上海市交大嘉定2025屆數學高二上期末聯考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列函數的求導正確的是（）A. B.C. D.2．若，則（）A.1 B.2C.4 D.83．設，隨機變量X的分布列如下表所示，隨機變量Y滿足，則當a在上增大時，關于的表述下列正確的是（）X013PabA增大 B.減小C.先增大后減小 D.先減小后增大4．已知向量與平行，則（）A. B.C. D.5．已知數列是以1為首項，2為公差的等差數列，是以1為首項，2為公比的等比數列，設，，則當時，n的最大值是（）A.8 B.9C.10 D.116．小王與小張二人參加某射擊比賽預賽的五次測試成績如下表所示，設小王與小張成績的樣本平均數分別為和，方差分別為和，則（）第一次第二次第三次第四次第五次小王得分（環）910579小張得分（環）67557A. B.C. D.7．是雙曲線：上一點，已知，則的值（）A. B.C.或 D.8．已知橢圓C：（）的長軸的長為4，焦距為2，則C的方程為（）A B.C. D.9．設變量，滿足約束條件則的最小值為（）A.3 B.－3C.2 D.－210．拋物線的焦點到直線的距離為，則（）A.1 B.2C. D.411．已知曲線的方程為，則下列說法正確的是（）①曲線關于坐標原點對稱；②曲線是一個橢圓；③曲線圍成區域的面積小于橢圓圍成區域的面積.A.① B.①②C.③ D.①③12．從1，2，3，4，5中任取2個不同的數，兩數和為偶數的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知、分別為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線右支上一點，滿足，直線與圓有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍是___________.14．已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，直線l過點F與拋物線C交于A，B兩點，以F為圓心的圓交線段AB于C，D兩點（從上到下依次為A，C，D，B），若，則該圓的半徑r的取值范圍是____________.15．設、為正數，若，則的最小值是______，此時______.16．拋物線的準線方程為_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數列的前項和為，，且.（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為，證明：.18．（12分）2017年廈門金磚會晤期間產生碳排放3095噸．2018年起廈門市政府在下潭尾濕地生態公園通過種植紅樹林的方式中和會晤期間產生的碳排放，擬用20年時間將碳排放全部吸收，實現“零碳排放”目標，向世界傳遞低碳，環保辦會的積極信號，踐行金磚國家倡導的可持續發展精神據研究估算，紅樹林的年碳吸收量隨著林齡每年遞增2%，2018年公園已有的紅樹林年碳吸收量為130噸，如果從2019年起每年新種植紅樹林若干畝，新種植的紅樹林當年的年碳吸收量為m（）噸．2018年起，紅樹林的年碳吸收量依次記，，，…（1）①寫出一個遞推公式，表示與之間的關系；②證明：是等比數列，并求的通項公式；（2）為了提前5年實現廈門會晤“零碳排放”的目標，m的最小值為多少？參考數據：，，19．（12分）已知直線經過點，，直線經過點，且.(1)分別求直線，的方程；(2)設直線與直線的交點為，求外接圓的方程.20．（12分）已知函數是定義在實數集上的奇函數，且當時，（1）求的解析式；（2）若在上恒成立，求的取值范圍21．（12分）在平面直角坐標系中，已知雙曲線C的焦點為、，實軸長為.（1）求雙曲線C的標準方程；（2）過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，且Q恰好為線段的中點，求直線l的方程.22．（10分）如圖，已知圓臺下底面圓的直徑為，是圓上異于、的點，是圓臺上底面圓上的點，且平面平面，，，、分別是、的中點.（1）證明：平面；（2）若直線上平面且過點，試問直線上是否存在點，使直線與平面所成的角和平面與平面的夾角相等？若存在，求出點的所有可能位置；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】對各個選項進行導數運算驗證即可.【詳解】，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤.