2025屆上海市復旦附中浦東分校高二上數學期末經典模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在平面區域內隨機投入一點P，則點P的坐標滿足不等式的概率是（）A. B.C. D.2．拋物線C：的焦點為F，P，R為C上位于F右側的兩點，若存在點Q使四邊形PFRQ為正方形，則（）A. B.C. D.3．若，在直線l上，則直線l一個方向向量為（）A. B.C. D.4．在中，、、所對的邊分別為、、，若，，，則（）A. B.C. D.5．東漢末年的數學家趙爽在《周髀算經》中利用一副“弦圖”，根據面積關系給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.我們通過類比得到圖2，它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形.對于圖2.下列結論正確的是（）①這三個全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形；②若，，則；③若，則；④若是的中點，則三角形的面積是三角形面積的7倍.A.①②④ B.①②③C.②③④ D.①③④6．拋物線的焦點到準線的距離是A.2 B.4C. D.7．直線的傾斜角為（）A.1 B.－1C. D.8．圓與圓的公切線的條數為（）A.1 B.2C.3 D.49．已知，那么函數在x＝π處的瞬時變化率為（）A. B.0C. D.10．若任取，則x與y差的絕對值不小于1的概率為（）A. B.C. D.11．如圖，D是正方體的一個“直角尖”O-ABC（OA，OB，OC兩兩垂直且相等）棱OB的中點，P是BC中點，Q是AD上的一個動點，連PQ，則當AC與PQ所成角為最小時，（）A. B.C. D.212．已知點，點在拋物線上，過點的直線與直線垂直相交于點，，則的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點F恰好是橢圓的右焦點，且兩條曲線交點的連線過點F，則該橢圓的離心率為____________14．已知雙曲線左、右焦點分別為，，點P是雙曲線左支上一點且，則______15．我國古代數學名著《九章算術》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來1524石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為_______石16．在等差數列中，前n項和記作，若，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，（1）證明：；（2）若點E是棱的中點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值18．（12分）已知{an}是公差不為零的等差數列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數列.（Ⅰ）求數列{an}的通項;（Ⅱ）求數列的前n項和Sn.19．（12分）設橢圓E：（a，b>0）過M（2，），N(，1)兩點，O為坐標原點，（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明理由.20．（12分）已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1、F2，上頂點為A，△AF1F2的周長為6，離心率等于.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點(4，0)的直線l交橢圓C于M、N兩點，且OM⊥ON，求直線l的方程.21．（12分）已知數列的前n項和為,且,,數列滿足，.(1)求和的通項公式；(2)求數列{}的前n項和.22．（10分）已知函數f（x）+alnx，實數a＞0（1）當a＝2時，求函數f（x）在x＝1處的切線方程；（2）討論函數f（x）在區間（0，10）上的單調性和極值情況；（3）若存在x∈（0，+∞），使得關于x的不等式f（x）＜2+a2x成立，求實數a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據題意作出圖形，進而根據幾何概型求概率的方法求得答案.【詳解】根據題意作出示意圖，如圖所示：于，所求概率.故選：A.2、A【解析】不妨設，不妨設，則，利用拋物線的對稱性及正方形的性質列出的方程求得后可得結論【詳解】如圖所示，設，不妨設，則，由拋物線的對稱性及正方形的性質可得，解得（正數舍去），所以故選：A3、C【解析】利用直線的方向向量的定義直接求解.【詳解】因為，在直線l上，所以直線l的一個方向向量為.故選：C.4、B【解析】利用正弦定理，以及大邊對大角，結合正弦定理，即可求得.【詳解】根據題意，由正弦定理，可得：，解得，故可得或，由，可得，故故選：B.5、A【解析】對于①，由三角形大邊對大角的性質分析，對于②，根據題意利用正弦定理分析，對于③，利用余弦定理分析，對于④，利用三角形的面積公式分析判斷【詳解】對于①，根據題意，圖2，它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，故，，所以這三個全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形，故①正確；對于②，由題知，在中，，，，所以，所以由正弦定理得解得，因為，所以，故②正確；對于③，不妨設，所以在中，由余弦定理得，代入數據得，所以，所以，故③錯誤；對于④，若是的中點，則，所以，故④正確.故選：A第II卷（非選擇題6、D【解析】因為拋物線方程可化為，所以拋物線的焦點到準線的距離是，故選D.考點：1、拋物線的標準方程；2、拋物線的幾何性質.7、C【解析】根據直線斜率的定義即可求解.【詳解】，斜率為1，則傾斜角為.故選：C.8、D【解析】公切線條數與圓與圓的位置關系是相關的，所以第一步需要判斷圓與圓的位置關系.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為3；圓的圓心坐標為，半徑為1，所以兩圓的心心距為，所以兩圓相離，公切線有4條.故選：D.9、A【解析】利用導數運算法則求出，根據導數的定義即可得到結論【詳解】由題設，，所以，函數在x＝π處瞬時變化率為，故選：A10、C【解析】根據題意，在平面直角坐標系中分析以及與差的絕對值不小于1所對應的平面區域，求出其面積，由幾何概型公式計算可得答案.【詳解】根據題意，，其對應的區域為正方形，其面積，若與差的絕對值不小于1，即，即或，對應的區域為圖中的陰影部分，其面積為，故與差的絕對值不小于1的概率.