第三章應力第1節Cauchy應力張量Cauchy應力矢量、Cauchy應力張量1.

應力張量Cauchy應力矢量

Cauchy應力矢量存在極限：Cauchy應力矢量Cauchy應力矢量分解：應力矢量的分解

沿坐標軸方向分解：法向分量和切向分量的作用效應

沿微元面法向和切向分解：三個分量對微元面的作用效應沒有本質區別分量值與坐標系的選擇有關

應力的單位：帕（Pa=N/m2）或者兆帕（Mpa=106Pa=N/mm2）1.

應力張量應力張量1.

應力張量某點的應力矢量與點的位置和微元面的方位有關：t(n)

與n是線性關系的

Cauchy定理：如果在空間某點x處的張量φ是通過x的微元面da法線方向n的連續函數，則存在著比φ高一階的張量s(x;t)，使成立。T被稱為Cauchy應力張量

1.

應力張量當時：當時：構造

Cauchy應力張量：

記：Cauchy應力張量分量Cauchy應力張量的分量對角線元素均為法向應力分量切應力互等定理：非對角線元素均為切向應力分量Cauchy應力張量的分量矩陣：Cauchy應力張量T

是對稱張量1.

應力張量應力分量的符號規定：在外法線方向沿坐標軸正向的表面上，沿坐標軸正向的應力分量為正，沿坐標軸反向的應力分量為負單元體上的應力分量在外法線方向沿坐標軸反向的表面上，沿坐標軸反向的應力分量為正，沿坐標軸正向的應力分量為負1.

應力張量

由某點的應力張量T可確定過該點處任意截面上的應力矢量

若斜截面法線方向與坐標軸方向不同，則使用坐標變換使新坐標系坐標軸與所求微元面的法線方向相同在坐標系中：1.

應力張量在坐標變換中，T的分量矩陣滿足：某點處法線方向為n的斜截面上指向n

的法向應力σ為：

1.

應力張量

總切應力大?。憾S應力分量坐標變換二維情況：材料力學中的公式

1.

應力張量三維情況下，法線方向為n(1)的截面上三個應力分量：法線方向為

n

的微元面上應力矢量:當物體表面承受法向壓力q

時，界面上應力矢量:法向分量：切向分量：1.

應力張量

解：微元面法線方向單位向量：微元面上的應力矢量列陣：它的模為1.

應力張量法向應力為切向應力值為

應力矢量與法線方向的夾角應滿足：

1.

應力張量第三章應力第1節Cauchy應力張量應力張量的主值、最大切應力、八面體應力1.

應力張量Cauchy應力張量的主值Cauchy應力矢量的法向分量：應力張量T

存在著三個實數的主值，稱為主應力在連續體中，法向應力分量應為有限值某點處的主應力就是過該點的所有微元面上法向應力分量的極值或駐值

在單位方向矢量n

滿足：帶約束的極值問題1.

應力張量將三個主方向單位列向量依次排列，構成一個正交矩陣：在主平面上，剪應力為零主應力和主平面1.

應力張量如果單元體的某個表面無切應力作用，那么這個表面必定構成一個主平面，該表面上的法向應力也就是一個主應力

在二維情況下，這三組正交曲面族退化為兩組正交曲線族，稱為主應力跡線，主應力跡線上某點的切線方向，便是過該點的主應力方向懸臂梁的一種主應力跡線1.

應力張量Cauchy應力張量T的不變量：Cauchy應力張量T可表示為：平均正應力應力偏量平均正應力是一種球應力狀態各個方向法向應力都相等各個方位微元面上均無剪應力

對于各向同性材料，平均正應力作用的效應是微元體體積的變化，而沒有形狀變化；應力偏量作用的效應是微元體形狀的變化，而沒有體積的變化

1.

應力張量例題

物體某點處應力張量T的分量矩陣為，求T的三個不變量。解：根據矩陣不變量的公式，可直接得到：1.

應力張量例題物體P點處的應力張量T在某個坐標系下的分量矩陣為求：①求T的主值及不變量；②求偏應力的主值及不變量。①

T的主值滿足特征方程解：不變量：主值：1.

應力張量②

由偏應力定義可得：在T

的主軸坐標系下：T的分量矩陣為對角陣

球應力分量矩陣為對角陣

T′的分量矩陣也為對角陣偏應力T′與T有相同的主方向

T′的主值：

不變量1.

應力張量

最大切應力

切應力僅為n的函數，且方向矢量n必須滿足條件：1.

應力張量使τ

取極值的n必定滿足引用Lagrange乘子λ，構造一個新函數即：消去乘子λ，可得：1.

應力張量τ對應的極值：注意：1.

應力張量最大切應力面與主平面的位置關系切應力取極大值的微元面的法線方向與第一主軸和第三主軸成45°的夾角法向正應力：1.

應力張量八面體應力若微元面的法線方向與應力主軸成等角，這樣的微元面有八個，它們可以構成一個等八面體，該微元面上的應力即八面體應力

某點鄰域內的正八面體

在主軸坐標系下，與三個主軸成等角的單位方向矢量n的分量滿足：

這些微元面上，Cauchy應力矢量：

1.

應力張量法向分量：切向分量：八面體上的切應力與第四強度準則的等效應力

σeq4

密切相關：1.

應力張量例題

若應力張量分量矩陣為，求最大切應力及八面體應力。解：

特征方程：最大切應力：八面體正應力：八面體切應力：第三章應力第2節其它形式的應力1.

應力張量其它形式的應力即時構形上面元da

上的牽引力：參考構形：牽引力的平移第一種方式，牽引力“平移”到參考構形，令：應力張量：第一類Piola-Kirchhoff應力應力矢量：

1.

應力張量第二種方式，與坐標變換類似，令：應力張量：

第二類Piola-Kirchhoff應力應力矢量：

牽引力的變換1.

應力張量第一類Piola-Kirchhoff應力P則是非對稱的；第二類Piola-Kirchhoff應力K是對稱張量Cauchy應力是定義在