慈中書院2026屆高一下期末復(fù)習(xí)講義2—平面向量姓名___________班級___________學(xué)號____________一、知識歸納1.平面向量中的基本概念（1）零向量：長度為0的向量，記作；（2）單位向量：長度等于1個單位長度的向量，與同向的單位向量是；（3）平行（共線）向量：方向相同或相反的非零向量，與向量平行，記作∥.規(guī)定：零向量與任意向量平行；相等向量：長度相等且方向相同的向量；向量,相等，記作.2.平面向量基本定理及其坐標表示（1）平面向量基本定理：如果是同一個平面內(nèi)的兩個不共線的非零向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使，其中叫做這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.（2）平面向量的正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量.（3）在平面單位正交基底下，①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標；②設(shè)，則.3.平面向量的線性運算及其坐標表示向量運算法則（或幾何意義）坐標表示加法（求兩個向量的和向量）在平面單位正交基底下，設(shè)的坐標分別為，減法（求兩個向量的差向量）數(shù)乘（是一個與共線的向量）；（2）當(dāng)時，與方向相同；當(dāng)時，與方向相反；當(dāng)或時，. 向量三角不等式：平面向量共線定理及其推論共線定理：向量與共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)，使得.坐標表示：與共線的充要條件是.三點共線推論：i)若是直線外一點，且，則三點共線，特別地，當(dāng)為中點時，平面向量的數(shù)量積及其坐標表示向量的夾角①定義：已知兩個非零向量和，是平面上的任意一點，作，，則叫做向量與的夾角；②范圍：.顯然，當(dāng)時，與同向；當(dāng)時，與反向；當(dāng)時，與垂直，記作.平面向量數(shù)量積①定義：已知兩個非零向量和，它們的夾角為，把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即.規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為.②性質(zhì)：設(shè)，是非零向量，它們的夾角是θ，則i）；ii），當(dāng)且僅當(dāng)與共線時，等號成立.當(dāng)與同向時，；當(dāng)與反向時，；特別地，，即；iii）.③坐標公式：設(shè)在平面單位正交基底下，的坐標分別為，則，則；ii）；iii）.投影向量如圖，即為在上的投影向量.，，其中.平面向量與三角形中的“四心”問題（1）概念：在中，重心——三條中線的交點：重心將中線長度分成，垂心——三條高線的交點：高線與對應(yīng)邊垂直；內(nèi)心——三條角平分線的交點(內(nèi)切圓的圓心)：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；外心——三條中垂線的交點(外接圓的圓心)：外心到三角形各頂點的距離相等.性質(zhì)①若為重心，則，且若、、，重心坐標為；②為垂心；③向量()所在直線過內(nèi)心(是角平分線所在直線)；④為外心.奔馳定理（1）奔馳定理：是內(nèi)的一點，且，則.（2）已知的角的對邊分別為,則有:①若點是內(nèi)心；②若點是外心；③若點是垂心.典例鞏固考點一平面向量線性運算及其幾何意義1.（1）（多選）設(shè)點是所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是（

）A．若，則點是邊BC的中點B．若，則點是邊BC的三等分點C．若，則點是線段上靠近的三等分點D．若，且，則的面積是面積的【答案】ACD【解析】對于A中，根據(jù)向量的平行四邊形法則，若，則點M是邊BC的中點，所以A正確；對于B中，由，則，即，則為的中點，所以B錯誤；對于C中，如圖所示，由，可得，即，點是線段上靠近的三等分點，所以C正確；對于D中，由，且，所以且，設(shè)，可得，且，所以三點共線，因為，所以為的一個三等分點（靠近），如圖所示，所以，即則的面積是面積的，所以D正確.故選：ACD.（2）已知點O為△ABC內(nèi)的一點,且滿足OA+3OB=λOC,若S△AOB=13S△ABC,則λ=【答案】2【解析】如圖,取OE=3OB,作平行四邊形OAME,連接OM,與AB相交于點F,則OA+3OB=OA+OE=OA+AM=OM.易知△OBF∽△MAF,∴OFMF=OBMA=13,∴OF=14OM,又S△AOB=13S△ABC,∴OFCF=13,∴OC=2OF,∴OM=4OF=4×-12OC=2OC.∵OA（3）若是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且，則△ABC的形狀是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的線性運算與模長公式，可以得出，由此可判斷出的形狀.【詳解】由，可得，即，等式兩邊平方，化簡得，，因此，是直角三角形.故選：B.（4）鍵線式可以直觀地描述有機物的結(jié)構(gòu)，在有機化學(xué)中廣泛使用．有機物“萘”可以用下左圖所示的鍵線式表示，其結(jié)構(gòu)簡式可以抽象為下右圖所示的圖形．已知與為全等的正六邊形．若點為右邊正六邊形的邊界（包括頂點）上的動點，且向量，則實數(shù)的取值范圍為（

