2025屆云南省楚雄州牟定一中高一上數學期末監測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知集合，，則A∩B中元素的個數為（）A.2 B.3C.4 D.52．設，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.3．下列四個集合中，是空集的是（）A. B.C. D.4．已知定義在上的奇函數，滿足，當時，，則函數在區間上的所有零點之和為（）A. B.C. D.5．下列函數中，是奇函數且在區間上單調遞減的是（）A. B.C. D.6．函數的零點所在的區間是（）A.（0，1） B.(1，2)C.(2，3) D.（3，4）7．如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高4cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為3cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為A.B.C.D.8．在中，下列關系恒成立的是A. B.C. D.9．已知f（x）＝是R上的減函數，那么a的取值范圍是（）A.(0，1) B.C. D.10．已知，，，則下列關系中正確的是A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．求值：__________12．若函數（常數），對于任意兩個不同的、，當、時，均有（為常數，）成立，如果滿足條件的最小正整數為，則實數的取值范圍是___________.13．已知，則的值為______.14．袋子中有大小和質地完全相同的4個球，其中2個紅球，2個白球，不放回地從中依次隨機摸出2球，則2球顏色相同的概率等于________15．用表示a，b中的較小者，則的最大值是____.16．若直線經過點，且與斜率為的直線垂直，則直線的方程為__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，四棱錐中，底面為矩形，平面，，點為的中點（）求證：平面（）求證：平面平面18．已知的兩頂點和垂心.（1）求直線AB的方程；（2）求頂點C的坐標；（3）求BC邊的中垂線所在直線的方程.19．在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱.若，則=___________.20．如圖，在四棱錐中，，是以為斜邊的等腰直角三角形，且.（1）證明：平面平面.（2）若四棱錐的體積為4，求四面體的表面積.21．已知函數為偶函數.（1）求的值；（2）若恒成立，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】采用列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，，故中元素的個數為3.故選：B【點晴】本題主要考查集合的交集運算，考查學生對交集定義的理解，是一道容易題.2、D【解析】利用特殊值及不等式的性質判斷可得；【詳解】解：因為，對于A，若，，滿足，但是，故A錯誤；對于B：當時，，故B錯誤；對于C：當時沒有意義，故C錯誤；對于D：因為，所以，故D正確；故選：D3、D【解析】對每個集合進行逐一檢驗，研究集合內的元素是否存在即可選出.【詳解】選項A，；選項B，；選項C，；選項D，，方程無解，.選:D.4、D【解析】推導出函數是周期為的周期函數，且該函數的圖象關于直線對稱，令，可得出，轉化為函數與函數圖象交點橫坐標之和，數形結合可得出結果.【詳解】由于函數為上的奇函數，則，，所以，函數是周期為的周期函數，且該函數的圖象關于直線對稱，令，可得，則函數在區間上的零點之和為函數與函數在區間上圖象交點橫坐標之和，如下圖所示：由圖象可知，兩個函數的四個交點有兩對關于點對稱，因此，函數在區間上的所有零點之和為.故選：D.【點睛】本題考查函數零點之和，將問題轉化為兩個函數的交點，結合函數圖象的對稱性來求解是解答的關鍵，考查數形結合思想的應用，屬于中等題.5、C【解析】根據函數的單調性和奇偶性對各個選項逐一分析即可.【詳解】對A，函數的圖象關于軸對稱，故是偶函數，故A錯誤；對B，函數的定義域為不關于原點對稱，故是非奇非偶函數，故B錯誤；對C，函數的圖象關于原點對稱，故是奇函數，且在上單調遞減，故C正確；對D，函數的圖象關于原點對稱，故是奇函數，但在上單調遞增，故D錯誤.故選：C.6、B【解析】先求得函數的單調性，利用函數零點存在性定理，即可得解.【詳解】解：因為函數均為上的單調遞減函數，所以函數在上單調遞減，因為，，所以函數的零點所在的區間是.