故選：C11、C【解析】根據題意，建立空間直角坐標系，求得AC與PQ夾角的余弦值關于點坐標的函數關系，求得角度最小時點的坐標，即可代值計算求解結果.【詳解】根據題意，兩兩垂直，故以為坐標原點，建立空間直角坐標系如下所示：設，則，不妨設點的坐標為，則，，則，又，設直線所成角為，則，則，令，令，則，令，則，此時.故當時，取得最大值，此時最小，點，則，故，則故選：C.12、D【解析】由題，由于過拋物線上一點的直線與直線垂直相交于點，可得，又，故，所以的坐標為，由余弦定理可得.故選：D.考點：拋物線的定義、余弦定理【點睛】本題主要考查拋物線的定義與性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設兩條曲線交點為根據橢圓和拋物線對稱性知，不妨點A在第一象限，由A在拋物線上得，A在橢圓上得.則由條件得：.解得（舍去）14、3【解析】根據雙曲線方程求出，再根據雙曲線的定義可知，即可得到、，再由正弦定理計算可得；【詳解】解：因為雙曲線為，所以、，因為點P是雙曲線左支上一點且，所以，所以，，在中，由正弦定理可得，所以；故答案為：15、168石【解析】由題意，得這批米內夾谷約為石考點：用樣本估計總體16、16【解析】根據等差數列前項和公式及下標和性質以及通項公式計算可得；【詳解】解：因為，所以，即，所以，所以，所以；故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據線面垂直的判定定理證出平面，即可證得；（2）以A為原點，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，根據二面角的向量公式即可求出【小問1詳解】如圖，連接，由已知可得四邊形是正方形，所以在直三棱柱中，平面平面，交線為，在中，可知，所以平面，于因為，所以平面，而平面，所以【小問2詳解】如圖所示，以A為原點，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，于是設平面的法向量為，則，可取而平面的一個法向量為，所以故平面與平面所成銳二面角的余弦值為18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】本試題考查了等差數列與等比數列的概念以及等比數列的前n項和公式等基本知識（Ⅰ）由題設知公差由成等比數列得解得（舍去），故的通項（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由等比數列前n項和公式得點評：本試題題目條件給的比較清晰，直接．只要抓住概念就可以很好的解決19、（1）；（2）存在，，.【解析】（1）根據橢圓E：（a，b>0）過M（2，），N(，1)兩點，直接代入方程解方程組即可.（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，當切線斜率存在時，設該圓的切線方程為，聯立，根據，結合韋達定理運算，同時滿足，則存在，否則不存在，當切線斜率不存在時，驗證即可；在該圓的方程存在時，利用弦長公式結合韋達定理得到求解.【詳解】（1）因為橢圓E：（a，b>0）過M（2，），N(，1)兩點，所以，解得，所以，所以橢圓E的方程為.（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，設該圓的切線方程為，聯立得，則△=，即，，，要使，需使，即，所以，所以，又，所以，所以，即或，因為直線為圓心在原點的圓的一條切線，所以圓的半徑為，，所以，則所求的圓為，此時圓的切線都滿足或，而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足，綜上，存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且.因為，所以，，①當時，，因為，所以，所以，所以，當且僅當時取”=”.②當時，.③當AB的斜率不存在時，兩個交點為或，所以此時，綜上，|AB|的取值范圍為，即：【點睛】思路點睛：1、解決直線與橢圓的位置關系的相關問題，其常規思路是先把直線方程與橢圓方程聯立，消元、化簡，然后應用根與系數的關系建立方程，解決相關問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單2、設直線與橢圓的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(k為直線斜率)注意：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式大于零20、（1）；（2）或.【解析】（1）由條件得，再結合，可求得橢圓方程；（2）由題意設直線l：x=my+4，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線方程與橢圓方程聯立方程組，消去，整理后利用根與系的關系可得，，再由OM⊥ON，可得x1x2+y1y2=0，從而可列出關于的方程，進而可求出的值，即可得到直線的方程【詳解】（1）由條件知，解得，則故橢圓的方程為（2）顯然直線l的斜率存在，且斜率不為0，設直線l：x=my+4交橢圓C于M(x1，y1)，N(x2，y2)，由，當=(24m)2-4(3m2+4)×36>0時，有，，由條件OM⊥ON可得，，即x1x2+y1y2=0，從而有(my1+4)(my2+4)+y1y2=0，(m2+1)y1y2+4m(y1+y2)+16=0，，解得，故且滿足>0從而直線l方程為或21、（1）；；（2）【解析】（1）求數列的通項公式主要利用求解，分情況求解后要驗證是否滿足的通項公式，將求得的代入整理即可得到的通項公式；（2）整理數列的通項公式得，依據特點采用錯位相減法求和試題解析：（1）∵，∴當時，.當時，.∵時，滿足上式，∴.又∵，∴，解得：.故，，.（2）∵，，∴①②由①-②得：∴，.考點：1.數列通項公式求解；2.錯位相減法求和【方法點睛】求數列的通項公式主要利用，分情況求解后，驗證的值是否滿足關系式，解決非等差等比數列求和問題，主要有兩種思路：其一，轉化的思想，即將一般數列設法轉化為等差或等比數列，這一思想方法往往通過通項分解（即分組求和）或錯位相減來完成，其二，不能轉化為等差等比數列的，往往通過裂項相消法，倒序相加法來求和，本題中，根據特點采用錯位相減法求和22、（1）4x﹣y+2＝0（2）答案見解析（3）（0，2）∪（2，+∞）【解析】（1）求出f（x）的導數，可得切線的斜率和切點坐標，由直線的點斜式方程可得所求切線的方程；（2）求得f（x）的導數，分a、0＜a兩種情況討論求出答案即可；（3）由題意可得存在x∈（0，+∞），使得不等式成立，令，x＞0，求得其最小值，再把最小值看成關于的函數，結合其單調性和極值可得答案【小問1詳解】函數f（x）的定義域為（0，+∞），當a＝