） B． C． D．【答案】C【分析】由“等和線定理”結(jié)合圖形分析得解.【詳解】由平面向量共線定理可得，，，則三點共線的充要條件是.下面先證明“等和線定理”，如圖，設(shè)，，因為三點共線，所以存在，使得.，，，則.由“等和線定理”結(jié)合圖形可知：當(dāng)點在上時，易得，當(dāng)點在上時，易得，當(dāng)點在上時，易得，當(dāng)點在上時，易得，當(dāng)點在上時，易得，當(dāng)點在上時，易得，綜上，可得.故選：C．2.在中，，若對任意的實數(shù)恒成立，則邊的最小長度是（

） B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，得到恒成立，得出，根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理，得到，即可求解.【詳解】設(shè)，如圖所示，因為對任意的實數(shù)，都有恒成立，由恒成立，則，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．

故選：C．考點二共線向量定理3.（1）已知向量，若，則（

）B．C． D．【答案】C【解析】因為，，所以不共線，則由，得，故，故得，故選：C.（2）已知向量若A,C,D三點共線，則m=________.【答案】A【分析】根據(jù)平面向量線性運算的坐標表示公式進行求解即可.【詳解】因為，，所以，因為，，三點共線，所以，故選：A在銳角△ABC中,點D,E分別在邊AB,BC上,且均為靠近B的四等分點,CD與AE交于點F,若BF=xAB+yAC,則3x+y=()A. B. C. D.【答案】A【分析】由題意推出，可得，推出，根據(jù)向量的加減運算，用基底表示出，和比較，可得，即得答案.【詳解】連結(jié)DE，由題意可知，，所以，則，所以，所以，，則，故，又，所以，，則，故選：A考點三投影向量4.（1）非零向量滿足，與的夾角為，，則在上的投影向量的模長為（）A．2B．2eq\r(3)C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)條件結(jié)合數(shù)量積的定義可得，從而在上的投影為，得出答案.【詳解】由，可得所以所以在上的投影為故選：B（2）已知是夾角為的兩個單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】由投影向量計算公式可得答案.【詳解】在向量上的投影向量為..故選：A考點四平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用數(shù)量積的值與范圍5.（1）已知，若，則實數(shù)＝（）A． B．1 C．2 D．6【答案】B【分析】本題根據(jù)向量減法、乘法以及向量垂直運算規(guī)則即可求解參數(shù).【詳解】因為，所以，又因為，所以，解得．故選：B．（2）如圖，在中，為上一點，且滿足，若則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的線性運算及三點共線的條件，再利用平面向量的基本定理及向量的數(shù)量積的運算律即可求解.【詳解】因為所以因為三點共線，所以即,又因為，所以,且為不共線的非零向量，所以，解得，所以，所以.故選：B.（3）如圖，已知正方形的邊長為4，若動點P在以為直徑的半圓上（正方形內(nèi)部，含邊界），則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出輔助線，利用極化恒等式得到，結(jié)合的最值得到答案.【詳解】取的中點，連接，則，，兩式分別平方再相減得，設(shè)中點為，連接交圓弧于點，則當(dāng)與重合時，最小，最小值為2，當(dāng)當(dāng)與或重合時，最大，最大值為，所以.故選：B 向量的模與夾角6.（1）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標形式化簡即可求得【詳解】解：,,即,解得,故選：C（2）在中，，若點為的垂心，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量基本定理結(jié)合三角形垂心的性質(zhì)、平面向量三點共線的充要條件計算即可.【詳解】由題意可知是以A為頂角的等腰三角形，如圖所示：，，則，設(shè)，則，，所以，在直角三角形中，.故選：B已知向量，為單位向量，且，①若，則_________；②向量與共線，則的最小值為.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）；（2）因向量與共線，令，則，而向量，為單位向量，且，于是得

，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以的最小值為.故答案為：考點五平面向量和三角形的“四心”7.（1）已知點是所在平面內(nèi)的一定點，是平面內(nèi)一動點，若，則點的軌跡一定經(jīng)過的（）重心B．垂心C．內(nèi)心D．外心【答案】A【分析】設(shè)D是BC的中點，由，，知，所以點P的軌跡是射線AD，故點P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心．【詳解】如圖，設(shè)D是BC的中點，∵，，∴，即∴點P的軌跡是射線AD，∵AD是△ABC中BC邊上的中線，∴點P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心．故選：A．（2）在中，，動點M滿足，則直線AM一定經(jīng)過的（）垂心B．內(nèi)心C．外心D．重心【答案】B【分析】延長AC，使得AC=CD，則，由，得，從而可得AM平分，即可得出結(jié)論.【詳解】解：延長AC，使得AC=CD，則，因為，所以，因為，所以，所以是等腰三角形，所以點M在BD的中垂線上，所以AM平分，直線AM一定經(jīng)過的內(nèi)心.故選：B.（3）已知