第19講圓（精講）理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念探索并了解點與圓的位置關系探索并證明垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧探索圓心角及其所對弧的關系了解并證明圓周角定理及其推論：圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半；直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；圓內接四邊形的對角互補知道三角形的外心、知道三角形的內心了解直線和圓的位置關系，掌握切線的概念探索切線與過切點的半徑的關系，會用三角尺過圓上一點畫圓的切線*探索并證明切線長定理：過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等會計算圓的弧長、扇形的面積了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關系TOC\o"12"\h\u第19講圓（精講） 1考點1：垂徑定理及其運用 3考點2：圓周角定理及其運用 9考點3：點與圓的位置關系 15考點4：切線性質及其證明 18考點5：正多邊形與圓 24考點6：與圓有關的計算 29課堂總結：思維導圖 34分層訓練：課堂知識鞏固 35考點1：垂徑定理及其運用①與圓有關的概念和性質：（1）圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形．如圖所示的圓記做⊙O.（2）弦與直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內最長的弦.（3）弧：圓上任意兩點間的部分叫做弧，小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優弧.（4）圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.（5）圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓還有一個交點的角叫做圓周角.（6）弦心距：圓心到弦的距離.②垂徑定理及其推論：（1）定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．（2）推論：(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；(2)弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.（3）延伸：根據圓的對稱性，如圖所示，在以下五條結論中：弧AC=弧AD;②弧BD=弧CB；③CE=DE;④AB⊥CD;⑤AB是直徑.只要滿足其中兩個，另外三個結論一定成立，即推二知三.｛圓的定義★★｝（2021秋?鹽都區校級月考）如圖，是的半徑，為上一點（且不與點、重合），過點作的垂線交于點．以、為邊作矩形，連結．若，，則的長為A．6 B．5 C．4 D．2｛圓的定義★★｝下列說法：①直徑是最長的弦；②弦是直徑；③半徑相等的兩個半圓是等弧；④長度相等的兩條弧是等弧；⑤半徑相等的兩個圓是等圓；其中說法正確的有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個｛圓的定義★★｝（2021?橋東區二模）下列由實線組成的圖形中，為半圓的是A．B．C． D．｛垂徑定理★｝（2021秋?定海區校級月考）如圖，是的直徑，弦交于點，，，，則的長為A． B． C． D．12｛垂徑定理★｝（2021?咸寧一模）如圖，已知為的直徑，弦，垂足為，若，，則的周長為A． B． C． D．｛垂徑定理★★｝已知的直徑，是的弦，，垂足為，且，則的長為A． B． C．或 D．或｛垂徑定理的應用★★｝（2021秋?通川區校級期中）我國古代數學著作《增刪算法統宗》記載“圓中方形”問題：“今有圓田一段，中間有個方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數，每邊三步無疑．內方圓徑若能知，堪作算中第一．”其大意為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測量出除水池外圓內可耕地的面積恰好72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠．如果你能求出正方形邊長和圓的直徑，那么你的計算水平就是第一了．如圖，設正方形的邊長是步，則列出的方程是A．