故選：B2、D【解析】由題意結合導數的運算可得，再由導數的概念即可得解.【詳解】由題意，所以，所以.故選：D.3、A【解析】先求得參數b，再去依次去求、、，即可判斷出的單調性.【詳解】由得則，由得a在上增大時,增大.故選：A4、D【解析】根據兩向量平行可求得、的值，即可得出合適的選項.【詳解】由已知，解得，，則.故選：D.5、B【解析】先求出數列和的通項公式，然后利用分組求和求出，再對進行賦值即可求解.【詳解】解：因為數列是以1為首項，2為公差的等差數列所以因為是以1為首項，2為公比的等比數列所以由得：當時，即當時，當時，所以n的最大值是.故選：B.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用分組求和求出，再通過賦值法即可求出使不等式成立的的最大值.6、C【解析】根據圖表數據可以看出小王和小張的平均成績和成績波動情況.【詳解】解：從圖表中可以看出小王每次的成績均不低于小張，但是小王成績波動比較大，故設小王與小張成績的樣本平均數分別為和，方差分別為和.可知故選：C7、B【解析】根據雙曲線定義，結合雙曲線上的點到焦點的距離的取值范圍，即可求解.【詳解】雙曲線方程為：，是雙曲線：上一點，，，或，又，.故選：B8、D【解析】由題設可得求出橢圓參數，即可得方程.【詳解】由題設，知：，可得，則，∴C的方程為.故選：D.9、D【解析】轉化為，則最小即直線在軸上的截距最大，作出不等式組表示的可行域，數形結合即得解【詳解】轉化為，則最小即直線在軸上的截距最大作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線，平移該直線，當直線經過時，在軸上的截距最大，最小，此時，故選：D10、B【解析】首先確定拋物線的焦點坐標，然后結合點到直線距離公式可得的值.【詳解】拋物線的焦點坐標為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.11、D【解析】對于①在方程中換為，換為可判斷；對于②分析曲線的圖形是兩個拋物線的部分組成的可判斷；對于③在第一象限內，分析橢圓的圖形與曲線圖形的位置關系可判斷.【詳解】在曲線的方程中，換為，換為，方程不變，故曲線關于坐標原點對稱所以①正確,當時，曲線的方程化為，此時當時，曲線的方程化為，此時所以曲線圖形是兩個拋物線的部分組成的，不是橢圓，故②不正確.當，時，設，設，則，（當且僅當或時等號成立）所以在第一象限內，橢圓的圖形在曲線的上方.根據曲線和橢圓的的對稱性可得橢圓的圖形在曲線的外部（四個頂點在曲線上）所以曲線圍成區域的面積小于橢圓圍成區域的面積，故③正確.故選：D12、B【解析】利用列舉法，結合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】從中任取個不同的數的方法有，共種，其中和為偶數的有共種，所以所求的概率為.故選：B【點睛】本小題主要考查古典概型概率計算，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】過點作于，過點作于，利用雙曲線的定義以及勾股定理可求得，由已知可得，可得出關于、的齊次不等式，結合可求得的取值范圍.【詳解】過點作于，過點作于，因為，所以，又因為，所以，故，又因為，且，所以，因此，所以，又因為直線與圓有公共點，所以，故，即，則，所以，又因為雙曲線的離心率，所以.故答案為：.14、【解析】設出直線的方程為，代入拋物線方程，消去，可得關于的二次方程，運用韋達定理及拋物線的定義，化簡計算可求解.【詳解】拋物線C：y2=8x的焦點為,設以為圓心的圓的半徑為，可知，，設，直線的方程為，則，代入拋物線方程，可得，即有，，，，即，所以.故答案為：15、①.4②.【解析】巧用“1”改變目標式子的結果，借助均值不等式求最值即可.【詳解】，當且僅當即，時等號成立.故答案為，【點睛】本題考查最值的求法，注意運用“1”的代換法和基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題16、【解析】本題利用拋物線的標準方程得出拋物線的準線方程【詳解】由拋物線方程可知，拋物線的準線方程為：故答案為【點睛】本題考查拋物線的相關性質，主要考查拋物線的簡單性質的應用，考查拋物線的準線的確定，是基礎題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據等差數列的性質及題干條件，可求得，代入公式，即可求得數列的通項公式；（2）由（1）可得，利用裂項相消求和法，即可求得，即可得證.【詳解】解：（1）設數列的公差為，在中，令，得，即，故①.