北京市十二中2025屆高一數學第一學期期末學業質量監測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數，，則函數的值域為（）A B.C. D.2．已知函數，若函數在上有3個零點，則m的取值范圍為（）A. B.C. D.3．已知是定義在上的偶函數，且在上單調遞減，若，，，則、、的大小關系為（）A. B.C. D.4．集合中所含元素為A.0，1 B.，1C.，0 D.15．已知函數的定義域和值域都是，則（）A. B.C.1 D.6．已知函數是冪函數，且其圖象與兩坐標軸都沒有交點，則實數A. B.2C.3 D.2或7．若集合，則A. B.C. D.8．中國古代十進制的算籌記數法在世界數學史上是一個偉大的創造.據史料推測，算籌最晚出現在春秋晚期或戰國初年.算籌記數的方法是：個位、百位、萬位、…上的數按縱式的數碼擺出；十位、千位、十萬位、…上的數按橫式的數碼擺出，如可用算籌表示為.這個數字的縱式與橫式的表示數碼如圖所示，則的運算結果用算籌表示為（）A. B.C. D.9．某市政府為了增加農民收入，決定對該市特色農副產品的科研創新和廣開銷售渠道加大投入，計劃逐年加大研發和宣傳資金投入.若該政府2020年全年投人資金120萬元，在此基礎上，每年投入的資金比上一年增長12%，則該政府全年投入的資金翻一番（2020年的兩倍）的年份是（參考數據：lg1.12≈0.05，lg2≈0.30）（）A.2027年 B.2026年C.2025年 D.2025屆10．若函數在上單調遞增，則實數a的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若關于x的不等式對一切實數x恒成立，則實數k的取值范圍是___________.12．如圖，單位圓上有一點，點P以點P0為起點按逆時針方向以每秒弧度作圓周運動，5秒后點P的縱坐標y是_____________.13．設x、y滿足約束條件，則的最小值是________.14．已知某扇形的弧長為，面積為，則該扇形的圓心角（正角）為_________.15．11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成后，每球交換發球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束.甲乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發球時甲得分的概率為0.5，乙發球時乙得分的概率為0.6，各球的結果相互獨立.在某局打成后，甲先發球，乙以獲勝的概率為______.16．給出下列命題：①存在實數,使；②函數是偶函數；③若是第一象限的角，且，則；④直線是函數的一條對稱軸；⑤函數的圖像關于點成對稱中心圖形.其中正確命題序號是__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在①函數；②函數；③函數的圖象向右平移個單位長度得到的圖象，的圖象關于原點對稱；這三個條件中任選一個作為已知條件，補充在下面的問題中，然后解答補充完整的題已知______（只需填序號），函數的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為.（1）求函數的解析式；（2）求函數的單調遞減區間及其在上的最值注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.18．已知函數，記.（1）求函數的定義域；（2）判斷函數的奇偶性，并說明理由；（3）是否存在實數，使得的定義域為時，值域為？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，則說明理由.19．已知集合，（1）當時，求以及；（2）若，求實數m的取值范圍20．已知函數.（1）用函數單調性定義證明：函數在區間上是嚴格增函數；（2）函數在區間上是單調函數嗎？為什么？21．已知是偶函數，是奇函數，且，（1）求和的表達式；（2）若對于任意的，不等式恒成立，求的最大值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】先判斷函數的單調性，再利用單調性求解.【詳解】因為，在上都是增函數，由復合函數的單調性知：函數，在上為增函數，所以函數的值域為，故選：B2、A【解析】畫出函數圖像，分解因式得到，有一個解故有兩個解，根據圖像得到答案.【詳解】畫出函數的圖像，如圖所示：當時，即，有一個解；則有兩個解，根據圖像知：故選：【點睛】本題考查了函數的零點問題，畫出函數圖像，分解因式是解題的關鍵.3、D【解析】分析可知函數在上為增函數，比較、、的大小，結合函數的單調性與偶函數的性質可得出結論.【詳解】因為偶函數在上為減函數，則該函數在上為增函數，，則，即，，，所以，，故，即.故選：D.4、A【解析】，解，得，故選5、A【解析】分和，利用指數函數的單調性列方程組求解.【詳解】當時，，方程組無解當時，，解得故選：A.6、A【解析】根據冪函數的定義，求出m的值，代入判斷即可【詳解】函數是冪函數，，解得：或，時，，其圖象與兩坐標軸有交點不合題意，時，，其圖象與兩坐標軸都沒有交點，符合題意，故，故選A【點睛】本題考查了冪函數的定義，考查常見函數的性質，是一道常規題7、D【解析】詳解】集合，所以.故選D.8、A【解析】先利用指數和對數運算化簡，再利用算籌表示法判斷.【詳解】因為，用算籌記數表示為，故選：.9、B【解析】根據題意列出指數方程，取對數，根據對數的運算性質，結合題中所給的數據進行求解即可.