解因式：．3．（2023上·遼寧大連·八年級統考期末）【教材呈現】人教版八年級上冊數學教材第121頁的閱讀與思考：型式子的因式分解型式子是數學學習中常見的一類多項式，如何將這種類型的式子進行因式分解呢?在第102頁的練習第2題中，我們發現，.這個規律可以利用多項式的乘法法則推導得出：因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關系可得

①利用①式可以將某些二次項系數是1的二次三項式分解因式。例如，將式子分解因式。這個式子的二次項系數是1，常數項，一次項系數，因此這是一個型的式子.利用①式可得.上述分解因式的過程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次項系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數和，使其等于一次項系數（圖1）.這樣，我們也可以得到.利用上面的結論，可以直接將某些二次項系數為1的二次三項式分解因式：（1）分解因式：_____________；【知識應用】（2），則_________，_________；【拓展提升】（3）如果，其中m，p，q均為整數，求m的值.4．（2024上·北京西城·八年級校考期中）我們有公式：．反過來，就得到可以作為因式分解的公式：．如果有一個關于的二次項系數是1的二次三項式，它的常數項可以看作兩個數與的積，而它的一次項的系數恰是與的和，它就可以分解為，也就是說：當，時，有．例如：；；；．下面是某同學對多項式進行因式分解的過程．解：設，則原式．(1)該同學因式分解的結果是否徹底？（填“是”或“否”）．若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結果．(2)請你運用上述公式并模仿以上方法，嘗試對多項式進行因式分解．5．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級校考階段練習）整式乘法與因式分解是方向相反的變形．由得，；利用這個式子可以將某些二次項系數是1的二次三項式分解因式，例如：將式子分解因式．分析：這個式子的常數項，一次項系數，所以．解：請仿照上面的方法，解答下列問題：(1)分解因式：________；(2)分解因式：________；6．（2023上·上海青浦·七年級校考期中）用簡便方法計算：．7．（2022下·貴州銅仁·七年級統考期中）(1)【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項式分解因式呢？我們已經知道：．反過來，就得到：．我們發現，二次三項式的二次項的系數分解成，常數項分解成，并且把，，，，如圖1所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次項系數，那么就可以分解為，其中，位于圖的上一行，，位于下一行．像這種借助畫十字交叉圖分解系數，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子分解因式的具體步驟為：首先把二次項的系數1分解為兩個因數的積，即，把常數項也分解為兩個因數的積，即；然后把1，1，2，按圖2所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次項的系數，于是就可以分解為．請同學們認真觀察和思考，嘗試在圖3的虛線方框內填入適當的數，并用“十字相乘法”分解因式：__________．(2)【理解與應用】請你仔細體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項式進行分解因式：①

__________；②

__________．(3)【探究與拓展】對于形如的關于，的二元二次多項式也可以用“十字相乘法”來分解，如圖4．將分解成乘積作為一列，分解成乘積作為第二列，分解成乘積作為第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規則，則原式，請你認真閱讀上述材料并嘗試挑戰下列問題：①

分解因式__________；②

若關于，的二元二次式可以分解成兩個一次因式的積，求的值．8．（2021下·陜西寶雞·八年級統考期末）閱讀下列材料：材料1：將一個形如x2＋px＋q的二次三項式因式分解時，如果能滿足q＝mn且p＝m＋n則可以把x2＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：將“x＋y看成一個整體，令x+y＝A，則原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2，再將“A”還原得：原式＝（x＋y＋1）2上述解題用到“整體思想”整體思想是數學解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題：（1）根據材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；（2）結合材料1和材料2，完成下面小題；①分解因式：（x﹣y）2﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m2﹣2m﹣2）﹣39．（2018上·湖南長沙·七年級統考階段練習）閱讀下面材料，解答后面的問題：“十字相乘法”能將二次三項式分解因式，對于形如的關于，的二次三項式來說，方法的關鍵是將項系數分解成兩個因數，的積，即，將項系數分解成兩個因式，的積，即，并使正好等于項的系數，那么可以直接寫成結果：例：分解因式：解：如圖1，其中，，而所以而對于形如的關于，的二元二次式也可以用十字相乘法來分解．如圖2．將分解成乘積作為一列，分解成乘積作為第二列，分解成乘積作為第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都滿足十字相乘規則，則原式例：分解因式解：如圖3，其中，，而，，所以請同學們通過閱讀上述材料，完成下列問題：（1）分解因式：①．②．（2）若關于，的二元二次式可以分解成兩個一次因式的積，求的值．10．（2019上·江西南昌·八年級南昌大學附屬中學校考期中）根據多項式乘法法則，因此，這種因式分解的方法稱為十字相乘法，按照上面方法對下列式子進行因式分解（1）

