江蘇省蘇州市平江中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)為，則與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值為（）A. B.C. D.2．已知，那么函數(shù)在x＝π處的瞬時(shí)變化率為（）A. B.0C. D.3．變量，之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：若，之間的線(xiàn)性回歸方程為，則的值為（）45678.27.86.65.4A. B.C. D.4．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與雙曲線(xiàn)有共同漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.5．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為8，則該橢圓的短軸長(zhǎng)等于（）A.3 B.6C.8 D.126．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.若“”是“或”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的最大值為2021C.“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的必要不充分條件D.已知，且，則的最小值為97．已知曲線(xiàn)，下列命題錯(cuò)誤的是（）A.若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上B.若，則是圓，其半徑為C.若，則是雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)方程為D.若，，為上任意一點(diǎn)，，為曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，則8．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿(mǎn)、芒種這十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若冬至、大寒、雨水的日影長(zhǎng)的和為36.3尺，小寒、驚蟄、立夏的日影長(zhǎng)的和為18.3尺，則冬至的日影長(zhǎng)為（）A4尺 B.8.5尺C.16.1尺 D.18.1尺9．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距長(zhǎng)成等比數(shù)列，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.10．設(shè)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.C. D.11．已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為290，偶數(shù)項(xiàng)之和為261，則的值為（）A.30 B.29C.28 D.2712．某雙曲線(xiàn)的一條漸近方程為，且焦點(diǎn)為，則該雙曲線(xiàn)的方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)分別是拋物線(xiàn)上位于第一、四象限的點(diǎn)，若，則的面積為_(kāi)_________.14．如圖所示，在直二面角D－AB－E中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中，則點(diǎn)D到平面ACE的距離為_(kāi)_______15．如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，現(xiàn)以為圓心作一個(gè)圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的中心并且交橢圓于點(diǎn)，．若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，則橢圓的離心率為_(kāi)________16．如圖，將一個(gè)正方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線(xiàn)截出一個(gè)棱錐，若該棱錐的體積為，則該正方體的邊長(zhǎng)為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）解答下列兩個(gè)小題：（1）雙曲線(xiàn)：離心率為，且點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，求的方程；（2）雙曲線(xiàn)實(shí)軸長(zhǎng)為2，且雙曲線(xiàn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程18．（12分）已知橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，A，B分別為左、右頂點(diǎn)，P為橢圓上不同于A，B的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上，其中e為橢圓的離心率（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線(xiàn)AP與直線(xiàn)（m為常數(shù)）交于點(diǎn)Q，①當(dāng)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)OQ的斜率為，直線(xiàn)BP的斜率為．求證：為定值；②過(guò)Q與PB垂直的直線(xiàn)l是否過(guò)定點(diǎn)？如果是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由19．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，O為底面正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn)，且PA=AD.（1）求證：PB∥平面EAC；（2）求直線(xiàn)BD與平面EAC所成角的正弦值.21．（12分）已知函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，求的取值范圍22．（10分）已知點(diǎn)，圓.（1）若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)M，且被圓C截得的弦長(zhǎng)為，求直線(xiàn)l的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)N在圓C上運(yùn)動(dòng)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為P，求點(diǎn)P的軌跡方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線(xiàn)為，求x、y軸上截距，進(jìn)而可得與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積，利用導(dǎo)數(shù)研究在上的最值即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，，則，又，所以切線(xiàn)為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又，所以與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上遞減，在上遞增，即.