B． C． D．｛圓的定義★｝（2021秋?新榮區月考）如圖，在直角坐標系中，一條圓弧經過正方形網格的格點，，．若點的坐標為，點的坐標為，寫出圓心點的坐標．｛垂徑定理★★｝如圖，用三個邊長為2的正方形組成一個軸對稱圖形，則能將三個正方形完全覆蓋的圓的最小半徑是．｛垂徑定理★★｝如圖，、、都是的弦，，，垂足分別為、，若，則的長為．｛垂徑定理★★｝在半徑為10的中，弦，弦，且，則與之間的距離是．｛垂徑定理★★｝如圖，圓形紙片半徑為，先在其內剪出2個邊長相等的最大正方形，再在剩余部分剪出2個邊長相等的最大正方形，則第二次剪出的正方形的邊長是．｛垂徑定理★★｝如圖，在半徑為1的扇形中，，點是弧上任意一點（不與點，重合），，，垂足分別為，，則的長為．｛垂徑定理★★★｝（2021?石家莊模擬）如圖，在平面直角坐標系中，半徑為2的與軸的正半軸交于點，點是上一動點，點為弦的中點，直線與軸、軸分別交于點、，則面積的最小值為；面積的最大值為．（2021?自貢）如圖，為的直徑，弦于點，于點，若，，則的長度是A．9.6 B． C． D．10（2020?濱州）在中，直徑，弦于點，若，則的長為A．6 B．9 C．12 D．15（2021?西寧）如圖，是的直徑，弦于點，，，則的半徑．（2019?湘潭）《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作，其中《方田》章計算弧田面積所用的經驗公式是：弧田面積（弦矢矢．弧田是由圓弧和其所對的弦圍成（如圖中的陰影部分），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，運用垂徑定理（當半徑弦時，平分可以求解．現已知弦米，半徑等于5米的弧田，按照上述公式計算出弧田的面積為平方米．考點2：圓周角定理及其運用①圓心角、弧、弦的關系：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．②圓周角定理及其推論：（1）定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.如圖a,∠A=1/2∠O.圖a圖b圖c(2)推論：①在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.如圖b，∠A=∠C.②直徑所對的圓周角是直角.如圖c,∠C=90°.③圓內接四邊形的對角互補.如圖a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.｛弦、弧與圓周角關系★｝（2021?下城區校級四模）如圖，等腰的頂角為，以腰為直徑作半圓，交于點，交于點，則的度數為A． B． C． D．｛弦、弧與圓周角關系★★｝（2021?南平模擬）如圖，四邊形中，連接、，點為的中點，若，則下面結論不一定正確的是A． B． C． D．點、、到點的距離相等｛弦、弧與圓周角關系★★｝如圖，，是上的點，，是的中點，若的半徑為5，則四邊形的面積為A．25 B． C． D．｛弦、弧與圓周角關系★｝如圖，為的直徑，點、是的三等分點，，則的度數為A． B． C． D．｛弦、弧與圓周角關系★★｝（2020秋?永城市期末）如圖，點，，，均在以點為圓心的圓上，連接，及順次連接，，，得到四邊形，若，，則的度數為A． B． C． D．｛圓周角定理★｝（2021秋?寬城區期末）如圖，在圓內接五邊形中，，則的度數為A． B． C． D．｛圓周角定理★｝（2021秋?拱墅區期中）如圖，四邊形內接于，，平分．若，，的長為A．4 B． C． D．｛圓周角定理★｝（2021秋?寶應縣期中）如圖，四邊形是的內接四邊形，的半徑為5，，則弦的長為．｛圓周角定理★｝如圖，是的直徑，點在的延長線上，，交于點，且．則．｛圓周角定理★｝如圖，在中，，，則的度數為．｛圓周角定理★｝如圖，是半圓的直徑，、是半圓上的兩點，且，，則．｛圓周角定理★｝如圖，是的直徑，，，則的度數．｛圓周角定理★｝如圖，在平行四邊形中，，點，在上，點在優弧上，，則的度數為．｛圓周角定理★｝如圖，在中，兩條弦和的延長線交于點，已知，，則的大小為．｛圓周角定理★｝如圖，四邊形內接于，連接，，若，，則等于度．（2019?德州）如圖，為的直徑，弦，垂足為，，，，則弦的長度為．（2021?赤峰）如圖，點，在以為直徑的半圓上，且，點是上任意一點，連接、．則的度數為A． B． C． D．（2021?泰安）如圖，四邊形是的內接四邊形，，，，，則的長為A． B． C． D．2（2020?廣西）如圖，已知四邊形為的內接四邊形，平分，于點，，，則的值為A． B． C．2 D．考點3：點與圓的位置關系①點與圓的位置關系：設點到圓心的距離為d.