由得，所以②.由①②解得，.所以數列的通項公式為：.（2）由（1）可得，所以，故，所以.因為，所以.【點睛】數列求和的常見方法：（1）倒序相加法：如果一個數列的前n項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和可以用倒序相加法；（2）錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和可以用錯位相減法來求；（3）裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些項可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉化法：一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組轉換法分別求和再相加減；（5）并項求和法：一個數列的前n項和可以兩兩結合求解，則稱之為并項求和，形如類型，可采用兩項合并求解.18、（1）①；②證明見解析，（2）最少為6.56噸【解析】（1）①根據題意直接寫出一個遞推公式即可；②要證明是等比數列，只要證明為一個常數即可，求出等比數列的通項公式，即可求出的通項公式；（2）記為數列的前n項和，根據題意求出，利用分組求和法求出數列的前n項和，再令，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：①依題意得,則，②因為，所以，所以，因為所以數列是等比數列，首項是，公比是1.02，所以，所以；【小問2詳解】解：記為數列的前n項和，，依題，所以，所以m最少為6.56噸19、（1）；（2）.【解析】（1）根據兩點式即可求出直線l1的方程，根據直線垂直的關系即可求l2的方程；（2）先求出C點坐標，通過三角形的長度關系知道三角形是以AC為斜邊長的直角三角形，故AC的中點即為外心，AC即為直徑.解析：(1)∵直線經過點，，∴，設直線的方程為，∴，∴.(2)，即：，∴，的中點為，∴的外接圓的圓心為，半徑為，∴外接圓的方程為：.點睛：這個題目考查的是已知兩直線位置關系求參的問題，還考查了三角形外接圓的問題．對于三角形為外接圓，圓心就是各個邊的中垂線的交點，鈍角三角形外心在三角形外側，銳角三角形圓心在三角形內部，直角三角形圓心在直角三角形斜邊的中點20、（1），（2）實數的取值范圍是【解析】（1）根據函數奇偶性求解析式；（2）將恒成立轉化為令，恒成立，討論二次函數系數，結合根的分布.【詳解】解：（1）因為函數是定義在實數集上的奇函數，所以，當時，則所以當時所以（2）因為時，在上恒成立等價于即在上恒成立令，則①當時，不恒成立，故舍去②當時必有，此時對稱軸若即或時，恒成立因為，所以若即時，要使恒成立則有與矛盾，故舍去綜上，實數的取值范圍是【點睛】應用函數奇偶性可解決的四類問題及解題方法（1）求函數值：將待求值利用奇偶性轉化為已知區間上的函數值求解；（2）求解析式：先將待求區間上的自變量轉化到已知區間上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性構造關于的方程(組)，從而得到的解析式；（3）求函數解析式中參數的值：利用待定系數法求解，根據得到關于待求參數的恒等式，由系數的對等性得參數的值或方程(組)，進而得出參數的值；（4）畫函數圖象和判斷單調性：利用奇偶性可畫出另一對稱區間上的圖象及判斷另一區間上的單調性.21、（1）（2）.【解析】（1）根據條件，結合雙曲線定義即可求得雙曲線的標準方程.（2）當斜率不存在時，不符合題意；當斜率存在時，設出直線方程，聯立雙曲線，變形后由中點坐標公式可求得斜率，即可求得直線方程.【詳解】（1）根據題意，焦點在軸上，且，所以，雙曲線的標準方程為C：.（2）過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，且Q恰好為線段的中點，當直線斜率不存在時，直線方程為，則由雙曲線對稱性可知線段的中點在軸上，所以不滿足題意；當斜率存在時，設直線方程為，設，則，化簡可得，因為有兩個交點，所以化簡可得恒成立，所以，因為恰好為線段的中點，則，化簡可得，所以直線方程為，即.【點睛】本題考查根據雙曲線定義求雙曲線標準方程，直線與雙曲線的位置關系，由中點坐標求直線方程，屬于中檔題.22、（1）證明見解析；（2）存在，點與點重合.【解析】（1）證明出，利用面面垂直的性質可證得結論成立；（2）以為坐標原點，為軸，為軸，過垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，易