（2）

（3）（4）

（5）題型五分組分解法【例1】（2023上·河北張家口·八年級統考期末）我們已經學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法等等．①分組分解法：例如：．②拆項法：例如：．仿照以上方法分解因式：(1)；(2)．(3)解決問題：已知、、、為的三邊長，，且為等腰三角形，求的周長．【例2】（2023上·全國·八年級專題練習）閱讀下列文字與例題：將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續分解的方法稱作分組分解．例如：以下兩個式子的分解因式的方法就稱為分組分解法．①；②試用上述方法分解因式：(1)；(2)．【例3】（2023上·四川內江·八年級威遠中學校校考期中）先閱讀以下材料，然后解答問題：以上分解因式的方法稱為分組分解法．(1)請用分組分解法分解因式：(2)拓展延伸①若，求x，y的值；②求當x、y分別為多少時，代數式有最小的值，最小的值是多少？鞏固訓練1．（2024上·湖北恩施·八年級統考期末）先閱讀下面的材料，再完成后面的任務．材料一材料二如果把一個多項式各個項分組并提出公因式后，它們的另一個因式正好相同，那么這個多項式就可以利用分組的方法來分解因式，這種因式分解的方法叫做分組分解法．例在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替，不僅可以簡化要分解的多項式的結構，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．例進行因式分解的過程：設，原式(1)填空：因式分解_______；(2)因式分解（寫出詳細步驟）：；(3)若三邊分別為a，b，c，其中，，判斷的形狀，并說明理由．2．（2023上·遼寧鞍山·八年級統考期中）閱讀下列材料：數學研究發現常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如：“”，細心觀察這個式子就會發現，前兩項可以提取公因式，后兩項也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，過程為．此種因式分解的方法叫做“分組分解法”，請在這種方法的啟發下，解決以下問題：(1)因式分解：；(2)已知，求的值．3．（2023上·全國·八年級課堂例題）（1）若，，是三角形的三邊長，且滿足關系式，試判斷這個三角形的形狀．（2）若，，是的三邊長，且滿足，則是什么形狀？4．（2023下·全國·七年級假期作業）觀察下列因式分解的過程：①（分成兩組）（直接提取公因式）；②（分成兩組）（直接運用公式）．請仿照上述因式分解的方法，把下列各式因式分解：(1)；(2)．5．（2023上·陜西延安·八年級校聯考階段練習）閱讀與思考：因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如：“”，觀察這個式子發現，前兩項可以提取公因式，后兩項也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，其分解過程為：，這種因式分解的方法叫作“分組分解法”，根據以上方法，解答下列問題：(1)因式分解：；(2)已知，，求的值．6．（2023上·江西贛州·八年級統考階段練習）通過學習，我們知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，與此同時，某些多項式只用上述一種方法無法因式分解．下面是甲、乙兩位同學對多項式進行因式分解的過程．甲：（先分成兩組）．乙：（先分成兩組）．兩位同學分解因式的方法叫做分組分解法，請你仔細觀察并對以下多項式進行因式分解．(1)．(2)．7．（2023上·全國·八年級專題練習）常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多項式只用上述一種方法無法分解，例如，我們細心觀察就會發現，前兩項可以分解，后兩項也可以分解，分別分解后會產生公因式就可以完整的分解了，過程為：這種方法叫分組分解法，利用這種方法分解因式：(1)；(2)．8．（2023上·全國·八年級專題練習）八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將因式分解．經過小組合作交流，得到了如下的解決方法：解法一：原式解法二：原式小明由此體會到，對項數較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法等方法達到因式分解的目的．這種方法可以稱為分組分解法．(溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止)請你也試一試利用分組分解法進行因式分解：(1)因式分解：；(2)因式分解：．9．（2023上·福建福州·八年級福建省福州第一中學校考期中）閱讀與思考：分組分解法指通過分組分解的方式來分解用提公因式法和公式法無法直接分解的多項式，比如：四項的多項式一般按照“兩兩”分組或“三一”分組，進行分組分解．例1：“兩兩分組”：

例2：“三一分組”：；

解：原式

解：原式

．

．歸納總結：用分組分解法分解因式要先恰當分組，然后用提公因式法或運用公式法繼續分解．請同學們在閱讀材料的啟發下，解答下列問題：(1)①填空：解：原式＝____