(1)d<r?點在⊙O內；(2)d＝r?點在⊙O上；(3)d>r?點在⊙O外．｛點與圓的位置關系動點問題★★★｝（2021秋?晉安區校級期中）如圖，在中，，，，點是半徑為2的上一動點，點是的中點，則的最大值是A．3 B．3.5 C． D．｛點與圓的位置關系動點問題★★★｝（2021秋?硚口區校級月考）如圖，在銳角中，，，．是平面內一動點，且，則的最小值是．｛點與圓的位置關系動點問題★★｝（2021秋?臺安縣期中）一個已知點到圓周上的最長距離是9，最短距離是3，則此圓的半徑是．｛點與圓的位置關系動點問題★｝平面內有一點到圓上最遠距離是8，最近距離是4，則圓的半徑是．｛點與圓的位置關系動點問題★｝（2021秋?東湖區校級期中）若的直徑為4，點在圓外，則線段長的取值范圍是．（2020?泰安）如圖，點，的坐標分別為，，點為坐標平面內一點，，點為線段的中點，連接，則的最大值為A． B． C． D．（2019?樂山）如圖，拋物線與軸交于、兩點，是以點為圓心，2為半徑的圓上的動點，是線段的中點，連接，則線段的最大值是A．3 B． C． D．4（2018?泰安）如圖，的半徑為2，圓心的坐標為，點是上的任意一點，，且、與軸分別交于、兩點，若點、點關于原點對稱，則的最小值為A．3 B．4 C．6 D．8（2021?廣東）在中，，，．點為平面上一個動點，，則線段長度的最小值為．考點4：切線性質及其證明①切線的判定：（1）與圓只有一個公共點的直線是圓的切線（定義法）.（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.（3）經過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.②切線的性質：（1）切線與圓只有一個公共點.（2）切線到圓心的距離等于圓的半徑.（3）切線垂直于經過切點的半徑.｛切線的性質★★｝如圖，、分別切于點、，且，切于點，交、于、兩點，則的周長為A．32 B．24 C．16 D．8｛切線的性質★★｝如圖，在的內接四邊形中，是直徑，，過點的切線與延長線交于點，則的度數為A． B． C． D．｛切線的性質★★｝如圖，在中，是外一點，、與相切于、兩點，、是上兩點，若，則A． B． C． D．｛切線的性質★★｝如圖，內接于，，直線與相切，則A． B． C． D．1｛切線的判定★｝如圖，的外角的平分線與它的外接圓相交于點，連接，，過點作，交于點．求證：（1）；（2）為的切線．｛切線的證明★｝（2021?巴中）如圖、內接于，且，其外角平分線與的延長線交于點．（1）求證：直線是的切線；（2）若，，求圖中陰影部分面積．｛切線的性質★｝如圖，是的弦，點在過點的切線上，且，交于點，已知，則．｛切線的證明★｝（2021?西寧）如圖，內接于，，是的直徑，交于點，過點作，交的延長線于點，連接．（1）求證：是的切線；（2）已知，，求的長．｛切線的證明★｝（2021?朝陽）如圖，是的直徑，點在上，且，點是外一點，分別連接，、，交于點，交于點，的延長線交于點，連接，，且．（1）求證：是的切線；（2）連接，若的半徑為6，，求的長．（2021?青島）如圖，是的直徑，點，在上，點是的中點，過點畫的切線，交的延長線于點，連接．若，則的度數為A． B． C． D．（2021?福建）如圖，為的直徑，點在的延長線上，，與相切，切點分別為，．若，，則等于A． B． C． D．如圖，、是的切線，、為切點，點、在上．若，則．考點5：正多邊形與圓①正多邊形的有關概念：邊長(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半徑(R))、邊心距(r),如圖所示①.②內切圓的有關概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點．｛正多邊形與圓★｝如圖所示，正五邊形內接于，則的度數是A． B． C． D．【分析】利用等腰三角形的性質以及三角形內角和定理求解即可．【解答】解：正五邊形內接于，，，，故選：．【點評】本題考查正多邊形與圓，等腰三角形的性質，三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是記住正多邊形的內角．｛正多邊形與圓★｝以半徑為4的圓的內接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作三角形，則該三角形的面積是A． B． C． D．｛正多邊形與圓★★｝我國偉大的數學家劉徽于公元263年攥《九章算術注》中指出，“周三徑一”不是圓周率值，實際上是圓內接正六邊形周長和直徑的比值（圖．劉徽發現，圓內接正多邊形邊數無限增加時，多邊形的周長就無限逼近圓周長，從而創立“割圓術”，為計算圓周率建立起相當嚴密的理論和完善的算法．