故選：B7、A【解析】設球的半徑為R，根據已知條件得出正方體上底面截球所得截面圓的半徑為2cm，球心到截面圓圓心的距離為，再利用球的性質，求得球的半徑，最后利用球體體積公式，即可得出答案【詳解】設球的半徑為R，設正方體上底面截球所得截面圓恰好為上底面正方形的內切圓，該圓的半徑為，且該截面圓圓心到水面的距離為1cm，即球心到截面圓圓心的距離為，由勾股定理可得，解得，因此，球的體積為故選A【點睛】本題主要考查了球體的體積的計算問題，解決本題的關鍵在于利用幾何體的結構特征和球的性質，求出球體的半徑，著重考查了空間想象能力，以及推理與計算能力，屬于基礎題8、D【解析】利用三角函數誘導公式，結合三角形的內角和為，逐個去分析即可選出答案【詳解】由題意知，在三角形ABC中，，對A選項，，故A選項錯誤；對B選項，，故B選項錯誤；對C選項，，故C選項錯誤；對D選項，，故D選項正確．故選D.【點睛】本題考查了三角函數誘導公式，屬于基礎題9、B【解析】要使函數在上為減函數，則要求①當，在區間為減函數，②當時，在區間為減函數，③當時，，綜上①②③解不等式組即可.【詳解】令，.要使函數在上為減函數，則有在區間上為減函數，在區間上為減函數且,∴,解得.故選：B【點睛】考查根據分段函數的單調性求參數的問題，根據單調性的定義，注意在分段點處的函數值的關系，屬于中檔題.10、C【解析】利用函數的單調性、正切函數的值域即可得出【詳解】，，∴，又∴，則下列關系中正確的是：故選C【點睛】本題考查了指對函數的單調性、三角函數的單調性的應用，屬于基礎題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】直接利用兩角和的正切公式計算可得；【詳解】解：故答案為：12、【解析】分析可知對任意的、且恒成立，且對任意的、且有解，進而可得出關于實數的不等式組，由此可解得實數的取值范圍.詳解】，因為，由可得，由題意可得對任意的、且恒成立，且對任意的、且有解，即，即恒成立，或有解，因為、且，則，若恒成立，則，解得；若或有解，則或，解得或；因此，實數的取值范圍是.故答案為：.13、【解析】用誘導公式計算【詳解】，，故答案為：14、【解析】把4個球編號，用列舉法寫出所有基本事件，并得出2球顏色相同的事件，計數后可計算概率【詳解】2個紅球編號為，2個白球編號為，則依次取2球的基本事件有：共6個，其中2球顏色相同的事件有共2個，所求概率為故答案為：15、【解析】分別做出和的圖象，數形結合即可求解.【詳解】解：分別做出和的圖象，如圖所示：又，當時，解得：，故當時，.故答案為：.16、【解析】與斜率為的直線垂直，故得到直線斜率為又因為直線經過點，由點斜式故寫出直線方程，化簡為一般式：故答案為．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】(1)連接交于，連接．利用幾何關系可證得，結合線面平行的判斷定理則有直線平面(2)利用線面垂直的定義有，結合可證得平面，則，由幾何關系有，則平面，利用面面垂直的判斷定理即可證得平面平面試題解析：（）連接交于，連接因為矩形的對角線互相平分，所以在矩形中，是中點，所以在中，是中位線，所以，因為平面，平面，所以平面（）因為平面，平面，所以；在矩形中有，又，所以平面，因為平面，所以；由已知，三角形是等腰直角三角形，是斜邊的中點，所以，因為，所以平面，因為平面，所以平面平面18、(1);(2)；(3).【解析】(1)由兩點間的斜率公式求出，再代入其中一點，由點斜式求出直線的方程（也可直接代兩點式求解）；(2)由題可知，，借助斜率公式，進而可分別求出直線與直線的方程，再聯立方程，即可求得點的坐標；(3)由中垂線性質知，邊的中垂線的斜率等于，再由(2)可求得邊的中點坐標，進而可求解.【詳解】(1)由題意，直線的方程為：即：.(2)由題作示意圖如下：，直線的方程為：，即：——①又，直線與軸垂直，直線的方程為：——②聯立①②，解得，故頂點的坐標為(3)由題意及(2)可知，邊的中垂線的斜率等于，邊的中點為，故邊的中垂線的方程為：【點睛】本題考查直線方程與交點坐標的求法，以及垂心的性質，考查能力辨析能力及運算求解能力，屬于中檔題.19、【解析】因為和關于軸對稱，所以，那么，（或），所以.【考點】同角三角函數，誘導公式，兩角差余弦公式【名師點睛】本題考查了角的對稱關系，以及誘導公式，常用的一些對稱關系包含：若與的終邊關于軸對稱，則，若與的終邊關于軸對稱，則，若與的終邊關于原點對稱，則.20、（1）見解析（2）9【解析】（1）由已知可得，根據線面垂直的判定得平面，進而可得平面，由面面垂直的判定可得證.（2）根據四棱錐的體積可得.過作于，連接，可證得平面，.可求得，可求得四面體的表面積.【詳解】（1）證明：∵是以為斜邊的等腰直角三角形，∴，又，∴平面，則.又，∴平面.又平面，∴平面平面.（2）解：∵,且，∴.∴.過作于，連接，∵.∴平面，則.∵.∴.∴.故四面體的表面積為.【點睛】本題