故選：C2、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求出，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可得到結(jié)論【詳解】由題設(shè)，，所以，函數(shù)在x＝π處瞬時(shí)變化率為，故選：A3、C【解析】本題先求樣本點(diǎn)中心，再利用線(xiàn)性回歸方程過(guò)樣本點(diǎn)中心直接求解即可.【詳解】解：，，所以樣本點(diǎn)中心：，線(xiàn)性回歸方程過(guò)樣本點(diǎn)中心，則解得：，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)性回歸方程過(guò)樣本點(diǎn)中心，是簡(jiǎn)單題.4、C【解析】共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程，設(shè)，把點(diǎn)代入方程解得參數(shù)即可.【詳解】設(shè)，把點(diǎn)代入方程解得參數(shù)，所以化簡(jiǎn)得方程故選：C.5、B【解析】根據(jù)橢圓中的關(guān)系即可求解.【詳解】橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為8，所以，，可得，，所以，可得，所以該橢圓的短軸長(zhǎng)，故選：B.6、C【解析】對(duì)于A：用存在量詞否定全稱(chēng)命題，直接判斷；對(duì)于B：根據(jù)充分不必要條件直接判斷；對(duì)于C：判斷出“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的充分不必要條件，即可判斷；對(duì)于D：利用基本不等式求最值.【詳解】對(duì)于A：用存在量詞否定全稱(chēng)命題，所以命題“，”的否定是“，”.故A正確；對(duì)于B：若“”是“或”的充分不必要條件，所以，即實(shí)數(shù)m的最大值為2021.故B正確；對(duì)于C：“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”，則，解得：或，所以“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的充分不必要條件.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：已知，且，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）故D正確.故選：C7、D【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線(xiàn)的性質(zhì)以及定義逐一判斷即可.【詳解】曲線(xiàn)，若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上，故A正確；若，則，即是圓，半徑為，故B正確；若，則是雙曲線(xiàn)，當(dāng)，則漸近線(xiàn)方程為，當(dāng)，則漸近線(xiàn)方程為，故C正確；若，，則是雙曲線(xiàn)，其焦點(diǎn)在軸上，由雙曲線(xiàn)的定義可知，，故D錯(cuò)誤；故選：D8、C【解析】設(shè)等差數(shù)列，用基本量代換列方程組，即可求解.【詳解】由題意，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿(mǎn)、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，記為數(shù)列，公差為d，則有，即，解得：，即冬至的日影長(zhǎng)為16.1尺.故選：C9、A【解析】由題意，，結(jié)合，求解即可【詳解】∵橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距長(zhǎng)成等比數(shù)列∴∴又∵∴∴，即∴e=又在橢圓e＞0∴e=故選：A10、A【解析】由周期函數(shù)得，再由奇函數(shù)的性質(zhì)通過(guò)得結(jié)論【詳解】∵函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，∴，而，又函數(shù)為奇函數(shù)，∴．故選A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的周期性與奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．此類(lèi)題型，求函數(shù)值時(shí)，一般先用周期性化自變量到已知區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間，然后再由奇函數(shù)性質(zhì)求得函數(shù)值11、B【解析】由等差數(shù)列的求和公式與等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可【詳解】奇數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng)，其和為，∴偶數(shù)項(xiàng)共有n項(xiàng)，其和為，∴故選：B12、D【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，利用焦點(diǎn)為求出的值即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的一條漸近方程為，且焦點(diǎn)為，所以可設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，則，，所以該雙曲線(xiàn)方程為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、42【解析】由焦半徑公式求得參數(shù)，得拋物線(xiàn)方程，從而可求得兩點(diǎn)縱坐標(biāo)，再求得直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)后可得面積【詳解】因?yàn)椋裕瑨佄锞€(xiàn)的方程為，把代入方程，得（舍去），即.同理，直線(xiàn)方程為，即．所以直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，所以.故答案為：4214、【解析】建立合適空間直角坐標(biāo)系，分別表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求解出平面的一個(gè)法向量，利用公式求解出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)E，OB所在的直線(xiàn)為x軸、y軸，過(guò)垂直于平面的方向?yàn)檩S，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面ACE的法向量，則，即，令，∴故點(diǎn)D到平面ACE的距離.故答案：.15、##【解析】根據(jù)給定條件探求出橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)與其焦距的關(guān)系即可計(jì)算作答.【詳解】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，即，依題意，，而直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，即，則有，又點(diǎn)在橢圓上，即，因此，，從而有，所以橢圓的離心率為.