如圖2，六邊形是圓內接正六邊形，把每段弧二等分，作出一個圓內接正十二邊形，連結，，交于點，，則A．2 B． C． D．｛正多邊形與圓★★｝（2021?寧德模擬）已知四個正六邊形如圖擺放在圓中，頂點，，，，，在圓上．若兩個大正六邊形的邊長均為2，則小正六邊形的邊長是A． B． C． D．｛正多邊形與圓★｝如圖，有一個半徑為的圓形紙片，若在該紙片上沿虛線剪一個最大正六邊形紙片，則這個正六邊形紙片的邊心距是A． B． C． D．｛正多邊形與圓★｝如圖，已知點、、、為一個正多邊形的頂點，為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數為12．｛正多邊形與圓★★｝我國魏晉時期的數學家劉徽首創“割圓術”，利用圓的內接正多邊形來確定圓周率．若設的半徑為，圓內接正邊形的邊長、面積分別為，，圓內接正邊形邊長、面積分別為，．劉徽用以下公式求出和．，．如圖，若的半徑為1，則的內接正八邊形的面積為．（2021?貴陽）如圖，與正五邊形的兩邊，相切于，兩點，則的度數是A． B． C． D．（2021?隨州）如圖，是的外接圓，連接并延長交于點，若，則的度數為．（2020?綏化）如圖，正五邊形內接于，點為上一點（點與點，點不重合），連接、，，垂足為，等于度．考點6：與圓有關的計算①弧長和扇形面積的計算：扇形的弧長l＝；扇形的面積S＝＝②圓錐與側面展開圖（1）圓錐側面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長.（2）計算公式：,S側==πrl｛弧長計算★｝如圖，四邊形是半徑為2的的內接四邊形，連接，．若，則的長為A． B． C． D．｛弧長計算★｝一個扇形的弧長是9πcm，圓心角是108度，則此扇形的半徑是cm．｛弧長計算★｝已知圓心角為的扇形的弧長為，則這個扇形的半徑為．｛扇形面積計算★｝如果一個扇形的弧長等于它所在圓的半徑，那么此扇形叫做“完美扇形”．已知某個“完美扇形”的周長等于6，那么這個扇形的面積等于．｛扇形面積計算★｝已知扇形的半徑為，面積為，則此扇形的圓心角度數為．｛扇形弧長與面積計算★｝已知扇形的圓心角為，半徑為3，則該扇形的弧長為，面積為．｛扇形面積計算★｝（2021?祥符區二模）如圖，已知半圓的直徑，將半圓繞點逆時針旋轉，使點落在點處，與半圓交于點，若弧的長為，則圖中陰影部分的面積是．｛圓錐側面積計算★｝已知圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，則圓錐的表面積為．｛圓錐側面積計算★｝如圖，在中，，，．若以所在直線為軸，把旋轉一周，得到一個圓錐，則這個圓錐的側面積等于．｛圓錐側面積計算★｝圓錐的底面半徑為3，側面積為，則這個圓錐的高為．｛圓錐側面積計算★｝一個圓錐的側面積是底面積的5倍，把它的側面展開得到一個扇形，這個扇形的圓心角的度數是．｛弧長的計算★｝如圖，是的直徑，，、在兩側的圓上，連接，若，則弧的長為．｛弧長的計算★｝如圖所示，在扇形中，為弦，，，，則的長為．｛弧長的計算★｝如圖，點，，在上，四邊形是平行四邊形，若對角線，則的長為．｛弧長的計算★｝已知弧的長是，弧的半徑為3，則該弧所對的圓心角度數為．｛面積的計算★｝（2021秋?北侖區期中）在中，，，將繞點逆時針旋轉后得到，則圖中陰影部分的面積是．｛圓錐側面積的計算★｝一個圓錐的側面展開圖是半圓，則圓錐母線長與底面半徑的比為．｛圓錐側面積的計算★｝一張扇形紙片，半徑是6，圓心角為，將它圍成一個圓錐，則這個圓錐的底面半徑為．｛圓錐側面積的計算★｝如圖，從直徑為的圓形紙片上剪出一個圓心角為的扇形．使點、、在圓周上，將剪下的扇形作為一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面半徑是．｛圓錐側面積的計算★｝一個扇形的半徑等于一個圓的半徑的2倍，如果這個扇形的面積與圓的面積相等，則這個扇形的圓心角等于．（2021?牡丹江）一條弧所對的圓心角為，弧長等于半徑為的圓的周長的5倍，則這條弧的半徑為A． B． C． D．（2021?衢州）已知扇形的半徑為6，圓心角為，則它的面積是A． B． C． D．（2021?青海）如圖，一根長的繩子，一端拴在圍墻墻角的柱子上，另一端拴著一只小羊（羊只能在草地上活動）那么小羊在草地上的最大活動區域面積是A． B． C． D．（2021?湖北）用半徑為，圓心角為的扇形紙片恰好能圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐底面半徑為A． B． C． D．課堂總結：思維導圖分層訓練：課堂知識鞏固1．（2016?