【詳解】設第n(n∈N*)年該政府全年投入的資金翻一番，依題意得：120(1+12%)n－1=240，則lg[120(1+12%)n-1]=lg240，∴lg120+(n-1)lg1.12=lg240，∴(n－1)lg1.12=lg2，∴，即該政府全年投入的資金翻一番的年份是2026年，故選：B.10、A【解析】將寫成分段函數的形式，根據單調性先分析每一段函數需要滿足的條件，同時注意分段點處函數值關系，由此求解出的取值范圍.【詳解】因為，所以，當在上單調遞增時，，所以，當在上單調遞增時，，所以，且，所以，故選：A.【點睛】思路點睛：根據分段函數單調性求解參數范圍的步驟：（1）先分析每一段函數的單調性并確定出參數的初步范圍；（2）根據單調性確定出分段點處函數值的大小關系；（3）結合（1）（2）求解出參數的最終范圍.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】根據一元二次不等式與二次函數的關系，可知只需判別式，利用所得不等式求得結果.【詳解】不等式對一切實數x恒成立，，解得：故答案為：.12、##【解析】根據單位圓上點的坐標求出，從而求出，從而求出點P的縱坐標.【詳解】因為位于第一象限，且，故，所以，故，所以點P的縱坐標故答案為：13、-6【解析】先根據約束條件畫出可行域，再利用的幾何意義求最值，只需求出直線過可行域內的點時，從而得到的最小值即可【詳解】解：由得，作出不等式組對應的平面區域如圖（陰影部分ABC）：平移直線，由圖象可知當直線，過點A時，直線截距最大，此時z最小，由得，即，代入目標函數，得∴目標函數的最小值是﹣6故答案為：【點睛】本題考查簡單線性規劃問題，屬中檔題14、【解析】根據給定條件求出扇形所在圓的半徑即可計算作答.【詳解】設扇形所在圓的半徑為，扇形弧長為，即，由扇形面積得：，解得，所以該扇形的圓心角(正角)為.故答案為：15、15【解析】依題意還需進行四場比賽，其中前兩場乙輸一場、最后兩場乙贏，根據相互獨立事件概率公式計算可得；【詳解】解：依題意還需進行四場比賽，其中前兩場乙輸一場、最后兩場乙贏，其中發球方分別是甲、乙、甲、乙；所以乙以獲勝的概率故答案為：16、④⑤【解析】根據兩角和與差的正弦公式可得到sinα+cosαsin（α）結合正弦函數的值域可判斷①；根據誘導公式得到＝sinx，再由正弦函數的奇偶性可判斷②；舉例說明該命題正誤可判斷③；x代入到y＝sin（2xπ），根據正弦函數的對稱性可判斷④；x代入到，根據正切函數的對稱性可判斷⑤.【詳解】對于①，sinα+cosαsin（α），故①錯誤；對于②，＝sinx，其為奇函數，故②錯誤；對于③，當α、β時，α、β是第一象限的角，且α＞β，但sinα＝sinβ，故③錯誤；對于④，x代入到y＝sin（2xπ）得到sin（2π）＝sin1，故命題④正確；對于⑤，x代入到得到tan（）＝0，故命題⑤正確.故答案為④⑤【點睛】本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了三角函數的化簡與求值問題，是綜合性題目三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）條件選擇見解析，（2）單調遞減區間為，最小值為，最大值為2【解析】（1）選條件①：利用同角三角函數的關系式以及兩角和的正弦公式和倍角公式，將化為只含一個三角函數形式，根據最小正周期求得，即可得答案；選條件②：利用兩角和的正弦公式以及倍角公式，將化為只含一個三角函數形式，根據最小正周期求得，即可得答案；選條件③，先求得，利用三角函數圖象的平移變換規律，可得到g(x)的表達式，根據其性質求得，即得答案;（2）根據正弦函數的單調性即可求得答案，再由，確定，根據三角函數性質即可求得答案.【小問1詳解】選條件①：法一：又由函數的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，可知函數最小正周期，∴，∴選條件②：，又最小正周期，∴，∴選條件③：由題意可知，最小正周期，∴，∴，∴，又函數的圖象關于原點對稱，∴，∵，∴∴【小問2詳解】由（1）知，由，解得，∴函數單調遞減區間為由，從而,故在區間上的最小值為，最大值為2.18、（1）；（2）奇函數，理由見解析；（3）不存在，理由見解析.【解析】(1)分別求f(x)和g(x)定義域，F(x)為這兩個定義域的交集；(2)先判斷定義域是否關于原點對稱，再判斷F(－x)與F(x)的關系；(3)先根據定義域和值域求出m，n，a的范圍，再利用單調性將問題轉化為方程有解問題.【小問1詳解】由題意知要使有意義，則有，得所以函數的定義域為：【小問2詳解】由(1)知函數F(x)的定義域為：，關于原點對稱，函數為上的奇函數.【小問3詳解】，假設存在這樣的實數，則由可知令，則在上遞減，在上遞減，是方程，即有兩個在上的實數解問題轉化為：關于的方程在上有兩個不同的實數解令，則有，解得，又，∴故這樣的實數不存在.19、（1），（2）【解析】（1）解不等式求出集合，根據集合的交并補運算可得答案；（2）由集合的包含關系可得答案.【小問1詳解】，當時，，∴，，，∴.【小問2詳解】由題可知，所以，解得，所以實數m的取值范圍為.20、（1）證明見解析；（2）不是單調函數，理由見解析.【解析】（1）根據函數解析式在給定區間內任取，判斷對應函數值的大小關系，即可說明函數的單調性.（2）利用三元基本不等式求在上的最值并確定等號成立的條件，即可判斷的單調性.【小問1詳解】由題設，且，任取，則，又，，，，即，∴，即，∴函數在區間上是嚴格增函數；【小問2詳解】由