故答案為：16、2【解析】根據(jù)體積公式直接計(jì)算即可.【詳解】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，則，解得.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由可得，再將點(diǎn)代入方程，聯(lián)立解出答案，可得答案.（2）先求出橢圓的焦點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上，由條件可得，且，從而得出答案.詳解】（1）由，得，即，又，即，雙曲線(xiàn)的方程即為，點(diǎn)坐標(biāo)代入得，解得所以，雙曲線(xiàn)的方程為（2）橢圓的焦點(diǎn)為，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，所以，且，所以，所以，雙曲線(xiàn)的方程為18、（1）（2）①證明見(jiàn)解析；②直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；【解析】（1）依題意得到方程組，解得，即可求出橢圓方程；（2）①由（1）可得，，設(shè)，，表示出直線(xiàn)的方程，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到、，即可求出；②在直線(xiàn)方程中令，即可得到的坐標(biāo)，再求出直線(xiàn)的斜率，即可得到直線(xiàn)的方程，從而求出定點(diǎn)坐標(biāo)；【小問(wèn)1詳解】解：依題意可得，即，解得或（舍去），所以，所以橢圓方程為【小問(wèn)2詳解】解：①由（1）可得，，設(shè)，，則直線(xiàn)的方程為，令則，所以，，所以，又點(diǎn)在橢圓上，所以，即，所以，即為定值；②因?yàn)橹本€(xiàn)的方程為，令則，因?yàn)椋裕灾本€(xiàn)的方程為，即又，所以，令，解得，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；19、（1）；（2）.【解析】（1）由，，可得求出，從而可得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，從而可得，然后利用裂項(xiàng)相消求和法可求得【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?所以，化簡(jiǎn)得，解得，所以，（2）由（1）可知，所以，所以【點(diǎn)睛】此題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的基本量計(jì)算，考查裂項(xiàng)相消求和法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）利用線(xiàn)面平行的判斷定理，證明線(xiàn)線(xiàn)平行，即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】連結(jié)EO，由題意可得O為BD的中點(diǎn)，又E是PD的中點(diǎn)，∴PB∥EO，又∵EO平面EAC，PB平面EAC，∴PB∥平面EAC；【小問(wèn)2詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=2，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，∴=(-2，2，0)，=(0，1，1)，=(2，2，0)，設(shè)平面EAC的法向量為=(x，y，z)，則，即，即，令y=1得x=-1，z=-1，∴平面EAC的一個(gè)法向量為=(-1，1，-1)，∴設(shè)直線(xiàn)BD與平面EAC所成的角為θ，則sinθ=∴直線(xiàn)BD與平面EAC所成的角的正弦值.21、（1）單調(diào)減區(qū)間為和；（2）的取值范圍為：或【解析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線(xiàn)的斜率，由兩直線(xiàn)垂直的條件，可得，求得的解析式，可得導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；（2）先求得，要使函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，即要在內(nèi)無(wú)解，亦即要在內(nèi)無(wú)解.構(gòu)造函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)，然后對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，運(yùn)用單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，即可得到的取值范圍.【詳解】(1)，又由題意有：，故.此時(shí)，，由或，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和.(2)，且定義域?yàn)椋瘮?shù)無(wú)零點(diǎn)，即要在內(nèi)無(wú)解，亦即要在內(nèi)無(wú)解.構(gòu)造函數(shù).①當(dāng)時(shí)，在內(nèi)恒成立，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)也單調(diào)遞減.又，所以在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在內(nèi)也無(wú)零點(diǎn)，故滿(mǎn)足條件；②當(dāng)時(shí)，⑴若，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)也單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.又，所以在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；易知，而，故在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，所以不滿(mǎn)足條件；⑵若，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.又，所以時(shí)，恒成立，故無(wú)零點(diǎn)，滿(mǎn)足條件；⑶若，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)也單調(diào)遞增.又，所以在及內(nèi)均無(wú)零點(diǎn).又易知，而，又易證當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在內(nèi)有一零點(diǎn)，故不滿(mǎn)足條件.綜上可得：的取值范圍為：或.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題、其中分類(lèi)討論思想.本題覆蓋面廣，對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，是一道難題，解答本題，準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是基礎(chǔ)，恰當(dāng)分類(lèi)討論是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是分類(lèi)討論不全面、不徹底、不恰當(dāng)，或因復(fù)雜式子變形能力差，而錯(cuò)漏百出．本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計(jì)算能力、分類(lèi)討論思想等22、（1