蘭州）如圖，四邊形內接于，若四邊形是平行四邊形，則的大小為A． B． C． D．2．（2022秋?天河區校級期末）如圖，四邊形是的內接四邊形，連接，，，，則A． B． C． D．3．（2022秋?大名縣校級期末）如圖，是的中點，弦，，且，則所在圓的半徑為A．4 B．5 C．6 D．104．（2022秋?荔灣區校級期末）如圖，在中，，，分別以點，為圓心，線段長的一半為半徑作圓弧，交，，于點，，，則圖中陰影部分的面積是A． B． C． D．5．（2022秋?宿豫區期末）如圖，是的外接圓，連接并延長交于點，若，則的度數為A． B． C． D．6．（2022秋?聊城期末）如圖，中，，點是的內心，則的度數為A． B． C． D．7．（2022秋?定西期末）在平面直角坐標系中，若點在內，則的半徑的取值范圍是A． B． C． D．8．（2022秋?河西區校級期末）已知的半徑為，點到圓心的距離，則點A．在外 B．在上 C．在內 D．無法確定9．（2023?市南區一模）如圖，四邊形內接于，是上一點，且，連接并延長交的延長線于點，連接，若，，則的度數為A． B． C． D．10．（2022秋?宛城區校級期末）如圖，是的內切圓，點、分別為邊、上的點，且為的切線，若的周長為25，的長是9，則的周長是A．7 B．8 C．9 D．1611．（2022秋?紅旗區校級期末）以正方形的邊為直徑作半圓，過點作直線切半圓于點，交邊于點，若的周長為12，則直角梯形周長為A．12 B．13 C．14 D．1512．（2022秋?鼓樓區校級期末）如圖，《擲鐵餅者》是希臘雕刻家米隆于約公元前450年雕刻的青銅雕塑，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中具有表現力的瞬間．擲鐵餅者張開的雙臂與肩寬可以近似看像一張拉滿弦的弓，弧長約為米，“弓”所在的圓的半徑約1.25米，則“弓”所對的圓心角度數為．13．（2022秋?宿豫區期末）《九章算術》是我國古代數學名著，也是古代東方數學的代表作之一．書中記載了一個問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容圓徑幾何？”譯文：“如圖，今有直角三角形，勾（短直角邊）長為5步，股（長直角邊）長為12步，問該直角三角形能容納的圓（內切圓）的直徑是多少步？”根據題意，該直角三角形內切圓的直徑為4步．14．（2023?漢陽區校級一模）線段是圓內接正十二邊形的一條邊，則邊所對的圓周角是．15．（2016?棗莊）如圖，是的直徑，是的弦，點是外一點，連接、，．（1）求證：是的切線；（2）連接，若，且，的半徑為，求的長．1．（2022秋?紹興期中）如圖，已知是的直徑，半徑，點在劣弧上（不與點，點重合），與交于點，設，，則以下關系式成立的是A． B． C． D．2．（2021秋?武義縣期末）如圖，在中，，斜邊與量角器的直徑重合點的刻度為，將射線繞著點轉動，與量角器的外圓弧交于點，與交于點，若是等腰三角形，則點在量角器上對應的刻度為A． B． C．或 D．或3．（2022秋?衢州期中）扇子與民眾的日常生活息息相關，中國傳統扇文化有著深厚的文化底蘊．如圖是一把折扇的簡易圖，已知扇面的寬度占骨柄的，骨柄長為，折扇張開的角度為．則扇面（陰影部分）的面積是A． B． C． D．4．（2022?張店區二模）如圖，內切于，點、點分別在直角邊、斜邊上，，且與相切，若，則的值為A． B． C． D．5．（2022?上海模擬）如圖，在邊長為1的正方形中，點在對角線上，且與邊、相切．點是與線段的交點，如果是既與內切，又與正方形的兩條邊相切，那么關于的半徑的方程是A． B． C． D．6．（2022?武漢）如圖，在四邊形材料中，，，，，．現用此材料截出一個面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是A． B． C． D．7．（2022?北碚區校級模擬）如圖，為的直徑，與相切于點，交于點，是的中點，連接并延長交于點，若，，則的長為A． B． C． D．48．（2022?新河縣一模）如圖，點為的內心，，，點，分別為，上的點，且．甲、乙、丙三人有如下判斷：甲：；乙：四邊形的面積為面積的；丙：當時，的周長有最小值．則下列說法正確的是A．只有甲正確 B．只有乙錯誤 C．乙、丙都正確 D．甲、乙、丙都正確9．（2022?江陰市模擬）如圖，半徑為1的的圓心在坐標原點，為直線上一點，過點作的切線，切點為，連接，．下列結論：①當為等腰直角三角形時，點坐標為；②當時，點坐標為；③面積最小值為；④．其中正確的有A．4個 B．3個 C．2個 D．1個10．（2022?黃巖區一模）如圖，是等邊三角形，點，點在數軸上，點表示數，點表示數2，以為直徑作圓交邊于點，